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8＋6分項(xiàng)練12 函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．(2018葫蘆島模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x
tan y B．ln>ln
C.> D．x3>y3
答案 D
解析 xy，
對(duì)于A，當(dāng)x＝，y＝－時(shí)，滿(mǎn)足x>y，但tan x>tan y不成立．
對(duì)于B，若ln>ln，則等價(jià)于x2＋1>y2成立，當(dāng)x＝1，y＝－2時(shí)，滿(mǎn)足x>y，但x2＋1>y2不成立．
對(duì)于C，當(dāng)x＝3，y＝2時(shí)，滿(mǎn)足x>y，但>不成立．
對(duì)于D，當(dāng)x>y時(shí)，x3>y3恒成立．
2．函數(shù)f(x)＝(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖象大致為( )
答案 A
解析 f(－x)＝
＝＝＝f(x)，
所以f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
又當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→＋∞，故選A.
3．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(3－x)＋f(x)＝0，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝log2(2x＋7)，則f(2 017)等于( )
A．－2 B．log23
C．3 D．－log25
答案 D
解析 因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)滿(mǎn)足f(3－x)＋f(x)＝0，
所以f(x)＝－f(3－x)＝f(x－3)，即周期為3，
所以f(2 017)＝f(1)＝－f(－1)＝－log25，故選D.
4．(2018山西省運(yùn)城市康杰中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(ex＋e－x)＋x2，則使得f(2x)>f(x＋3)成立的x的取值范圍是( )
A．(－1,3) B.∪
C. D．(－∞，－1)∪
答案 D
解析 因?yàn)閒(－x)＝ln(e－x＋ex)＋(－x)2
＝ln(ex＋e－x)＋x2＝f(x)，
所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，
又f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以f(2x)>f(x＋3)?|2x|>|x＋3|，
解得x<－1或x>3.故選D.
5．(2018貴州省凱里市第一中學(xué)模擬)定義：如果函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，在區(qū)間[a，b]上存在x1，x2(a0且a≠1)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(1，＋∞) B.∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) D．(0,1)∪
答案 C
解析 令y＝8x－logax2＝0，則8x＝logax2，
設(shè)f(x)＝8x，g(x)＝logax2，
于是要使函數(shù)y＝8x－logax2(a>0且a≠1)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，
只需函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在區(qū)間上沒(méi)有交點(diǎn)，
當(dāng)a>1時(shí)，顯然成立；當(dāng)0f＝2，
即loga>2＝logaa2，
于是a2>，解得1或0時(shí)，g(x)∈[－2a＋1，a＋1]，則有解得a≥；當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝1，不符合題意；當(dāng)a<0時(shí)，g(x)∈[a＋1，－2a＋1]，則有解得a≤－.
綜上所述，可得a的取值范圍為
∪.
9．(2018四川省成都市第七中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則g(f(－2))的值為_(kāi)_______．
答案?。?
解析 ∵函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，
∴f(－2)＝－f(2)＝－(4－2)＝－2，
g(f(－2))＝g(－2)＝f(－2)＝－2.
10．已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)g(x)＝2|x|f(x)－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．
答案 2
解析 畫(huà)出函數(shù)f(x)＝的圖象如圖，
由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0可得f(x)＝，則問(wèn)題化為函數(shù)f(x)＝與函數(shù)y＝＝21－|x|的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題．結(jié)合圖象可以看出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)只有兩個(gè)．
11．(2018東北三省三校模擬)函數(shù)f(x)＝ax－2 015＋2 017(a>0且a≠1)所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．
答案 (2 015,2 018)
解析 當(dāng)x＝2 015時(shí)，
f(2 015)＝a2 015－2 015＋2 017＝a0＋2 017＝2 018，
∴f(x)＝ax－2 015＋2 017(a>0且a≠1)過(guò)定點(diǎn)(2 015，2 018)．
12．(2018南平質(zhì)檢)已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x2－sin y＝1，則sin y－x的取值范圍是________．
答案
解析 由x2－sin y＝1，可得sin y＝x2－1.
又sin y∈[－1,1]，所以x2－1∈[－1,1]，
解得－≤x≤.
sin y－x＝x2－x－1＝2－.
結(jié)合－≤x≤，
可得2－∈.
13．若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x1，x2，當(dāng)f(x1)＝f(x2)時(shí)，總有x1＝x2，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為單純函數(shù)，例如函數(shù)f(x)＝x是單純函數(shù)，但函數(shù)f(x)＝x2不是單純函數(shù)，下列命題：
①函數(shù)f(x)＝是單純函數(shù)；
②當(dāng)a>－2時(shí)，函數(shù)f(x)＝在(0，＋∞)上是單純函數(shù)；
③若函數(shù)f(x)為其定義域內(nèi)的單純函數(shù)，x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；
④若函數(shù)f(x)是單純函數(shù)且在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，則在其定義域內(nèi)一定存在x0使其導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝0，其中正確的命題為_(kāi)_______．(填上所有正確命題的序號(hào))
答案 ①③
解析 由題設(shè)中提供的“單純函數(shù)”的定義可知，當(dāng)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)時(shí)，該函數(shù)必為單純函數(shù)．因?yàn)楫?dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝log2x單調(diào)，當(dāng)x<2時(shí)，f(x)＝x－1單調(diào)，結(jié)合f(x)的圖象可知f(x)是單純函數(shù)，故命題①正確；對(duì)于命題②，f(x)＝x＋＋a，由f(2)＝f但2≠可知f(x)不是單純函數(shù)，故命題②錯(cuò)誤；此命題是單純函數(shù)定義的逆否命題，故當(dāng)x1≠x2時(shí)，f(x1)≠f(x2)，即命題③正確；對(duì)于命題④，例如，f(x)＝x是單純函數(shù)且在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，但在定義域內(nèi)不存在x0，使f′(x0)＝0，故④錯(cuò)誤，答案為①③.
14．已知函數(shù)f(x)＝sin x＋2|sin x|，關(guān)于x的方程f2(x)－f(x)－1＝0有以下結(jié)論：
①當(dāng)a≥0時(shí)，方程f2(x)－f(x)－1＝0恒有根；
②當(dāng)0≤a<時(shí)，方程f2(x)－f(x)－1＝0在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根；
③當(dāng)a≥0時(shí)，方程f2(x)－f(x)－1＝0在內(nèi)最多有9個(gè)不等實(shí)根；
④若方程f2(x)－f(x)－1＝0在內(nèi)根的個(gè)數(shù)為非零偶數(shù)，則所有根之和為15π.
其中正確的結(jié)論是________．(填序號(hào))
答案?、邰?
解析 如圖所示，令f(x)＝t，故可將題意理解為先求出t2－t－1＝0的解，然后再令f(x)＝t即可得出方程的根的情況，而假設(shè)t2－t－1＝0有兩解t1，t2，則t1＋t2＝，t1t2＝－1，
故t1，t2一正一負(fù)，顯然負(fù)根與函數(shù)f(x)的圖象不會(huì)產(chǎn)生交點(diǎn)，故只需討論正根與圖象的交點(diǎn)，不妨假設(shè)t1為正根，故可得t1－＝，
對(duì)于①顯然錯(cuò)誤，只要足夠大，很顯然與函數(shù)圖象不會(huì)有交點(diǎn)，故①錯(cuò)誤．對(duì)于②，當(dāng)0≤a<時(shí)，∈，故t1∈[1,3)，故方程f2(x)－f(x)－1＝0在內(nèi)有兩個(gè)或三個(gè)不等實(shí)根，故②錯(cuò)誤．對(duì)于③，當(dāng)a≥0時(shí)，故∈[0，＋∞)，當(dāng)a＝0時(shí)，t1的最小值取1.當(dāng)t1＝1時(shí)，此時(shí)在內(nèi)有9個(gè)不等實(shí)根；當(dāng)a>0時(shí)，此時(shí)在內(nèi)無(wú)根或者3個(gè)根或者6個(gè)根，故最多9個(gè)根，③正確；對(duì)于④，當(dāng)在內(nèi)有偶數(shù)(非零)個(gè)根時(shí)，即為6個(gè)根，此時(shí)6個(gè)解關(guān)于x＝對(duì)稱(chēng)，故6個(gè)根的和為23＝15π，④正確，故正確的為③④.
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