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9.5 橢 圓
最新考綱
考情考向分析
1.掌握橢圓的定義、標準方程、幾何圖形及簡單幾何性質(zhì).
2.會解決直線與橢圓的位置關系的問題.
橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)通常以小題形式考查，直線與橢圓的位置關系主要出現(xiàn)在解答題中.題型主要以選擇、填空題為主，一般為中檔題，橢圓方程的求解經(jīng)常出現(xiàn)在解答題的第一問.
1.橢圓的概念
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a>c，則集合P為橢圓；
(2)若a＝c，則集合P為線段；
(3)若a
b>0)
＋＝1(a>b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標軸 對稱中心：原點
頂點坐標
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
軸
長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的關系
a2＝b2＋c2
概念方法微思考
1.在橢圓的定義中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，動點P的軌跡如何？
提示 當2a＝|F1F2|時動點P的軌跡是線段F1F2；當2a<|F1F2|時動點P的軌跡是不存在的.
2.橢圓的離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關系？
提示 由e＝＝知，當a不變時，e越大，b越小，橢圓越扁；e越小，b越大，橢圓越圓.
3.點和橢圓的位置關系有幾種？如何判斷.
提示 點P(x0，y0)和橢圓的位置關系有3種
(1)點P(x0，y0)在橢圓內(nèi)?＋<1.
(2)點P(x0，y0)在橢圓上?＋＝1.
(3)點P(x0，y0)在橢圓外?＋>1.
4.直線與橢圓的位置關系有幾種？如何判斷？
提示 直線與橢圓的位置關系有三種：相離、相切、相交.
判斷方法為聯(lián)立直線與橢圓的方程，求聯(lián)立后所得方程的判別式Δ.
(1)直線與橢圓相離?Δ<0.
(2)直線與橢圓相切?Δ＝0.
(3)直線與橢圓相交?Δ>0.
題組一 思考辨析
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”)
(1)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距).( √ )
(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓.( √ )
(3)＋＝1(a≠b)表示焦點在y軸上的橢圓.( )
(4)＋＝1(a>b>0)與＋＝1(a>b>0)的焦距相等.( √ )
題組二 教材改編
2.[P49T4]橢圓＋＝1的焦距為4，則m等于( )
A.4B.8C.4或8D.12
答案 C
解析 當焦點在x軸上時，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
當焦點在y軸上時，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
3.[P80T3(1)]過點A(3，－2)且與橢圓＋＝1有相同焦點的橢圓的方程為( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 由題意知c2＝5，可設橢圓方程為＋＝1(λ>0)，則＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，
∴所求橢圓的方程為＋＝1.
4.[P49T6]已知點P是橢圓＋＝1上y軸右側(cè)的一點，且以點P及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標為__________________.
答案 或
解析 設P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，則F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0).由題意可得點P到x軸的距離為1，所以y＝1，把y＝1代入＋＝1，得x＝，又x>0，所以x＝，
所以P點坐標為或.
題組三 易錯自糾
5.(2018浙江余姚中學質(zhì)檢)已知方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則m的取值范圍是( )
A.m>2或m<－1 B.m>－2
C.－12或－22＋m>0，解得m>2或－2b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 ∵△AF1B的周長為4，∴4a＝4，
∴a＝，∵離心率為，∴c＝1，∴b＝＝，
∴橢圓C的方程為＋＝1.故選A.
第1課時 橢圓及其性質(zhì)
題型一 橢圓的定義及應用
1.如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于點P，則點P的軌跡是( )
A.橢圓 B.雙曲線
C.拋物線 D.圓
答案 A
解析 由條件知|PM|＝|PF|，
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P點的軌跡是以O，F(xiàn)為焦點的橢圓.
2.已知△ABC的頂點B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是( )
A.2B.6C.4D.12
答案 C
解析 由橢圓的方程得a＝.設橢圓的另一個焦點為F，則由橢圓的定義得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周長為|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
3.橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則|PF2|等于( )
A.B.C.D.4
答案 A
解析 F1(－，0)，∵PF1⊥x軸，
∴P，∴|PF1|＝，∴|PF2|＝4－＝.
4.設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，點M的坐標為
(6，4)，則|PM|－|PF1|的最小值為________.
答案?。?
解析 由橢圓的方程可知F2(3，0)，由橢圓的定義可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，當且僅當M，P，F(xiàn)2三點共線時取得等號，又|MF2|＝＝5，2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值為
－5.
思維升華橢圓定義的應用技巧
(1)橢圓定義的應用主要有：求橢圓的標準方程，求焦點三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.
(2)通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關于焦點三角形的周長和面積問題.
題型二 橢圓的標準方程
命題點1 定義法
例1 (1)(2019麗水調(diào)研)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1內(nèi)切，和圓C2外切，則動圓圓心M的軌跡方程為( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 設圓M的半徑為r，
則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a＝16，2c＝8，
即a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求的軌跡方程為＋＝1.
(2)在△ABC中，A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周長是18，則頂點C的軌跡方程是( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案 A
解析 由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，頂點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(A，B，C不共線).設其方程為＋＝1(a>b>0)，則a＝5，c＝4，從而b＝3.由A，B，C不共線知y≠0.故頂點C的軌跡方程是＋＝1(y≠0).
命題點2 待定系數(shù)法
例2 (1)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點，(，)，則橢圓的標準方程為__________.
答案?。?
解析 設橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
由解得m＝，n＝.
∴橢圓方程為＋＝1.
(2)一個橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的標準方程為____________.
答案?。?
解析 ∵橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，∴可設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，∵P(2，)是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，
∴又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝，c＝，
∴橢圓的標準方程為＋＝1.
思維升華 (1)求橢圓的標準方程多采用定義法和待定系數(shù)法.
(2)利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a>|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點位置)，再定量，也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.
跟蹤訓練1(1)已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為，且橢圓G上一點到兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 依題意設橢圓G的方程為＋＝1(a>b>0)，∵橢圓上一點到兩焦點的距離之和為12，∴2a＝12，∴a＝6，∵橢圓的離心率為，∴e＝＝＝，即＝，解得b2＝9，∴橢圓G的方程為＋＝1，故選A.
(2)過點(，－)，且與橢圓＋＝1有相同焦點的橢圓的標準方程為________________.
答案 ＋＝1
解析 ∵所求橢圓與橢圓＋＝1的焦點相同，
∴其焦點在y軸上，且c2＝25－9＝16.
設它的標準方程為＋＝1(a>b>0).
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又點(，－)在所求橢圓上，
∴＋＝1，即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求橢圓的標準方程為＋＝1.
題型三 橢圓的幾何性質(zhì)
命題點1 求離心率的值(或范圍)
例3 (1)設橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30，則C的離心率為( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 方法一 如圖，
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30，|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝＝，|PF2|＝2ctan30＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
即＋＝2a，可得c＝a.
∴e＝＝.
方法二 (特殊值法)：
在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，
∵∠PF1F2＝30，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝.
∴e＝＝＝.
(2)橢圓＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，點P為橢圓上一點，|OP|＝a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 設P(x，y)，則|OP|2＝x2＋y2＝，
由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，
又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，
∴|PF1||PF2|＝|F1F2|2＝4c2，
則|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，
∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，
整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，
即＋5c2＝2a2，整理得＝，
∴橢圓的離心率e＝＝.
(3)(2018杭州調(diào)研)已知橢圓＋＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b－c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，則橢圓的離心率e的取值范圍是__________.
答案
解析 因為|PT|＝(b>c)，
而|PF2|的最小值為a－c，
所以|PT|的最小值為.
依題意，有≥(a－c)，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，
所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，
所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.①
又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，所以2e2<1.②
聯(lián)立①②，得≤e<.
命題點2 求參數(shù)的值(或范圍)
例4 (2017全國Ⅰ)設A，B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB＝120，則m的取值范圍是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)
答案 A
解析 方法一 設橢圓焦點在x軸上，
則03時，焦點在y軸上，
要使C上存在點M滿足∠AMB＝120，
則≥tan60＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范圍為(0，1]∪[9，＋∞).
故選A.
思維升華 (1)求橢圓離心率或其范圍的方法
解題的關鍵是借助圖形建立關于a，b，c的關系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關系式，常用方法如下：
①直接求出a，c，利用離心率公式e＝求解.
②由a與b的關系求離心率，利用變形公式e＝求解.
③由橢圓的定義求離心率，e＝＝，而2a是橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和，2c是焦距，從而與焦點三角形聯(lián)系起來.
④構(gòu)造a，c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關系，從而求得e，一般步驟如下：
(ⅰ)建立方程：根據(jù)已知條件得到齊次方程Aa2＋Bac＋Cc2＝0；
(ⅱ)化簡：兩邊同時除以a2，化簡齊次方程，得到關于e的一元二次方程A＋Be＋Ce2＝0；
(ⅲ)求解：解一元二次方程，得e的值；
(ⅳ)驗算取舍：根據(jù)橢圓離心率的取值范圍e∈(0，1)確定離心率e的值.
若得到齊次不等式，可以類似求出離心率e的取值范圍.
(2)橢圓幾何性質(zhì)的應用技巧
①與橢圓的幾何性質(zhì)有關的問題要結(jié)合圖形進行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形.
②橢圓相關量的范圍或最值問題常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0b>0)中，F(xiàn)為右焦點，B為上頂點，O為坐標原點，直線y＝x交橢圓于第一象限內(nèi)的點C，若S△BFO＝S△BFC，則橢圓的離心率等于( )
A. B.
C. D.－1
答案 A
解析 聯(lián)立直線y＝x與橢圓＋＝1，得在第一象限的交點為C，又因為S△BFO＝S△BFC，所以直線BF與直線y＝x的交點為線段OC的中點，即線段OC的中點在直線BF：＋＝1上，則＋＝1，化簡得橢圓的離心率e＝＝，故選A.
(3)(2018溫州高考適應性測試)正方形ABCD的四個頂點都在橢圓＋＝1上，若橢圓的焦點在正方形的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由橢圓的對稱性可知，正方形的四個頂點為直線y＝x與橢圓的交點，即，因為橢圓的焦點在正方形的內(nèi)部，所以c<，化簡得a4－3a2c2＋c4>0，所以e4－3e2＋1>0，又03 B.a<－2
C.a>3或a<－2 D.a>3或－6a＋6>0，解得a>3或－6－2)上的動弦EF過Γ的一個焦點(動弦不在x軸上)，若Γ的另一個焦點與動弦EF所構(gòu)成的三角形的周長為20，則橢圓Γ的離心率為( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 由橢圓的定義，得4a＝20，解得a＝5.又c2＝a2－b2＝m＋6－(m＋2)＝4，所以c＝2，所以橢圓的離心率e＝＝，故選C.
3.(2018浙江省高考模擬試卷)已知橢圓的方程為＋＝1，矩形ABCD的四個頂點都在橢圓上，若橢圓的焦點在矩形的內(nèi)部，則矩形的長與寬的比值的取值范圍為( )
A.(1，2) B.(1，3)
C.(，＋∞) D.(1，)
答案 C
解析 根據(jù)橢圓與矩形的對稱性知，矩形的相鄰兩邊分別平行于x軸，y軸，且橢圓與矩形都以原點O為對稱中心，
如圖是矩形的邊過焦點時的情形，由橢圓方程＋＝1，知當x＝2時，y＝，故A，此時，矩形的長與寬的比值為，由于焦點在矩形的內(nèi)部，所以矩形的長與寬的比值大于，故選C.
4.設橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，且滿足＝9，則|PF1||PF2|的值為( )
A.8B.10C.12D.15
答案 D
解析 由橢圓方程＋＝1，可得c2＝4，所以|F1F2|＝2c＝4，而＝－，所以||＝|－|，兩邊同時平方，得||2＝||2－2＋||2，所以||2＋||2＝||2＋2＝16＋18＝34，根據(jù)橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝64，所以34＋2|PF1||PF2|＝64，
所以|PF1||PF2|＝15.故選D.
5.2016年1月14日，國防科工局宣布，嫦娥四號任務已經(jīng)通過了探月工程重大專項領導小組審議通過，正式開始實施.如圖所示，假設“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2.
其中正確式子的序號是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
答案 D
解析 觀察圖形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正確；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正確；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，<，即<，從而c1a2>a1c2，>，即④式正確，③式不正確.故選D.
6.(2018浙江省金華十校期末)橢圓M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓M上任一點，且|PF1||PF2|的最大值的取值范圍是[2b2，3b2]，橢圓M的離心率為e，e－的最小值是( )
A.－ B.－
C.－ D.－
答案 A
解析 由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1||PF2|≤2＝a2，
∴2b2≤a2≤3b2，
即2a2－2c2≤a2≤3a2－3c2，
∴≤≤，即≤e≤.
令f(e)＝e－，則f(e)在上是增函數(shù)，
∴當e＝時，e－取得最小值－＝－.
7.(2018浙江七彩陽光聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓的方程為＋＝1，過橢圓中心的直線交橢圓于A，B兩點，F(xiàn)2是橢圓的右焦點，則△ABF2的周長的最小值為________，△ABF2的面積的最大值為________.
答案 10 2
解析 設F1是橢圓的左焦點.如圖，連接AF1.
由橢圓的對稱性，結(jié)合橢圓的定義知|AF2|＋|BF2|＝2a＝6，所以要使△ABF2的周長最小，必有|AB|＝2b＝4，所以△ABF2的周長的最小值為10.＝＝2c|yA|＝|yA|≤2，所以△ABF2面積的最大值為2.
8.設F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點，若△F2AB是面積為4的等邊三角形，則橢圓C的方程為__________.
答案?。?
解析 ∵△F2AB是面積為4的等邊三角形，∴AB⊥x軸，∴A，B兩點的橫坐標為－c，代入橢圓方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝.
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30，∴＝2c.①
又＝2c＝4，②
a2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴橢圓C的方程為＋＝1.
9.已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)與橢圓C2：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，C，D四點，若橢圓C1的一個焦點為F(－，0)，且四邊形ABCD的面積為，則橢圓C1的離心率e為________.
答案
解析 聯(lián)立
兩式相減得＝，又a≠b，
所以x2＝y(tǒng)2＝，
故四邊形ABCD為正方形，＝，(*)
又由題意知a2＝b2＋2，將其代入(*)式整理得3b4－2b2－8＝0，所以b2＝2，則a2＝4，
所以橢圓C的離心率e＝.
10.已知A，B，F(xiàn)分別是橢圓x2＋＝1(00，則橢圓的離心率的取值范圍為______________.
答案
解析 如圖所示，線段FA的垂直平分線為x＝，線段AB的中點為.
因為kAB＝－b，所以線段AB的垂直平分線的斜率k＝，
所以線段AB的垂直平分線方程為y－＝.
把x＝＝p代入上述方程可得y＝＝q.
因為p＋q>0，所以＋>0，
化為b>.
又0|F1F2|，
所以點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，
其中長軸長為4，焦距為2，則短半軸長為，
所以點M的軌跡方程為＋＝1.
12.已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的離心率e＝，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標、頂點坐標.
解 橢圓方程可化為＋＝1，m>0.
∵m－＝>0，∴m>，
∴a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得＝，∴m＝1.
∴橢圓的標準方程為x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝.
∴橢圓的長軸長和短軸長分別為2a＝2和2b＝1，焦點坐標為F1，F(xiàn)2，四個頂點的坐標分別為A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2.
13.(2018浙江省臺州適應性考試)已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)(－5，0)為橢圓C的左焦點，P為橢圓C上一點，且滿足|OP|＝|OF|，|PF|＝6，則橢圓C的標準方程為( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 如圖，設橢圓C的標準方程為＋＝1(a>b>0)，橢圓C的右焦點為M，
連接PM，則|FM|＝2|OF|＝10，由|OP|＝|OF|＝|OM|知，F(xiàn)P⊥PM，又|PF|＝6，所以|PM|＝＝8，所以2a＝|PF|＋|PM|＝14，所以a＝7，又c＝5，所以b2＝a2－c2＝49－25＝24，所以橢圓C的標準方程為＋＝1.
14.(2018浙江省鎮(zhèn)海中學模擬)設橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F，橢圓C上的兩點A，B關于原點對稱，且滿足＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，則橢圓C的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.[－1，1)
答案 A
解析 如圖，作出橢圓的左焦點F′，分別連接AB，AF′，BF′，
由橢圓的對稱性可知，四邊形AFBF′為平行四邊形.由＝0，知FA⊥FB，所以四邊形AFBF′為矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.設|AF′|＝m，|AF|＝n，
則由橢圓的定義知m＋n＝2a，①
在Rt△AF′F中，m2＋n2＝4c2.②
由①②，得mn＝2(a2－c2)，則＋＝.
令＝t，得t＋＝.
由|FB|≤|FA|≤2|FB|，得＝t∈[1，2]，
所以t＋＝∈，即2≤≤，
解得≤e≤，故選A.
15.(2018嘉興測試)橢圓＋＝1(a>b>0)，直線l1：y＝－x，直線l2：y＝x，P為橢圓上任意一點，過P作PM∥l1且與l2交于點M，作PN∥l2且與l1交于點N，若|PM|2＋|PN|2為定值，則橢圓的離心率為________.
答案
解析 設P(x0，y0)，則直線PM的方程為y＝－x＋＋y0，直線PN的方程為y＝x－＋y0，分別與直
線l2，l1的方程聯(lián)立可得M，N，從而|PM|2＋|PN|2＝x＋y.又點P(x0，y0)在橢圓上，所以b2x＋a2y＝a2b2.又|PM|2＋|PN|2為定值，所以＝＝，從而e2＝＝，從而e＝.
16.已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，若橢圓上存在點P使＝，求該橢圓的離心率的取值范圍.
解 由＝，得＝.
又由正弦定理得＝，
所以＝，即|PF1|＝|PF2|.
又由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝，|PF1|＝，
因為PF2是△PF1F2的一邊，
所以有2c－<<2c＋，
即c2＋2ac－a2>0，所以e2＋2e－1>0(0
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浙江專用2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習
第九章
平面解析幾何
9.5
橢圓第1課時講義含解析
浙江
專用
2020
高考
數(shù)學
新增
一輪
復習
第九
平面
解析幾何
橢圓
課時
講義
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