2019高考數(shù)學(xué) 突破三角函數(shù)與解三角形問題中的套路 專題05 三角函數(shù)與解三角形的綜合應(yīng)用學(xué)案 理.doc

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專題05 三角函數(shù)與解三角形的綜合應(yīng)用 知識必備 一、三角函數(shù)、解三角形、三角恒等變換的綜合及其應(yīng)用 1．三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 （1）函數(shù)，的定義域均為；函數(shù)的定義域均為. （2）函數(shù)，的最大值為，最小值為；函數(shù)的值域?yàn)? （3）函數(shù)，的最小正周期為；函數(shù)的最小正周期為． （4）對于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)；對于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)；對于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)． （5）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間由不等式 來確定，單調(diào)遞減區(qū)間由不等式來確定；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間由不等式來確定，單調(diào)遞減區(qū)間由不等式來確定；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間由不等式來確定． 【注】函數(shù)，，（有可能為負(fù)數(shù)）的單調(diào)區(qū)間：先利用誘導(dǎo)公式把化為正數(shù)后再求解． （6）函數(shù)圖象的對稱軸為，對稱中心為；函數(shù)圖象的對稱軸為，對稱中心為；函數(shù)圖象的對稱中心為. 【注】函數(shù)，的圖象與軸的交點(diǎn)都為對稱中心，過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于軸的直線都為對稱軸. 函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)和漸近線與軸的交點(diǎn)都為對稱中心，無對稱軸. 2．三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)相結(jié)合的綜合問題 （1）利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的形式． （2）利用公式求周期． （3）根據(jù)自變量的范圍確定ωx＋φ的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時(shí)，根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn)，也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值． （4）根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的單調(diào)區(qū)間． 3．三角恒等變換與向量相結(jié)合的綜合問題 三角恒等變換與向量的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，一般以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件，并結(jié)合簡單的向量運(yùn)算，往往是兩向量平行或垂直的計(jì)算，即令a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則ab=x1x2＋y1y2，a∥b?x1y2=x2y1，a⊥b?x1x2＋y1y2=0，把向量形式化為坐標(biāo)運(yùn)算后，接下來的運(yùn)算仍然是三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)、解三角形等知識的運(yùn)用. 4．三角恒等變換與解三角形相結(jié)合的綜合問題 （1）利用正弦定理把邊的關(guān)系化成角，因?yàn)槿齻€(gè)角之和等于π，可以根據(jù)此關(guān)系把未知量減少，再用三角恒等變換化簡求解； （2）利用正、余弦定理把邊的關(guān)系化成角的關(guān)系再用三角恒等變換化簡求解． 【注】此類題中的角是在三角形中，每個(gè)角范圍限制在(0，π)內(nèi)，如果是銳角三角形，則需要限制各個(gè)角均在內(nèi)．角的范圍在解題中至關(guān)重要，做題時(shí)要特別注意. 5．三角形中的綜合問題 （1）解三角形的應(yīng)用中要注意與基本不等式的結(jié)合，以此考查三角形中有關(guān)邊、角的范圍問題.利用正弦定理、余弦定理與三角形的面積公式，建立如“”之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，通過基本不等式考查相關(guān)范圍問題. （2）注意與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合考查，將兩者結(jié)合起來，既考查解三角形問題，也注重對三角函數(shù)的化簡、計(jì)算及考查相關(guān)性質(zhì)等. （3）正、余弦定理也可能結(jié)合平面向量及不等式考查面積的最值或求面積，此時(shí)注意應(yīng)用平面向量的數(shù)量積或基本不等式進(jìn)行求解. 6．三角函數(shù)圖象、性質(zhì)與其他知識的綜合問題 常先通過三角恒等變換、平面向量的有關(guān)知識化簡函數(shù)解析式為y=Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再結(jié)合正弦函數(shù)y=sinx的性質(zhì)研究其相關(guān)性質(zhì)，若涉及解三角形，則結(jié)合解三角形的相關(guān)知識求解． 二、解三角形的實(shí)際應(yīng)用 1．測量中的術(shù)語 （1）仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)． （2）方位角 從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)． （3）方向角 相對于某一正方向的水平角. ①北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)； ②北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向； ③南偏西等其他方向角類似． （4）坡角與坡度 ①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)； ②坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比． 2．解三角形實(shí)際應(yīng)用題的步驟 核心考點(diǎn) 考點(diǎn)一 三角函數(shù)、解三角形、三角恒等變換的綜合及其應(yīng)用 【例1】（三種三角函數(shù)間的綜合）已知函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的圖象交于，，三點(diǎn)，則△的面積是 A． 　 B． C． 　 D． 【答案】C 【例2】（三角函數(shù)性質(zhì)的綜合）已知函數(shù)的最小正周期為，的圖象向左平移個(gè)單位后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最大值為 A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，且其圖象向左平移個(gè)單位后得到的為偶函數(shù)，則，又因?yàn)?，所以，，則.故選A． 【例3】（三角函數(shù)型圖象問題）函數(shù)的圖象大致為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】為偶函數(shù)，則圖象關(guān)于軸對稱，排除A、D，把代入得，故圖象過點(diǎn)，C選項(xiàng)適合，故選C． 【例4】（三角函數(shù)與平面幾何的綜合）已知函數(shù)． （1）若，把函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的值域； （2）若函數(shù)的圖象上有如圖所示的三點(diǎn)，且滿足，求的值． 【解析】． （2）由圖知點(diǎn)是函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，設(shè)，函數(shù)的最小正周期為， 則，所以，， 因?yàn)椋? 所以，解得， 故． 【例5】（三角函數(shù)與解三角形的綜合）已知. （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）中，角的對邊分別為，若，且，的面積，求. 【解析】（1） . 由（），解得（）. 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）. （2）由，即，得. 所以（），解得（）. 因?yàn)椋? 由已知的面積，解得. 由余弦定理可得. 所以. 【例6】（三角恒等變換與解三角形的綜合）已知中，分別為角所對的邊，且，，，則的面積為 A． B． C． D． 【答案】C 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正切公式的變形和應(yīng)用，考查利用余弦定理解三角形，考查三角形面積的求法.本題主要條件是，這是兩角和的正切公式的變形，由此可得到的弧度數(shù)，再利用余弦定理聯(lián)立，可求得各邊的長度，進(jìn)而求得面積的值. 考點(diǎn)二 三角與其他問題的綜合 【例7】（解三角形與向量的綜合）已知在中，角的對邊分別為，向量，，且． （1）求角的大?。? （2）若，求的面積． 【解析】（1）由已知得， 由倍角公式和降冪公式得． ． （2）由余弦定理得． 解得或． 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，． 綜上所述，或． 備考指南 三角形的正弦定理與余弦定理在教材中是利用向量知識來推導(dǎo)的,說明正弦定理、余這定理與向量有著密切的聯(lián)系，解三角形與向量的綜合主要體現(xiàn)為以三角形的角對應(yīng)的三角函數(shù)值為向量的坐標(biāo),要求根據(jù)向量的關(guān)系解答相關(guān)的問題. 【例8】（三角函數(shù)與向量、函數(shù)與方程的綜合）已知向量，設(shè)函數(shù)． （1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； （2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【解析】 . （2）由（1）知， ∵，∴， ∴，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增； ，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減． 又， ∴當(dāng)或時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)． 即或， 所以滿足條件的． 備考指南 （1）在解決已知三角函數(shù)的圖象關(guān)于某條直線（或某點(diǎn)）對稱的問題時(shí)，常用的解決方法是將橫坐標(biāo)代入原式中，讓其等于正弦函數(shù)的對稱軸（或?qū)ΨQ中心），即（或），，再解出參數(shù)即可； （2）在解決已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，或者討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，常用分離參數(shù)的方法，將問題轉(zhuǎn)化為，畫出的圖象，通過對直線進(jìn)行上下平移，從而得到參數(shù)的取值范圍或零點(diǎn)個(gè)數(shù)的不同情況. 【例9】（三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合）已知函數(shù)對任意的滿足(其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，由對任意的滿足可得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，所以，故選A． 考點(diǎn)三 平面幾何中的解三角形問題 【例10】△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,. （1）求B的大小； （2）若,且AC邊上的中線長為,求△ABC的面積. 【解析】（1）由△ABC中可得, 因?yàn)? 所以,即,即, 因?yàn)? 所以,. （2）由得, ,① 在△ABC中, ,取中點(diǎn),連接. 因?yàn)?所以在△CBD中,=, 所以,② 把①代入②,化簡得,解得,或（舍去）, 所以. 所以△ABC的面積. 備考指南 幾何中的長度、角度的計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為三角形中邊長和角的計(jì)算，這樣就可以利用正、余弦定理解決問題.解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，把已知和所求的量盡量放在同一個(gè)三角形中. 考點(diǎn)四 三角函數(shù)的應(yīng)用問題 【例11】（解三角形的應(yīng)用）某觀察站與兩燈塔，的距離分別為米和米，測得燈塔在觀察站北偏西，燈塔在觀察站北偏東，則兩燈塔，間的距離為 A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】依題意，作出示意圖（圖略），因?yàn)椋?，，所以由余弦定理可得：，故選C． 【例12】（三角函數(shù)、解三角形的應(yīng)用）如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備將閑置的一直角三角形地塊開發(fā)成公共綠地，圖中.設(shè)計(jì)時(shí)要求綠地部分（如圖中陰影部分所示）有公共綠地走道，且兩邊是兩個(gè)關(guān)于走道對稱的三角形（和）.現(xiàn)考慮綠地最大化原則，要求點(diǎn)與點(diǎn)均不重合，落在邊上且不與端點(diǎn)重合，設(shè). （1）若，求此時(shí)公共綠地的面積； （2）為方便小區(qū)居民的行走，設(shè)計(jì)時(shí)要求的長度最短，求此時(shí)綠地公共走道的長度. 【解析】（1）由圖得：， ∴， 又， ∴， ∴， ∴公共綠地的面積. （2）由圖得：且， ∴， 在中，由正弦定理可得:， ∴， 記 ， 又， ∴， ∴時(shí)，取最大，最短，則此時(shí). 備考指南 解答三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟 1．閱讀理解材料:三角函數(shù)應(yīng)用題的語言形式多為文字語言、圖形語言、符號語言并用.閱讀理解時(shí)要讀懂題目所反映的實(shí)際問題的背景,領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì),把題目中出現(xiàn)的邊角關(guān)系和三角形聯(lián)系起來,確定以什么樣的三角形(直角三角形、斜三角形)為模型,用哪些定理(勾股定理、正弦定理、余弦定理)或邊角關(guān)系,列出等量或不等量關(guān)系 2．建立變量關(guān)系:根據(jù)上面的分析,把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)習(xí)題,建立變量關(guān)系,這一步一般是通過解直角三角形或解斜三角形實(shí)現(xiàn)的,要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想、圖形語言和符號語言并用的思維方法. 3．討論變量性質(zhì):根據(jù)(2)中建立的變量關(guān)系,結(jié)合題目的要求,與學(xué)過的數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)對照,討論變量的有關(guān)性質(zhì),從而得到所求問題的理論值. 4．作出結(jié)論:根據(jù)(3)中得到的理論值,按題目要求作出相應(yīng)的結(jié)論. 能力突破 1．已知命題：函數(shù)圖象的一條對稱軸是；命題，則下列命題中的真命題為 A． B． C． D． 【答案】B 2．已知函數(shù)（且）和函數(shù)，若與兩圖象只有3個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函數(shù)與的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，與兩圖象只有3個(gè)交點(diǎn)，可得， 當(dāng)時(shí)，與兩圖象只有3個(gè)交點(diǎn)，可得，所以的取值范圍是，故選D． 3．存在實(shí)數(shù)，使得圓面恰好覆蓋函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)共三個(gè)，則正數(shù)的取值范圍是___________． 【答案】 【解析】由題意，知函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低一定在直線上，則由，得．又由題意，得，，解得正數(shù)的取值范圍為． 4．在△ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c，已知，． （1）求的值； （2）設(shè)D為AC的中點(diǎn)，若BD的長為，求△ABC的面積． 【解析】（1）由得， 即， 故， 從而，與都是銳角， 則. ，即. (2)由（1），得， 設(shè)， 在中，由余弦定理得，解得， 則. 5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示. （1）求函數(shù)的解析式，并寫出的最小正周期； （2）令，若在內(nèi)，方程有且僅有兩解，求的取值范圍. 【解析】（1）由圖象可知：，∴， 又， ∴. 又∵點(diǎn)在圖象上， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴. ∴， 最小正周期. （2）∵， ∴原方程可化為，則. ∵， ∴，， ∴， 令，則，作出及的圖象， 當(dāng)或時(shí)，兩圖象在內(nèi)有且僅有一解，即方程在內(nèi)有且僅有兩解， 此時(shí)的取值范圍為. 高考通關(guān) 1．（2018新課標(biāo)Ⅲ理）函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 【答案】 【解析】，，由題可知，或，解得,或，故有3個(gè)零點(diǎn). 2．（2017浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是______，cos∠BDC=_______． 【答案】 【解析】取BC中點(diǎn)E，由題意：，△ABE中，， ∴， ∴． ∵， ∴，解得或（舍去）． 綜上可得，△BCD的面積為，． 3．（2017江蘇）已知向量 （1）若a∥b，求的值； （2）記，求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值． 【解析】（1）因?yàn)?，，a∥b， 所以． 若，則，與矛盾，故． 于是． 又， 所以． 4．（2018新課標(biāo)Ⅰ理）在平面四邊形中，，，，. （1）求； （2）若，求. 【解析】（1）在中，由正弦定理得. 由題設(shè)知，，所以. 由題設(shè)知，，所以. （2）由題設(shè)及（1）知，. 在中，由余弦定理得 . 所以. 5．（2018北京理）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–． （1）求∠A； （2）求AC邊上的高． 【解析】（1）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π）， ∴sinB=． 由正弦定理得=，∴sinA=． ∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=． （2）在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==． 如圖所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==， ∴AC邊上的高為． 你都掌握了嗎？ 有哪些問題？整理一下！