2018-2019學年高二數(shù)學上學期期末考試試卷 理(含解析) (II).doc
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2018-2019學年高二數(shù)學上學期期末考試試卷 理(含解析) (II) 一、選擇題(每小題5分,共60分) 1.設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 試題分析：由題意得，所以在復平面內(nèi)表示復數(shù)的點為在第二象限． 故選B． 考點：復數(shù)的運算；復數(shù)的代數(shù)表示以及幾何意義. 【此處有視頻，請去附件查看】 2.工商局對超市某種食品抽查，這種食品每箱裝有6袋，經(jīng)檢測某箱中每袋的重量（單位：克）如以下莖葉圖所示．則這箱食品一袋的平均重量和重量的中位數(shù)分別為（ ） A. 249,248 B. 249,249 C. 248,249 D. 248,248 【答案】B 【解析】 【分析】 由莖葉圖，能求出食品的平均重量和重量的中位數(shù)． 【詳解】解：由莖葉圖知，這箱食品一袋的平均重量為249+?1?1+0+0+1+16=249． 重量的中位數(shù)為249+2492=249． 故選：B． 【點睛】本題考查由莖葉圖求平均數(shù)以及中位數(shù)，屬于基礎題． 3.從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是（ ） A. 16 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 本題試驗發(fā)生包含的事件是從4個不同的數(shù)中隨機的抽2個，共有C42種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的數(shù)之差的絕對值等于2的有兩種，由古典概型得到概率． 【詳解】解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從4個不同的數(shù)中隨機的抽2個，共有C42=6種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的數(shù)之差的絕對值等于2，有2種結(jié)果，分別是(1,3)，(2,4)，故所求的概率是2C42=13． 故選：C． 【點睛】本題考查等可能事件的概率,解題關(guān)鍵是事件數(shù)是一個組合數(shù)，結(jié)合古典概型求解，屬于基礎題． 4.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》有題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ） A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 365石 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)254粒內(nèi)夾谷28粒，可得比例，進而可得出結(jié)論． 【詳解】解：由題意，這批米內(nèi)夾谷約為153428254≈169石， 故選：B． 【點睛】本題考查利用樣本估計總體，用數(shù)學知識解決實際問題，屬于基礎題． 5.曲線fx=1x在點12,2處的切線的斜率為( ) A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 先求導函數(shù)，再求x=12時的導數(shù)值，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可求切線的斜率． 【詳解】解：由題意，y′=?1x2， ∴當x=12時，y′=?4 即曲線y=1x在點(12,2)處切線的斜率為?4． 故選：A． 【點睛】本題以曲線切線為載體，考查導數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是理解導數(shù)的幾何意義并正確求出導函數(shù)，屬于基礎題． 6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)所給數(shù)值判定是否滿足判斷框中的條件，然后執(zhí)行循環(huán)語句，一旦滿足條件就退出循環(huán)，輸出結(jié)果． 【詳解】解：模擬執(zhí)行程序，可得：k=1，s=1， 第1次執(zhí)行循環(huán)體，s=1， 不滿足條件s>15，第2次執(zhí)行循環(huán)體，k=2，s=2， 不滿足條件s>15，第3次執(zhí)行循環(huán)體，k=3，s=6， 不滿足條件s>15，第4次執(zhí)行循環(huán)體，k=4；s=15， 不滿足條件s>15，第5次執(zhí)行循環(huán)體，k=5；s=31， 滿足條件s>31，退出循環(huán)，此時k=5． 故選：A． 【點睛】本題考查算法中程序框圖及循環(huán)結(jié)構(gòu)等知識,屬于基礎題． 7.?10(x?ex)dx= （ ?。? A. ?1?1e B. -1 C. ?32+1e D. ?32 【答案】C 【解析】 【分析】 求出被積函數(shù)的原函數(shù)，分別代入積分上限和積分下限作差得答案． 【詳解】解：?10(x?ex)dx=(12x2?ex)|?10 =120?e0?12(?1)2+e?1 =?1?12+1e=1e?32． 故選：C． 【點睛】本題考查了定積分，解答的關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，屬于基礎題． 8.將石子擺成如圖的梯形形狀,稱數(shù)列5,9,14,20，…為“梯形數(shù)”，根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第xx項與5的差，即a2016?5＝( ) A. xxxx B. xx2015 C. 1011xx D. 1011xx 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)編號與圖中石子的個數(shù)之間的關(guān)系，分析他們之間存在的關(guān)系，并進行歸納，得到一般性規(guī)律，即可求得結(jié)論． 【詳解】解：由已知可以得出圖形的編號與圖中石子的個數(shù)之間的關(guān)系為： n=1時，a1=2+3=12(2+3)2； n=2時，a2=2+3+4=12(2+4)3； … 由此可以推斷： an=2+3+?+(n+2)=12[2+(n+2)](n+1) ∴a2016?5=12[2+(2016+2)](2016+1)?5=10112015． 故選：D． 【點睛】本題考查歸納推理，通過觀察從已知的相同性質(zhì)中推出一個一般性命題，屬于基礎題． 9.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD?A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為（ ） A. π12 B. 1?π12 C. π6 D. 1?π6 【答案】D 【解析】 本題考查幾何概型，空間幾何體的體積，空間想象能力. 到點O的距離不大于1的點在以點O為球心，1為半徑的半球內(nèi)；其體積為 1243π13=2π3;正方體體積為23=8;則在正方體ABCD?A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為8?2π38=1?π12.故選B 10.已知f(x)=ax2+2x+a,x∈R，若函數(shù)g(x)=x3?(a2?2)x?f(x)在區(qū)間(?1,3)上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）. A. a3 B. a≤?1或a≥3 C. a3 D. a≤?9或a≥3 【答案】D 【解析】 【分析】 對函數(shù)求導，g′(x)=3x2?2ax?a2，由函數(shù)在(-1,3)上單調(diào)遞減，可知g′(x)≤0在區(qū)間(-1,3)上恒成立即可求解. 【詳解】因為g′(x)=3x2?2ax?a2，函數(shù)g(x)=x3-(a2-2)x-f(x)在區(qū)間(-1,3)上單調(diào)遞減，所以g′(x)≤0在區(qū)間(-1,3)上恒成立，只需g′(?1)≤0g′(3)≤0，即a2?2a?3≥0a2+6a?27≥0解得a≤?9 或a≥3，故選D. 【點睛】本題主要考查了導數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)及不等式的恒成立問題，屬于難題.解決三次函數(shù)的單調(diào)性問題，一般要考慮求導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或者是求參數(shù)的取值范圍，若函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導數(shù)在區(qū)間上大于等于零（或小于等于零）恒成立. 11.函數(shù)f(x)的定義域是R，f(0)=2，對任意x∈R，f(x)+f′(x)>1，則不等式ex?f(x)>ex+1的解集為（ ） A. {xx1} C. {xx<0} D. {xx>0} 【答案】D 【解析】 【分析】 構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x)?ex?1，利用導數(shù)可判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性，由已知條件可得函數(shù)g(x)的零點，由此可解得不等式． 【詳解】解： 令g(x)=exf(x)?ex?1，則g′(x)=exf(x)+exf′(x)?ex=ex[f(x)+f′(x)?1]， ∵f(x)+f′(x)>1， ∴f(x)+f′(x)?1>0， ∴g′(x)>0，即g(x)在R上單調(diào)遞增， 又f(0)=2，∴g(0)=e0f(0)?e0?1=2?1?1=0， 故當x>0時，g(x)>g(0)，即exf(x)?ex?1>0，整理得exf(x)>ex+1， ∴exf(x)>ex+1的解集為{x|x>0}． 故選：D． 【點睛】本題考查利用導數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及其應用, 并求解抽象不等式，綜合性較強，屬于難題． 12.已知函數(shù)f(x)=x3+2ax2+3bx+c的兩個極值點分別在(?1,0)與(0,1)內(nèi)，則2a?b的取值范圍是 A. (?32,32) B. (?32,1) C. (?12,32) D. (1,32) 【答案】A 【解析】 由題意知f′(x)=3x2+4ax+3b=0有兩根分別在(-1,0)與(0,1)內(nèi)，所以3?4a+3b>0b<03+4a+3b>0，畫出可行域，利用線性規(guī)劃可得-32<2a-b<32，故選A. 二、填空題（每小題5分，共計20分） 13.復數(shù)5i?2的共軛復數(shù)是___________. 【答案】?2+i 【解析】 【分析】 由復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復數(shù)5i?2，求出即可． 【詳解】解：∵ 5i?2=5(?2?i)(?2+i)(?2?i)=5(?2?i)5=?2?i， ∴復數(shù)5i-2的共軛復數(shù)是?2+i 故答案為：?2+i 【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的除法運算，是基礎題． 14.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，則f′(2)＝________． 【答案】?32 【解析】 【分析】 將f′（1）看成常數(shù)利用導數(shù)的運算法則求出f′(x)，令x=2即可求出f′（2）． 【詳解】解：f′(x)=2f′（1）+1x， 令x=1得f′（1）=2f′（1）+1， f′1=?1，所以f(x)＝-2x＋lnx，f′(x)=?2 +1x， 令x=2得f′（2）=?2 +12 =?32 故答案為：?32． 【點睛】本題考查導數(shù)的運算法則、考查通過賦值求出導函數(shù)值，屬于基礎題． 15.已知函數(shù)f(x)=13x3+ax2+b2x+1，若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為 . 【答案】23 【解析】 試題分析：f′(x)=x2+2ax+b2，由題意x2+2ax+b2=0有2個不等實根，則Δ=4(a2?b2)>0，即a>b，又a,??b的取法共有33=9種，而滿足a>b的有(1,??0),??(2,??0),??(2,??1),??(3,??0),???(3,??1), ??(3,??2)共6種，故所求的概率為P=69=23． 考點：利用導數(shù)求極值、概率. 16.若曲線fx=ax5+lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)的取值范圍是_________． 【答案】?∞,0 【解析】 【分析】 f′(x)=0在0，+∞有解求的取值范圍即可． 【詳解】解：∵f(x)=ax5+lnx有垂直與y軸的切線， ∴f(x)函數(shù)在某一個點處的導數(shù)等于零．由函數(shù)的表達式可知f(x)的定義域為x|x>0， ∵f′(x)=5ax4+1x，根據(jù)上面的推斷，即方程5ax4+1x=0有解．即等于價于5ax5+1=0有解時求的取值范圍．結(jié)合x為正數(shù)，分離得5a=?1x5<0，故a<0. 故答案為：(?∞,0)． 【點睛】本題考查利用導數(shù)研究曲線上存在某點的切線方程的應用，合理地等價轉(zhuǎn)化成有解問題是解題關(guān)鍵，屬于中檔題． 三、解答題（共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17.（1）若復數(shù)z=1?i?a?i1+i是實數(shù)（其中a∈R,i是虛數(shù)單位）,則求的值. （2）求曲線y=x，直線y=x?2及y軸所圍成的封閉圖形的面積. 【答案】（1）a=1 ；（2）163 . 【解析】 【分析】 （1）先化簡復數(shù)再令虛部為0，求解即可． （2）利用微積分基本定理即可求出． 【詳解】（1）因為z=1-i-a-i1+i=1-i-a-i(1-i)1+i(1-i)=(1-a-12)+a-12i是實數(shù), 所以a-12=0，所以a=1. (2)由y=xy=x-2解得x=4,y=2，故面積為04(x-x+2)dx=(23x32-x22+2x)|04=163. 【點睛】（1）本題考查復數(shù)的運算和基本概念，考查計算能力；（2）考查微積分基本定理求解區(qū)域面積，均屬于基礎題． 18.下圖為某校數(shù)學專業(yè)N名畢業(yè)生的綜合測評成績（百分制）頻率分布直方圖，已知80-90分數(shù)段的學員數(shù)為21人。 （1）求該專業(yè)畢業(yè)總?cè)藬?shù)N和90-95分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)n； （2）現(xiàn)欲將90-95分數(shù)段內(nèi)的n名人分配到幾所學校，從中安排2人到甲學校去，若n人中僅有兩名男生，求安排結(jié)果至少有一名男生的概率. 【答案】（1）6；（2）． 【解析】 試題分析：根據(jù)題中所給的頻率分布直方圖找某些信息即可得結(jié)果，第二問根據(jù)題意找出對應的基本事件總數(shù)，再找出滿足條件的基本事件數(shù)，從而得出結(jié)果． 試題解析：（1）80～90分數(shù)段頻率為p1=(0.04+0.03)5=0.35,此分數(shù)段的學員總數(shù)為21人所以畢業(yè)生的總?cè)藬?shù)N為，90～95分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)頻率為 p2=1?(0.01+0.04+0.05 +0.04+ 0.03+0.01)5=0.1，所以90～95分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)n=600.1=6； （2）90～95分數(shù)段內(nèi)的6人中有兩名男生,4名女生設男生為A1,A2；女生為B1,B2,B3,B4,設安排 結(jié)果中至少有一名男生為事件A從中取兩名畢業(yè)生的所有情況（基本事件空間）為 A1A2;A1B1;A1B2;A1B3;A1B4;A2B1;A2B2;A2B3;A2B4; B1B2,B1B3,B1B4;B2B3;B2B4;B3B4;共15種 組合方式,每種組合發(fā)生的可能性是相同的其中, 至少有一名男生的種數(shù)為 A1A2;A1B1;A1B2;A1B3;A1B4;A2B1;A2B2;A2B3;A2B4;共9種， 所以,． 考點：（1）頻率分布直方圖；（2）古典概型． 19.已知函數(shù)f(x)=ax2+blnx在x=1處有極值12. （1）求a,b的值和函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； （2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間1e,e上的最值. 【答案】（1）a=12b=-1；單增區(qū)間為(1,+∞)；單減區(qū)間為(0,1)； （2）最大值為e22-1；最小值為12. 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的極值得關(guān)系即可求出，b的值；再讓導函數(shù)大于0對應區(qū)間為增區(qū)間，小于0對應區(qū)間為減區(qū)間即可．（注意是在定義域內(nèi)找單調(diào)區(qū)間 （2）由（1）可知f(x)區(qū)間1e,1函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，在區(qū)間1,e函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，即可求出最值，特別注意最大值要比較f1e和fe的大小. 【詳解】（1）f(x)=2ax+bx 由題意f(1)=12,f(1)=0,?a+bln1=a+0=12,2a+b=0,?a=12b=-1； 所以f(x)=12x2-lnx，定義域為(0,+∞) 令f(x)>0?x-1x>0?x2-1>0?x>1，∴單增區(qū)間為(1,+∞)； 令f(x)<0?x-1x<0?x2-1<0?0
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