2020版高中數學 第三章 變化率與導數 4 導數的四則運算法則學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

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4　導數的四則運算法則 學習目標　1.了解導數的加法、減法、乘法、除法法則的推導過程.2.會運用導數公式和導數的加法、減法、乘法、除法法則求一些函數的導數． 知識點一　導數的加法與減法法則 兩個函數和(差)的導數等于這兩個函數導數的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)， [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)． 特別提醒：(1)兩個導數的和差運算只可推廣到有限個函數的和差的導數運算． (2)對于較復雜的函數式，應先進行適當的化簡變形，化為較簡單的函數式后再求導，可簡化求導過程． 知識點二　導數的乘法與除法法則 1．若兩個函數f(x)和g(x)的導數分別是f′(x)和g′(x)，則(1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (2)′＝. 2．[kf(x)]′＝kf′(x)． 1．若f(x)＝a2＋2ax＋x2，則f′(a)＝2a＋2x.(　　) 2．運用法則求導時，不用考慮f′(x)，g′(x)是否存在．(　　) 3．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)．(　　) 題型一　利用導數四則運算法則求導 例1　求下列函數的導數： (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)； (4)y＝xsinx－. 考點　導數的運算法則 題點　導數乘除法則的混合運用 解　(1)∵y＝－＋x－1＋， ∴y′＝＋－x－2－. (2)方法一　y′＝ ＝＝. 方法二　y＝＝＝1－， y′＝′＝′ ＝ ＝. (3)方法一　y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23. 方法二　∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5) ＝x3＋9x2＋23x＋15， ∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23. (4)y′＝(xsinx)′－′ ＝x′sinx＋x(sinx)′－ ＝sinx＋xcosx－. 反思感悟　1.解答利用導數四則運算法則求導問題時常因導數的四則運算法則不熟而失分． 2．對一個函數求導時，要緊扣導數運算法則，聯系基本初等函數的導數公式，當不易直接應用導數公式時，應先對函數進行化簡(恒等變換)，然后求導．這樣可以減少運算量，優(yōu)化解題過程． 3．利用導數法則求導的原則是盡可能化為和、差，利用和、差的求導法則求導，盡量少用積、商的求導法則求導． 跟蹤訓練1　求下列函數的導數： (1)f(x)＝xlnx； (2)y＝； (3)y＝2x3＋log3x； (4)y＝x－sincos. 解　(1)f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋x＝lnx＋1. (2)方法一　y′＝′＝＝. 方法二　y＝＝1－， ∴y′＝′＝′ ＝－＝. (3)y′＝(2x3＋log3x)′＝(2x3)′＋(log3x)′＝6x2＋. (4)y＝x－sincos＝x－sinx， ∴y′＝′＝1－cosx. 題型二　導數運算法則的綜合應用 命題角度1　利用導數求函數解析式 例2　(1)已知函數f(x)＝＋2xf′(1)，試比較f(e)與f(1)的大小關系； (2)設f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，試確定常數a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx. 考點　導數的應用 題點　導數的應用 解　(1)由題意得f′(x)＝＋2f′(1)， 令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1. 所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e， f(1)＝－2， 由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)0)在x＝x0處的導數為0，那么x0等于(　　) A．aB．aC．－aD．a2 考點　導數的運算法則 題點　導數除法法則及運算 答案　B 解析　∵y′＝1－，在x＝x0處，函數y＝的導數是1－＝0，∴x0＝a. 3．已知物體的運動方程為s＝t2＋(t是時間，s是位移)，則物體在時刻t＝2時的速度為(　　) A. B. C. D. 考點　導數的應用 題點　導數的應用 答案　D 解析　∵s′＝2t－，∴在t＝2處，函數s＝t2＋的導數是4－＝.即物體在時刻t＝2時的速度為. 4．若曲線f(x)＝xsinx＋1在x＝處的切線與直線ax＋2y＋1＝0互相垂直，則實數a等于(　　) A．－2B．－1C．1D．2 考點　導數的應用 題點　導數的應用 答案　D 解析　∵f′(x)＝sinx＋xcosx， 由題意知f′＝－1， ∴a＝2. 5．若函數f(x)＝在x＝x0處的導數值與函數值互為相反數，則x0的值等于(　　) A．0 B．1 C. D．不存在 考點　導數的應用 題點　導數的應用 答案　C 解析　f′(x)＝， 由題意知f′(x0)＋f(x0)＝0， 即＋＝0，解得x0＝. 6．函數y＝f(x)＝sinx＋ex的圖像上一點(0,1)處的切線的斜率為(　　) A．1B．2C．3D．0 答案　B 解析　因為函數y＝f(x)＝sinx＋ex的導數為y′＝cosx＋ex，所以f′(0)＝cos0＋e0＝2. 所以函數y＝sinx＋ex的圖像上一點(0,1)處的切線的斜率為2. 7．函數f(x)＝x3的斜率等于1的切線有(　　 ) A．1條 B．2條 C．3條 D．不確定 答案　B 解析　∵f′(x)＝3x2，設切點為(x0，y0)，則3x＝1，得x0＝，即在點和點處有斜率為1的切線． 8．在下面的四個圖像中，其中一個圖像是函數f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a≠0)的導函數y＝f′(x)的圖像，則f(－1)等于(　　) A.B．－C.D．－或 考點　導數的應用 題點　導數的應用 答案　B 解析　∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)， ∴導函數f′(x)的圖像開口向上． 又∵a≠0，∴f′(x)不是偶函數， 其圖像不關于y軸對稱， 故其圖像必為③. 由圖像特征知f′(0)＝0，且對稱軸－a>0， ∴a＝－1，則f(－1)＝－－1＋1＝－，故選B. 二、填空題 9．已知函數f(x)＝f′cosx＋sinx，則f的值為________． 考點　導數的應用 題點　導數的應用 答案　1 解析　∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx， ∴f′＝－f′＋， 得f′＝－1. ∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx， ∴f＝1. 10．曲線y＝f(x)＝xex＋2x＋1在點(0,1)處的切線方程為________． 考點　導數的應用 題點　導數的應用 答案　3x－y＋1＝0 解析　f′(x)＝ex＋xex＋2，k＝f′(0)＝e0＋0＋2＝3， 所以切線方程為y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0. 11．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，則f′(0)＝________. 考點　導數的運算法則 題點　導數乘法法則及運算 答案　120 解析　因為f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6， 所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x[(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)]′， 所以f′(0)＝12345＝120. 三、解答題 12．若曲線y＝x2－ax＋lnx存在垂直于y軸的切線，求實數a的取值范圍． 考點　導數的應用 題點　導數的應用 解　∵y＝x2－ax＋lnx，∴y′＝2x－a＋， 由題意可知存在實數x>0使得2x－a＋＝0， 即a＝2x＋成立， ∴a＝2x＋≥2 . ∴實數a的取值范圍是[2，＋∞)． 13．已知函數f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其導函數f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)設函數g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲線g(x)在x＝0處的切線方程． 考點　導數的應用 題點　導數的應用 解　(1)因為f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b， 又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋20－8＝－7， 又g(0)＝3， 所以曲線g(x)在x＝0處的切線方程為y－3＝－7(x－0)， 即7x＋y－3＝0. 14．已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是________． 考點　導數的應用 題點　導數的應用 答案　 解析　y′＝－＝－， 設t＝ex∈(0，＋∞)，則y′＝－＝－， ∵t＋≥2(當且僅當t＝1時，等號成立)， ∴y′∈[－1,0)，α∈. 15．設函數f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值． 考點　導數的應用 題點　導數的應用 解　(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3. 當x＝2時，y＝，∴f(2)＝，① 又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，② 由①②得解得 故f(x)＝x－. (2)設P(x0，y0)為曲線上任一點，由y′＝1＋知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為 y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－， 從而得切線與直線x＝0的交點坐標為. 令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)． 所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值， 此定值為6.