八年級數(shù)學上冊線段的垂直平分線PPT教學課件

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線段的垂直平分線,,,1,,如圖，△ABC和△ 關于直線MN對稱，點 、 、 分別是點 A、B、C 的對稱點,線段 、 、 與直線MN有什么關系?,探究一,ＡＰ＝,∠ＭＰＡ＝∠ ＝,將△ＡＢＣ和△ 沿ＭＮ折疊 后，點Ａ與點 重合，于是有:,2,,探究二,1、用上述方法，你還能得其它的結(jié)論嗎？,BD=,CE=,∠MDB= ∠,∠MEC= ∠,點P是 的中點,MN⊥,結(jié)論,對稱軸所在的直線經(jīng)過對稱點連線段的 中點，并且垂直于這條直線線段,E,D,3,,,軸對稱的性質(zhì)：,1.對應點連線段被對稱軸垂直平分。,2.對應線段相等，對應角相等。,4,,線段的垂直平分線的定義,經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段直線，叫做這條線段的垂直平分線（又名線段的中垂線）,軸對稱中的垂直平分線性質(zhì):,1、如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對應點連線段的垂直平分線,2、如果一 個圖形是軸對稱圖形，那么對稱軸是任何一對應點連線段的垂直平分線,L垂直平分,L垂直平分,L垂直平分,5,,探究三 請同學們動手做一 做,,∵L垂直平分AB,∴P1A=P1B P2B=P2B ……….,線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等,垂直平分線的性質(zhì)定理,你能證明這個結(jié)論嗎？,6,,如圖，MN?AB，垂足為點C，AC=CB，點P是直線MN上的任意一點.,已知：,PA=PB,求證：,,證明：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。,證明: ∵MN?AB（已知） ∴?PCA=?PCB(垂直的定義) 在?PCA和?PCB中,,∴ ?PCA ≌ ?PCB(SAS),∴PA=PB(全等三角形的對應邊相等),7,,A,C,M,N,?,P,當點P與點C重合時,上述證明有什么缺陷?,?PCA與?PCB將不存在.,PA與PB還相等嗎?,相等!,此時,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB,B,幾何語言表達： ∵MN ⊥AB于C，且AC=BC,點P在MN上 ∴PA=PB,線段垂直平分線的性質(zhì)定理:,8,,用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一 個簡易的“弓”，“箭”通過木棒中央的孔射出去，怎樣才能保持射出去的方向與木棒垂直呢？為什么,C,B,A,只要AB=BC就可以,,與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上,,∴點B在線段AC的垂直平分線上,∵ AB=BC,探究三,垂直平分線的性質(zhì)逆定理,9,,線段垂直平分線的逆定理：,與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。,你能證明這個結(jié)論嗎？,結(jié)論：,,,C,幾何語言表達： ∵PA=PB ∴點P在線段AB的垂直平分線上,此定理可以作為垂直平分線的判定定理,10,,已知:,如圖,PA=PB,求證:,點P在線段AB的垂直 平分線上.,過點P作PC?AB，垂足為點C.,在Rt ?PCA和Rt ?PCB中∵ PA=PB，PC=PC∴ Rt ?PCA ≌ Rt ?PCB(H.L.)∴ＡＣ＝ＢＣ,∴PC是線段AB的垂直平分線.即點P在線段AB的垂直平分線上.,證明：,到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上。,證明：,故∠PCA=∠PCB=90°.,11,,1.垂直平分線的定義：∵MN是AB的垂直平分線∴ ， ； 2.垂直平分線的性質(zhì)：∵MN是AB的垂直平分線∴ （ ） 3.垂直平分線的判定：∵PA＝PB∴ （ ）,MN⊥AB,AD＝BD,PA＝PB,線段垂直平分線上點與這條線段兩個端點 的距離相等,P在AB的垂直平分線上,與一條線段兩個端點距 離相等的點，在這條線段的垂直平分線上,4、線段垂直平分線的集合定義：線段垂直平分線可以看作是與線段兩個端點距離相等的所有點的集合。,12,,13,,作線段的垂直平分線一.,已知：線段AB. 求作：線段AB的垂直平分線.,,,,,,C,D,作法：,（2）作直線CD. CD即為所求.,原理：線段垂直平分線的逆定理.與兩點確定一條直線,（1）分別以點A，B為圓心，以大于 AB的長為半徑作弧，兩弧交于C，D兩點.,14,,作線段的垂直平分線方法二.,已知：線段AB. 求作：線段AB的垂直平分線.,,,,C,M,作法：,（3）連直線CM. CM即為所求.,（2）分別以點A，B為圓心，以大于 AB的長為半徑作弧，兩弧交于C點.,（1）取線段AB的中點M,,原理：線段垂直平分線的逆定理.與兩點確定一條直線,15,,1.如圖，A，B是路邊兩個新建小區(qū)，要在公路邊增設一個 公共汽車站.使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽 車站應建在什么地方？,【提示】連接AB，作AB的垂直平分線，則與公路的 交點就是要建的公共汽車站.,,,,,,,,作圖與探索,16,,2. 有A，B，C三個村莊，現(xiàn)準備要建一所學校，要求學校到三個村莊的距離相等，請你確定學校的位置.,A,B,C,【提示】學校在連接任意兩點的兩條線段的垂直平分線的交點處.,,,,,,,,,,,,,,,,,17,,利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，然后說說你發(fā)現(xiàn)了什么?,三角形三邊垂直平分線的性質(zhì),,,,,,,,,,發(fā)現(xiàn)：三角形三邊 的垂直平分線交于一點．,,18,,證明結(jié)論：三角形三邊的垂直平分線交于一點.,已知：在△ABC中，設AB、BC的垂直平分線交于點O. 求證：O點在AC的垂直平分線上．,證明：連接AO，BO，CO． ∵點O在線段AB的垂直平分線上，∴OA=OB(線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等)．同理OB=OC．∴OA=OC．∴O點在AC的垂直平分線上(到線段兩個端點距離相等的點.在這條線段的垂直平分線上)．∴AB、BC、AC的垂直平分線相交于點O,19,,3.如圖，△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線交于點P. （1）求證：PA=PB=PC. （2）點P是否也在邊AC的垂直平分線上呢？由此你能得出什么結(jié)論？,,,,,,,A,P,C,B,結(jié)論：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等.,20,,定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。,三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)定理,,21,,3．已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AB的垂直平分線交AD于O求證：OA=OB=OC．,開拓創(chuàng)新 試一試,證明：∵AB=AC，AD是BC的中線，∴AD垂直平分BC(等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊)．又∵AB的垂直平分線與交于點O∴OB=OC=OA(三角形三條邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等)．,http://www.bnup.com.cn,分別作出直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說明交點分別在什么位置.,銳角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直平分線交點在斜邊上；鈍角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形外．,23,,如圖，如果△ACD的周長為18cm，△ABC的周長為28cm， DE是BC的垂直平分線,根據(jù)這些條件，你可以求出線段BC的長?,（1）△ACD的周長＝AD ＋CD＋AC＝18cm. （2）△ABC的周長＝AB＋AC＋BC＝28cm.,（3）由DE是BC的垂直平分線得：BD＝CD；所以AD＋CD＝ AD＋BD＝AB.,,,,,（4）由（2）中式子－（1）中式子得BC＝10cm.,【解析】,課前熱身-求邊,24,,1.如圖，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，求△BCD的周長.,,,,,D,C,B,E,A,25,,2.已知:如圖,在?ABC中,DE是AC的垂直平分線, AE=3cm, ?ABD的周長為13cm,則?ABC 的周長 為 cm,A,B,D,C,E,3cm,19,13cm,,26,,3.如圖,CD、EF分別是AB、BC的垂直平分線.請你指出圖中相等的線段有哪些?,AD =BD,CF = BF,AC = BC,CE = BE,1,2,3,CF =DF,即:BF=CF=DF,,27,,4.如右上圖，在銳角三角形ABC中,∠A=50°，AC、BC的垂直平分線交于點O，則∠1____∠2，∠3____∠4，∠5___∠6，∠1+∠4=_____度，∠5+∠6=_____度，∠BOC=_______度.,,F,E,O,課前熱身-求角,28,,,5、如圖，在Ｒｔ△ABC中， ∠Ｂ＝９０° ∠Ａ＝４０°，ＡＣ的垂直平分線ＭＮ與 ＡＢ交于點Ｄ，則∠ＢＣＤ的度數(shù)是＿＿,29,,6.如右上圖，在△ABC中，DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線，則∠B__∠1,∠C __ ∠2,若∠BAC=126°，則∠EAG=__________度.,,,30,,問題:如圖,A、B、C三個村莊合建一所學校,要求校址P點距離三個村莊都相等.請你幫助確定校址.,?,?,?,A,B,C,,,,,,點P為校址,課前熱身-作圖,31,,7.如圖,已知點A、B和直線l,在直線 l 上求作一點P,使PA=PB.,l,?,?,點P為所求作的點,32,,8.如圖，BD ⊥AC，垂足為點E，AE=CE.求證：AB+CD=AD+BC.,證明： ∵ BD ⊥AC，垂足為點E，AE=CE ∴AB=CB，AD=CD.（線段垂直平分線的性質(zhì)定理） ∴ AB+CD=AD+BC,課前熱身-證明,33,,9.如圖，在△ABC中，已知點D在BC上，且BD+AD=BC.求證：點D在AC的垂直平分線上。,證明： ∵ BD+AD=BC=BD+DC∴AD=DC∴點D在AC的垂直平分線上（線段垂直平分線的判定定理）,34,,10.已知:?ABC中,?C=90?,?A=30o,BD 平分?ABC交AC于D. 求證:D點在AB的垂直平分線上.,證明:,30o,,∵ ? C=90o, ? A=30o(已知) ∴ ?ABC=60o(三角形內(nèi)角和定理),∴ ? A= ?ABD (等量代換),∴ D點在AB的垂直平分線上.(和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.),,∴ AD=BD(等角對等邊),35,,11.已知:如圖,線段CD垂直平分AB,AB平分?CAD. 求證:AD∥BC.,證明:,∵線段CD垂直平分AB(已知),∴ CA=CB(線段垂直平分線的 性質(zhì)定理),∴ ? 1= ? 3(等邊對等角),又∵ AB平分?CAD(已知) ∴ ? 1= ? 2(角平分線的定義),∴ ? 2= ? 3(等量代換),∴ AD ∥BC(內(nèi)錯角相等,兩直線平行),36,,∴ ?1+ ? 2= ?4(等邊對等角),又∵ ? 4=? B+? 3(三角形的一個外角等于與它 不相鄰的兩個內(nèi)角的和),∴ ?1+ ? 2= ? B+? 3,∵ AD平分?BAC(已知) ∴ ? 2=? 3(角平分線的定義),∴ ?1=? B 即? CAF= ? B.,證明: ∵ EF垂直平分AD(已知),∴ AF=DF(線段垂直平分線的性質(zhì)定理),12.已知:如圖,AD平分?BAC,EF垂直平分AD交BC的延長線于F,連結(jié)AF.求證: ? CAF= ? B.,37,,