常微分方程學(xué)習(xí)活動6 第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí)WORD版

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.常微分方程學(xué)習(xí)活動 6第三章一階線性方程組、第四章 n 階線性方程的綜合練習(xí)本課程形成性考核綜合練習(xí)共 3 次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識點，重點復(fù)習(xí)，爭取盡快掌握 要求：首先請同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進行填寫，文檔填寫完成后請在本次作業(yè)頁面中點擊“去完成”按鈕進入相應(yīng)網(wǎng)頁界面完成任務(wù)，然后請將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會在課程中進行評分。一、填空題1若 A(x)在(-,+)上連續(xù)，那么線性齊次方程組 ， 的任一非YA)(dxnR零解在 空間 不能 與 x 軸相交nR2方程組 的任何一個解的圖象是 n+1 維空間nRYFY,),(d中的一條積分曲線3向量函數(shù)組 Y1(x), Y2(x),Yn(x)線性相關(guān)的 必要 條件是它們的朗斯期行列式 W(x)=04線性齊次微分方程組 ，的一個基本解組的個數(shù)不能多nA,d于 n+1 個5若函數(shù)組 在區(qū)間 上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式 在)(21x，),(ba )(xW區(qū)間 上 恒等于 ),(ba6函數(shù)組 的朗斯基行列式 是 xycosin21 )(xWxxsincoi)(7二階方程 的等價方程組是 02yyxy218若 和 是二階線性齊次方程的基本解組，則它們 沒有 )(1xy)(2x共同零點9二階線性齊次微分方程的兩個解 , 成為其基本解組的充要條件)(1xy)(2是 線性無關(guān) 10 階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個數(shù)最多為 n 個11在方程 y+ p(x)y+q(x)y = 0 中，p( x), q(x)在(-,+)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy 平面上 可以 與 x 軸橫截相交.12二階線性方程 的基本解組是 20ye,x13線性方程 的基本解組是 cos,in14方程 的所有解構(gòu)成一個 2 維線性空間02yxy15n 階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個 n 維線性空間二、計算題1將下列方程式化為一階方程組（1） 0)(xgfx（2） 0)(321 yxaya1） 解 ， （2）解 )(dxgyftx0312121 )()()(ddyxayxayy2求解下列方程組：（1） （2） xyt54dyxtyd（1） 解 方程組的系數(shù)陣為 特征方程為：54Adet(A- E)= = ，5(1)90其特征根為 . 12,9當(dāng) 時, ， 其中 a, b 滿足11tyez(A- E) = = 0, ab4則有 a + b = 0 取 a = 1, b = 1, 則得一特解 1tyez.同理,當(dāng) 時， 29291tyez所以方程組的解為912()ttteC（2）解 方程組的系數(shù)陣為 .A特征方程為: det(A- E)= =2()0特征根為 .i當(dāng) 時, 其中 a, b 滿足1i1ixey(A- E) = =0,abi故有 即 . 0iai取 ，于是方程組對應(yīng)于1,bi=*1ixeycosinisttt故特征根 所對應(yīng)的實解為i= , =1xycosintte2xysincotet所以方程組的解為= ()xtycsittet12C3求解下列方程組： （1） （2） xy2 zyxz2.（1）解 方程組的系數(shù)陣為 . 12A3特征方程為: det(A- E)= =2450特征根為 12,ii當(dāng) 時, 其中 a, b 滿足( = 0,12i()1itxey1iab即 ()0iab第一個方程 有(1)xi2(1)0ib令 ，則ab于是由 2()(cosin)ttetyi解得通解 = .)(xt2sittcsit12C（2） 解 系數(shù)陣為12A特征方程為: det(A- E)= = .1(1)2(3)0特征根為 .123,通解解為 .23123()0tttttcxteyzt4求解下列方程組：（1） （2）ytx3d2etxyt.（1）解 方程組的系數(shù)陣為 ，其特征方程為：30A1det(A- E)= = .32()特征根為 , 方程組有如下形式的解: 12 312()txre321()tyre代入原方程組有33121212()()tt t trer消去 得 3te1220tr令 , 則 12r13txe3ty令 , 則 rt0所以方程組的解為3312()ttxteCy（2）解 首先求出相應(yīng)齊次線性方程組的通解. 對應(yīng)齊次方程的系數(shù)陣為 .01A其特征方程為： det(A- E)= = .1(1)0特征根為 12,當(dāng) 時， ，其中 a, b 滿足(A- E) = =0, 則有 a b = 01yxte1 ab1b取 a = b =1, 則得一特解 1t同理,當(dāng) 時， 21e2tyx所以對應(yīng)齊次線性方程組的通解為 12()ttxtecy然后運用常數(shù)變易法計算原方程組的一個特解.將 代入原方程組，得 12()()ttxtcey 212()ttce解得 .212()()ttttttece原方程組的特解為 2122 1()() ().1ttttt tttttttt ecxteey ee所以原方程組的通解為 2121() .tttt ttecxtey5已知方程 的一個解 ，求其通解01)ln1(2yxyx xyln1解 由通解公式 ， ，*()121pxdce11l,()ln)pxx()* *(ln)1 12 2121 (l)ln()ndxpxdyceyyxcc 6試求下列 n 階常系數(shù)線性齊次方程的通解（1） （2）029yy 0)4(y（1） 解 特征方程為: 290特征根為: 。它們對應(yīng)的解為 :124,545,xe方程通解為: .xxyce.（2） 解 特征方程為: 410特征根為: 1,23,42ii它們對應(yīng)的解為: 2222cos,sin,cos,sinxxxxeeee方程通解為:.2 21234(i)(i)2x xyccx7試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：（1） ， ， 04yy4)2(0)(y（2） ， ，5（1） 解 特征方程為: .2特征根為: ，方程通解為 : 1,2212()xyec由初始條件有: ,解得 .24130c428所以方程的初值解為: .24(1)xyeex（2）解 特征方程為: .0特征根為: ，方程通解為 : 120, 12xyce由初始條件有: ,解得 .25c1275所以方程的初值解為: .xye8求下列 n 階常系數(shù)線性非齊次方程的通解：（1） 8732xy（2） cos10（1）解 由于 ， ，212,7故齊次方程的通解為 .712xxyce.由于 不是特征根，故已知方程有形如 的特解.021yAxBC將它代入原方程，得, ，3976,43ABC所求通解為 .7212xxycex（2）解 由于 ，120,1ii.12(cosn)xyex因為 不是特征根，故已知方程有形如2ii1121()cs()siyAxBxABx的特解將上式代入原方程，可得 ，112239,268369所求通解為.12 1(cosin)()cos()sin2683xyexxx三、證明題1設(shè) 矩陣函數(shù) ， 在（a, b）上連續(xù)，試證明，若方程組n)(1tA2t與 有相同的基本解組，則 XA)(dttd2t)(1tA2t證明 設(shè) 為基本解矩陣, 因為基本解矩陣是可逆的,故有 )(d)(211tAtXt于是 .21tA2設(shè)在方程 中， 在區(qū)間 上連續(xù)且恒不為零，試證它0)(yxqpy)(xpI的任意兩個線性無關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間 上嚴格單調(diào)函數(shù)證明 設(shè) w(x)是方程的任意兩個線性無關(guān)解的朗斯基行列式，則 且,()0xIw，有 ， .又因為 在區(qū),I0xx0 p(t)dw()=e0()()xptdwpe間 上連續(xù)且恒不為零,從而對 , 或 ,所以, 在 上恒正或I0x()I.恒負,即 w(x)為嚴格單調(diào)函數(shù).3試證明：二階線性齊次方程的任意兩個線性無關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個不為零的常數(shù)證明 設(shè)兩個線性的解組的朗斯基行列式分別為， ，且 ，0()11()xptdwxe0()22)(xptdwe1020(),()wx所以有 .120x四、應(yīng)用題1一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點由靜止開始沉入液體中，當(dāng)下沉?xí)r，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質(zhì)點的運動規(guī)律。解 設(shè)液體的反作用與質(zhì)點速度的比例系數(shù)為 k則指點的運動滿足方程： xmg即kxgm *（ ）則(*)所對應(yīng)的齊次方程的通解為： ktmxc-=e又 是齊次方程的特征根,故特解形式為： =0AtB1代入(*)式得： kgAgmk 所以ktxcB-e由 得(0)=,22gmckk, 故21tmgxtk- e