2019高考數(shù)學(xué) 突破三角函數(shù)與解三角形問題中的套路 專題01 三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式學(xué)案 理.doc

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專題01 三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式 知識(shí)必備 一、任意角的三角函數(shù) 1．定義 設(shè)是一個(gè)任意角，它的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，點(diǎn)是角的終邊上任意一點(diǎn)，到原點(diǎn)的距離，那么角的正弦、余弦、正切分別是． 注意：正切函數(shù)的定義域是，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是. 2．三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào) 三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函數(shù)線 設(shè)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)，過作垂直于軸于．由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，其中單位圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，單位圓在點(diǎn)的切線與的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，則．我們把有向線段分別叫做的余弦線、正弦線、正切線． 各象限內(nèi)的三角函數(shù)線如下： 角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 圖形 4．特殊角的三角函數(shù)值 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 補(bǔ)充： 二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 1．平方關(guān)系 ． 2．商的關(guān)系 ． 3．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形 （1）平方關(guān)系的變形：； （2）商的關(guān)系的變形：； （3）． 三、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α（k∈Z） π+α ?α π?α ?α +α 正弦 sin α ?sinα ?sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α ?cosα cosα ?cosα sinα ?sinα 正切 tan α tanα ?tanα ?tanα 口訣 函數(shù)名不變，符號(hào)看象限 函數(shù)名改變，符號(hào)看象限 核心考點(diǎn) 考點(diǎn)一 三角函數(shù)的定義 【例1】已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則等于 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以角是第二象限角， 所以，求解可得（正值舍去）.故選A. 備考指南 1．利用三角函數(shù)的定義求角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況(點(diǎn)所在象限不同)． 2．利用三角函數(shù)線解三角不等式的步驟：①確定區(qū)域的邊界；②確定區(qū)域；③寫出解集． 3．已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)． 4．三角函數(shù)值的符號(hào)及角的位置的判斷．已知一角的三角函數(shù)值(，，)中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角的終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置．注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況. 考點(diǎn)二 象限角的判斷 【例2】“”是“角是第一象限角”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 備考指南 1．已知θ所在的象限，求或nθ（nN*）所在的象限的方法是：將θ的范圍用不等式（含有k）表示，然后兩邊同除以n或乘以n，再對(duì)k進(jìn)行討論，得到或nθ（nN*）所在的象限． 2．象限角的判定有兩種方法： 一是根據(jù)圖象，其依據(jù)是終邊相同的角的思想； 二是先將此角化為k360＋α（0≤α<360，kZ）的形式，即找出與此角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限來判斷此角是第幾象限角． 3．由角的終邊所在的象限判斷三角函數(shù)式的符號(hào)，需確定各三角函數(shù)的符號(hào)，然后依據(jù)“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”求解. 考點(diǎn)三 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其應(yīng)用 【例3】設(shè).若，則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因?yàn)椋?，所?所以.故選A． 備考指南 1．利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化． 2．的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于的齊次式，或含有及的式子求值時(shí)，可將所求式子的分母看作“1”，利用“”代換后轉(zhuǎn)化為“切”后求解. 考點(diǎn)四 誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用 【例4】點(diǎn)位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 備考指南 1．應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷．求任意角的三角函數(shù)值的問題，都可以通過誘導(dǎo)公式化為銳角三角函數(shù)的求值問題，具體步驟為“負(fù)角化正角”→“正角化銳角”→求值． 2．使用誘導(dǎo)公式時(shí)一定要注意三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)，特別是在具體題目中出現(xiàn)類似的形式時(shí)，需要對(duì)k的取值進(jìn)行分類討論，從而確定出三角函數(shù)值的正負(fù)． 3．利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的思路： （1）分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)公式； （2）利用公式化成單角三角函數(shù)； （3）整理得最簡(jiǎn)形式． 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的要求： （1）化簡(jiǎn)過程是恒等變形； （2）結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的要求出值． 4．巧用相關(guān)角的關(guān)系能簡(jiǎn)化解題的過程． 常見的互余關(guān)系有與，與，與等； 常見的互補(bǔ)關(guān)系有與，與等. 考點(diǎn)五 三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用 【例5】已知角的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊均為軸的正半軸，若的終邊分別與單位圓相交于兩點(diǎn)，且. （1）求的值，并確定點(diǎn)所在的象限； （2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為， 求的值. 【解析】（1）. 因?yàn)椋? 所以的終邊在第二或第四象限， 所以點(diǎn)在第二或第四象限. （2）由知， 則 . 備考指南 熟練掌握正切的差角公式，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系式，正確使用公式是解題的關(guān)鍵. 能力突破 1．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊過點(diǎn)（?5，12），則= A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題知，=13，根據(jù)三角函數(shù)定義知，=，，∴ === =，故選B． 【名師點(diǎn)睛】高考中常將三角函數(shù)定義與三角函數(shù)公式相結(jié)合進(jìn)行考查，是基礎(chǔ)題. 2．已知，則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一：因?yàn)?，所以? 所以，故選A． 方法二：由，得，所以. 【名師點(diǎn)睛】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式也常與三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、恒等變換結(jié)合起來進(jìn)行考查. 3．角為的一個(gè)內(nèi)角，若，則這個(gè)三角形為 A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【名師點(diǎn)睛】判斷三角形的形狀有兩種方法：一是根據(jù)角來判斷，分為銳角、直角、鈍角三角形；二是根據(jù)邊來判斷，分為不等邊、等腰、等邊三角形．注意這兩種分類方法有重合的部分，如等腰直角三角形． 4．已知，. （1）求，的值； （2）求的值. 【解析】（1）因?yàn)?，所以? 由于，所以， 所以. （2）原式. . 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)求值問題，必須熟練記憶和掌握三角函數(shù)公式：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換. 高考通關(guān) 1．（2018北京）在平面直角坐標(biāo)系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點(diǎn)P在其中一段上，角以O(shè)??為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線. A選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤； B選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤； C選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，，故C選項(xiàng)正確； D選項(xiàng)：點(diǎn)在上且在第三象限，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤. 綜上，故選C. 【名師點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖形，找到所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線進(jìn)行比較. 2．已知，則的值為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，∴原式，故選A． 3．（2017北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若sin=，則sin=_________． 【答案】 【解析】因?yàn)榻桥c角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，所以，所以. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了角的對(duì)稱關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對(duì)稱關(guān)系包含：若與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則 ，若與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則，若與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則. 4．（2017新課標(biāo)Ⅰ）已知，tan α=2，則=__________． 【答案】 【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值的三種類型 （1）給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)． （2）給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異． ①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用； ②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的． （3）給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角． 5．（2018新課標(biāo)Ⅱ）已知，，則__________． 【答案】 【解析】因?yàn)?，，所以? 因此 6．（2018浙江）已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P（）． （1）求sin（α+π）的值； （2）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值． 【解析】（1）由角的終邊過點(diǎn)得， 所以. （2）由角的終邊過點(diǎn)得， 由得. 由得， 所以或. 你都掌握了嗎？ 有哪些問題？整理一下！