江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)與平面向量 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案.doc

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第1講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) [考情考向分析]　1.以圖象為載體，考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性.2.考查三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值，重點(diǎn)考查分析、處理問(wèn)題的能力，是高考的必考點(diǎn)． 熱點(diǎn)一　三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式 例1　(1)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的正半軸重合，若它的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，1)，則tan＝________. 答案?。? 解析　由角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的正半軸重合，若它的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)，可得x＝2，y＝1，tan α＝＝，∴tan 2α＝＝＝， ∴tan＝＝＝－7. (2)已知曲線f(x)＝x3－2x2－x在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的傾斜角為α，則cos2－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值為_(kāi)_______． 答案　 解析　由f(x)＝x3－2x2－x可知f′(x)＝3x2－4x－1， ∴tan α＝f′(1)＝－2， cos2－2cos2α－3sincos ＝(－sin α)2－2cos2α－3sin αcos α ＝sin2α－2cos2α－3sin αcos α ＝＝ ＝＝. 思維升華　(1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問(wèn)題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解．應(yīng)用定義時(shí)，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)，與終邊上點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)． (2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)要弄清三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)的過(guò)程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡(jiǎn)等． 跟蹤演練1　(1)在平面直角坐標(biāo)系中，若角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則sin(π＋α)＝________. 答案　－ 解析　由誘導(dǎo)公式可得， sin＝sin＝－sin＝－， cos＝cos＝cos＝， 即P， 由三角函數(shù)的定義可得， sin α＝＝， 則sin＝－sin α＝－. (2)已知sin(3π＋α)＝2sin，則＝________. 答案　－ 解析　∵sin(3π＋α)＝2sin， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α， 則＝ ＝＝＝－. 熱點(diǎn)二　三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例2　(1)(2018江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬)函數(shù)y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)y＝sin的圖象重合，則φ＝________. 答案　 解析　y＝cos(2x＋φ)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后， 得到y(tǒng)＝cos＝sin ∴sin＝sin， ∴－＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 又φ∈[－π，π]，∴φ＝. (2)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)閇－1,2]，則θ＝________. 答案　 解析　由函數(shù)f(x)的圖象可知， A＝2，＝－＝，解得T＝π， 所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)， 當(dāng)x＝時(shí)，f＝2sin＝0， 又|φ|<π，解得φ＝－， 所以f(x)＝2sin， 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象， 所以g(x)＝2sin＝2cos 2x， 若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)閇－1,2]， 則2cos 2θ＝－1， 則θ＝kπ＋，k∈Z，或θ＝kπ＋，k∈Z， 所以θ＝. 思維升華　(1)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置． (2)在圖象變換過(guò)程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度數(shù)和方向． 跟蹤演練2　(1)將函數(shù)y＝3sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所在圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為_(kāi)_______________________． 答案　y＝3sin 解析　把函數(shù)y＝3sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度， 所得圖象的解析式是y＝3sin ＝3sin. (2)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則ω＝________；函數(shù)f(x)在區(qū)間上的零點(diǎn)為_(kāi)_______． 答案　2　 解析　從圖中可以發(fā)現(xiàn)，相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，－，從而求得函數(shù)的最小正周期為T＝2＝π，根據(jù)T＝可求得ω＝2.再結(jié)合題中的條件可以求得函數(shù)的解析式為f(x)＝2sin，令2x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，結(jié)合所給的區(qū)間，整理得出x＝. 熱點(diǎn)三　三角函數(shù)的性質(zhì) 例3　已知函數(shù)f(x)＝4cos ωxsin(ω>0)的最小正周期是π. (1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，π)上的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)求f(x)在上的最大值和最小值． 解　(1)f(x)＝4cos ωxsin ＝4cos ωx ＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1－1 ＝sin 2ωx－cos 2ωx－1 ＝2sin－1， 因?yàn)樽钚≌芷谑牵溅?，所以ω?， 從而f(x)＝2sin－1. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以函數(shù)f(x)在(0，π)上的單調(diào)遞增區(qū)間為和. (2)當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈， 2sin∈， 所以f(x)在上的最大值和最小值分別為1，－1. 思維升華　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)及應(yīng)用類題目的求解思路 第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式； 第二步：把“ωx＋φ”視為一個(gè)整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對(duì)稱性等問(wèn)題． 跟蹤演練3　(1)(2018江蘇泰州中學(xué)調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且在y軸右側(cè)的第一個(gè)極值點(diǎn)為x＝，則f＝________. 答案　 解析　由題意得f(x)為奇函數(shù)，∴φ＝0， 又f＝1，∴ω＝(ω>0)， ∴ω＝3，∴f＝sin＝. (2)已知x∈，則函數(shù)f(x)＝－cos 2x－sin xsin＋cos2x＋的最小值為_(kāi)_______． 答案　 解析　因?yàn)閒(x)＝－cos 2x－sin xsin＋cos2x＋， 所以f(x)＝2sin2x－sin x＋cos2x＋ ＝sin2x－＋＝2＋1. 設(shè)t＝sin x，則y＝2＋1. 因?yàn)閤∈，所以≤t≤1. 又函數(shù)y＝2＋1在上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)t＝時(shí)，y＝2＋1取得最小值， 且ymin＝2＋1＝， 即函數(shù)f(x)的最小值為.  1．(2018全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2sin x＋sin 2x，則f(x)的最小值是________． 答案　－ 解析　f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1) ＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)． ∵cos x＋1≥0， ∴當(dāng)cos x<時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)cos x>時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增， ∴當(dāng)cos x＝時(shí)，f(x)有最小值． 又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)， ∴當(dāng)sin x＝－時(shí)，f(x)有最小值， 即f(x)min＝2＝－. 2．(2016江蘇)定義在區(qū)間[0,3π]上的函數(shù)y＝sin 2x的圖象與y＝cos x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是__． 答案　7 解析　在區(qū)間[0,3π]上分別作出y＝sin 2x和y＝cos x的簡(jiǎn)圖如下： 由圖象可得兩圖象有7個(gè)交點(diǎn)． 3．(2018江蘇)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，則φ的值為_(kāi)_______． 答案?。? 解析　由題意得f＝sin＝1， ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z. ∵φ∈，∴取k＝0，得φ＝－. 4．(2018全國(guó)Ⅲ)函數(shù)f(x)＝cos在[0，π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____． 答案　3 解析　由題意可知，當(dāng)3x＋＝kπ＋(k∈Z)時(shí)， f(x)＝cos＝0. ∵x∈[0，π]， ∴3x＋∈， ∴當(dāng)3x＋的取值為，，時(shí)，f(x)＝0， 即函數(shù)f(x)＝cos在[0，π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3. 5．(2018江蘇溧陽(yáng)中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，f＝－，則f(0)＝________. 答案　 解析　由題圖知＝－＝， ∴T＝，∴ω＝3. 又f＝A，∴cos＝1， ∴＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－， ∴f＝Acos＝－，∴A＝， ∴f(0)＝cos＝＝. 6．如圖，函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) 與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P，Q，R滿足P(2,0)，∠PQR＝，M為QR的中點(diǎn)，PM＝2，則A的值為_(kāi)_______． 答案　 解析　由題意設(shè)Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)． 則M，由兩點(diǎn)間距離公式，得 PM＝＝2， 解得a1＝8，a2＝－4(舍去)， 由此得＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝， 由P(2,0)及|φ|≤，得φ＝－， 代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)，得f(x)＝Asin， 從而f(0)＝Asin＝－8，得A＝. 7．(2018江蘇海安高級(jí)中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為1,7.記點(diǎn)P(2，f(2))，點(diǎn)Q(5，f(5))，則的值為_(kāi)_______． 答案?。? 解析　由題圖知T＝12，∴ω＝， 又f(1)＝2，∴sin＝1， ∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z. 又|φ|<，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin， ∴f(2)＝，f(5)＝－1，∴P(2，)，Q(5，－1)， ∴＝(1，－2)(－2,1)＝－4. A組　專題通關(guān) 1．點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 答案　 解析　設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)， 則x＝cos＝－，y＝sin ＝. ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. 2．已知tan α＝－2，且<α<π，則sin α＋cos α＝________. 答案　 解析　因?yàn)閠an α＝－2，且<α<π，sin2α＋cos2α＝1， 故sin α＝，cos α＝－， 所以sin α＋cos α＝－＝＝. 3．若函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期為π，則f的值是________． 答案　 解析　∵T＝＝π，∴ω＝2， ∴f＝sin＝sin ＝. 4．(2018南通市通州區(qū)模擬)將函數(shù)f(x)＝2sin的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，若所得到圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則φ的最小值為_(kāi)_______． 答案　 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2sin的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得g(x)＝2sin， 所以2φ－＝kπ(k∈Z)，所以φ＝＋(k∈Z)， 因?yàn)棣?0，所以φmin＝. 5.已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－2cos2＋1(ω>0)，將f(x)的圖象向右平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示，則φ的值為_(kāi)_______． 答案　 解析　∵f(x)＝sin ωx－2cos2＋1 ＝sin ωx－cos ωx＝2sin， 則g(x)＝2sin＝2sin. 由題圖知T＝2＝π， ∴ω＝2，g(x)＝2sin， 則g＝2sin＝2sin＝2， 即－2φ＝＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝－kπ，k∈Z. 又0<φ<， ∴φ的值為. 6．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，f(x1)＝2，f(x2)＝0，若|x1－x2|的最小值為，且f＝1，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_______________． 答案　，k∈Z 解析　由f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值為， 可知＝，∴T＝2，∴ω＝π， 又f＝1，則φ＝＋2kπ，k∈Z， ∵0<φ<，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin. 令－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z. 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. 7．(2017全國(guó)Ⅲ改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號(hào)) ①f(x)的一個(gè)周期為－2π； ②y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱； ③f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝； ④f(x)在上單調(diào)遞減． 答案?、佗冖? 解析　因?yàn)閒(x)＝cos的周期為2kπ(k∈Z)， 所以f(x)的一個(gè)周期為－2π，①正確； 因?yàn)閒(x)＝cos圖象的對(duì)稱軸為直線x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，②正確； f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)， 得x＝kπ－，當(dāng)k＝1時(shí)，x＝， 所以f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝，③正確； 因?yàn)閒(x)＝cos的單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z)， 單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z)， 所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，④錯(cuò)誤． 8．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x－π)＝f(x)－sin x，當(dāng)－π0≥f或f＝0時(shí)，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)， 即sin≤－b－0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的圖象的對(duì)稱中心完全相同，若x∈，則f(x)的取值范圍是________． 答案　 解析　由兩個(gè)三角函數(shù)圖象的對(duì)稱中心完全相同可知，兩函數(shù)的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin， 那么當(dāng)x∈時(shí)，－≤2x－≤， 所以－≤sin≤1，故f(x)∈. 14．(2018株洲質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其圖象與直線y＝3相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π，若f(x)>2對(duì)?x∈恒成立，則φ的取值范圍是________． 答案　 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其圖象與直線y＝3相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π， 所以函數(shù)周期為T＝π，ω＝2， 當(dāng)x∈時(shí)，2x＋φ∈， 且|φ|≤， 由f(x)>2知，sin(2x＋φ)>， 所以解得≤φ≤.