（浙江專版）2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題2.6 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（講）.doc

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第06節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 【考綱解讀】 考 點(diǎn) 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計(jì) 分析預(yù)測(cè) 對(duì)數(shù)運(yùn)算 1. 理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算，會(huì)用換底公式. 2．理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用. 3.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的變化特征. 2014?浙江文8；理7； 2015?浙江文9；理10，12； 2016?浙江文,5；理12； 2018?浙江10，22. 1.對(duì)數(shù)運(yùn)算； 2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其應(yīng)用； 3.除單獨(dú)考查外，在大題中考查對(duì)數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用是熱點(diǎn). 4.備考重點(diǎn)： （1）對(duì)數(shù)運(yùn)算 （2）對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，如比較函數(shù)值的大小； （3）圖象過(guò)定點(diǎn)； （4）底數(shù)分類討論問(wèn)題. 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【知識(shí)清單】 1. 對(duì)數(shù)的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù). 對(duì)點(diǎn)練習(xí) 設(shè)2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于(　　) A. B.10 C.20 D.100 【答案】A 【解析】由已知，得， 則.解得. 2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì) (1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1) (2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)對(duì)數(shù)的重要公式 ①換底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推廣logablogbclogcd＝logad. 3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) (1)概念：函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞). (2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>1 01時(shí)，y>0； 當(dāng)01時(shí)，y<0； 當(dāng)00 在(0，＋∞)上是增函數(shù) 在(0，＋∞)上是減函數(shù) 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1 對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)、求值 【1-1】【2018年新課標(biāo)I卷文】已知函數(shù)，若，則________． 【答案】-7 【解析】分析：首先利用題的條件，將其代入解析式，得到，從而得到，從而求得，得到答案. 【1-2】【2018屆安徽省宿州市第三次檢測(cè)】已知，，，則（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意首先求得m,n的關(guān)系，然后結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 本題選擇C選項(xiàng). 【1-3】若則________,用表示為_(kāi)_______. 【答案】 12 ，. 【解析】∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3， a2m+n=(am)2an=223=12， . 【領(lǐng)悟技法】 1.對(duì)數(shù)運(yùn)算法則是在化為同底的情況下進(jìn)行的，因此，經(jīng)常會(huì)用到換底公式及其推論；在對(duì)含有字母的對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)時(shí)，必須保證恒等變形． 2. (a>0且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中要注意靈活運(yùn)用． 3.利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，在真數(shù)的積、商、冪與對(duì)數(shù)的和、差、倍之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 4.有限制條件的對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題，往往要化簡(jiǎn)已知和所求，利用“代入法”. 【觸類旁通】 【變式一】【2017北京】根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（ ） （參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48） （A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093 【答案】D 【變式二】【2018屆浙江省寧波市高三上期末】已知，則__________． 【答案】2 【解析】 ， ， ，故答案為. 【變式三】【2017屆浙江省麗水市高三下學(xué)期測(cè)試】計(jì)算： __________； 三個(gè)數(shù)最大的是__________． 【答案】 【解析】①； ②,因此最大的數(shù)是. 考點(diǎn)2 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用 【2-1】【2018屆湖南省張家界市高三第三次?！吭谕恢苯亲鴺?biāo)系中，函數(shù)， （，且）的圖象大致為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意，當(dāng)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，若時(shí)，函數(shù)與的零點(diǎn)，且函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；若時(shí)，函數(shù)與的零點(diǎn)，且函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).綜上得，正確答案為A. 【2-2】【2018屆河南省南陽(yáng)市第一中學(xué)第十四次考】函數(shù)，則使得成立的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：先判斷出偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，然后根據(jù)對(duì)稱性將函數(shù)不等式化為絕對(duì)值不等式求解． 詳解：由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，， ∴在上單調(diào)遞減， ∵是偶函數(shù)， ∴在上單調(diào)遞增． ∵， ∴， 兩邊平方后化簡(jiǎn)得且， 解得或， 故使不等式成立的取值范圍是． 故選B． 【2-3】【2018年天津卷理】已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知： ，，， 據(jù)此可得：. 本題選擇D選項(xiàng). 點(diǎn)睛：對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確． 【2-4】已知函數(shù)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在時(shí)，是增函數(shù)，值域?yàn)?，在時(shí)，是減函數(shù)，值域是，因此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則有. 【2-5】【2017課標(biāo)1】已知函數(shù)，則 A．在（0，2）單調(diào)遞增 B．在（0，2）單調(diào)遞減 C．y=的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱 D．y=的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱 【答案】C 【領(lǐng)悟技法】 1. 的底數(shù)變化，其圖象具有如下變化規(guī)律：（1）上下比較：在直線的右側(cè)，時(shí)，底大圖低（靠近軸）；時(shí)，底大圖高（靠近軸）．（2）左右比較（比較圖象與的交點(diǎn)）：交點(diǎn)橫坐標(biāo)越大，對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大. 2. 涉及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域問(wèn)題，要考慮底數(shù)大于零且不為1，真數(shù)大于零． 3.涉及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，要注意底數(shù)的不同取值情況． 4. 比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，若同底數(shù)，考慮應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性；若底數(shù)不同，首先化同底數(shù). 5.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題，要考慮底數(shù)大于零且不為1，真數(shù)大于零． 6.數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，是本節(jié)的一突出特點(diǎn)． 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆四川省南充市三診】在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象都正確的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對(duì)稱性可得解. 詳解：因?yàn)椋?所以函數(shù)單調(diào)遞減，排除B，D. 與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.排除A. 故選A. 【變式二】【2017天津，理6】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為 （A） （B） （C） （D） 【答案】 【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上是增函數(shù)，所以在時(shí)，， 從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)， ， ，又，則，所以即， ， 所以，故選C． 【變式三】【2017河南（中原名校）模擬】若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，則（ ） A. B. C. D. 以上都不對(duì) 【答案】C 【解析】 【變式四】【2017課標(biāo)II】函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函數(shù)有意義，則： ，解得： 或 ，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 . 故選D. 【變式五】【2018屆福建省泉州市第二次（5月）質(zhì)量檢查】已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)偶函數(shù)的定義，以及f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，這樣根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義以及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而選出正確選項(xiàng)． 詳解：f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增； A．f（﹣3e）=f（3e），且2e＜3e； ∴f（2e）＜f（3e）； ∴f（2e）＜f（﹣3e），∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤； B．f（﹣e3）=f（e3），且e2＜e3； ∴f（e2）＜f（e3）； ∴f（e2）＜f（﹣e3），∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤； C.，； ∴； ∵f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增； ∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減； ∴，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤； D.，； ∴； ∴，∴該選項(xiàng)正確． 故答案為：D 【易錯(cuò)試題常警惕】 易錯(cuò)典例：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，1) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(0，＋∞) 易錯(cuò)分析：解答本題，易于因?yàn)楹鲆暫瘮?shù)的定義域，而導(dǎo)致錯(cuò)誤． 而函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴的單調(diào)遞減區(qū)間為(3，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)． 溫馨提醒： (1)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，遵循“同增異減”； (2)注意遵循“定義域優(yōu)先”的原則. 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休——數(shù)形結(jié)合思想 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò):"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應(yīng)用向量解決問(wèn)題或解答向量問(wèn)題時(shí)，要注意恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、將抽象問(wèn)題具體化，達(dá)到事半功倍的效果. 【典例】【2017浙江溫州中學(xué)3月模擬】已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷正確的是（ ） A. 當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn) B. 無(wú)論為何值，均有2個(gè)零點(diǎn) C. 當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn) D. 無(wú)論為何值，均有4個(gè)零點(diǎn) 【答案】A 【解析】畫(huà)出函數(shù)的圖像如圖，結(jié)合圖像可知：由題設(shè)可得若，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在多少個(gè)的值使得函數(shù)值，且使得。則當(dāng)時(shí)，因與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，，即函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在唯一與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足使得，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，分別存在兩個(gè)值使得與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足題設(shè)，故函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn).應(yīng)選答案A.。