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課時分層作業(yè) 三十八直接證明與間接證明
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.要證明+<2,可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的是 ( )
A.綜合法 B.分析法
C.反證法 D.歸納法
【解析】選B.從要證明的結論——比較兩個無理數大小出發(fā),證明此類問題通常轉化為比較有理數的大小,這正是分析法的證明方法.
2.(2018廣州模擬)用反證法證明命題“設a,b為實數,則方程x2+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設是 ( )
A.方程x2+ax+b=0沒有實根
B.方程x2+ax+b=0至多有一個實根
C.方程x2+ax+b=0至多有兩個實根
D.方程x2+ax+b=0恰好有兩個實根
【解析】選A. 因為“方程x2+ax+b=0至少有一個實根”等價于“方程x2+ax+b=0有一個實根或兩個實根”,所以該命題的否定是“方程x2+ax+b=0沒有實根”.
3.要證:a2+b2-1-a2b2≤0,只要證明 ( )
A.2ab-1-a2b2≤0
B.a2+b2-1-≤0
C.-1-a2b2≤0
D.(a2-1)(b2-1)≥0
【解析】選D.因為要證a2+b2-1-a2b2≤0,只需要證(a2-1)(b2-1)≥0.
4.命題“如果數列{an}的前n項和Sn=2n2-3n,那么數列{an}一定是等差數列”是否成立 ( )
A.不成立 B.成立
C.不能斷定 D.能斷定
【解析】選B. 因為Sn=2n2-3n,
所以Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)(n≥2),
所以an=Sn-Sn-1=4n-5(n=1時,a1=S1=-1符合上式).又因為an+1-an=4(n≥1),所以{an}是等差數列.
【變式備選】(2018西安模擬) 不相等的三個正數a,b,c成等差數列,并且x是a,b的等比中項,y是b,c的等比中項,則x2,b2,y2三數 ( )
A.成等比數列而非等差數列
B.成等差數列而非等比數列
C.既成等差數列又成等比數列
D.既非等差數列又非等比數列
【解析】選B. 由已知條件,可得
由②③得代入①,得+=2b,即x2+y2=2b2.故x2,b2,y2成等差數列.
5.設a,b是兩個實數,給出下列條件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出:“a,b中至少有一個大于1”的條件是 ( )
A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤
【解析】選C.若a=,b=,則a+b>1,
但a<1,b<1,故①推不出;
若a=b=1,則a+b=2,故②推不出;
若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故④推不出;
若a=-2,b=-3,則ab>1,故⑤推不出;
對于③,即a+b>2,
則a,b中至少有一個大于1,
反證法:假設a≤1且b≤1,
則a+b≤2與a+b>2矛盾,
因此假設不成立,則a,b中至少有一個大于1.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.設a>b>0,m=-,n=,則m,n的大小關系是________.
【解析】(分析法)-?a
0,顯然成立.
答案:m0,則實數p的取值范圍是________.
【解析】 (補集法)
令解得p≤-3或p≥,故滿足條件的p的范圍為.
答案:
【一題多解】(直接法)依題意有f(-1)>0或f(1)>0,即2p2-p-1<0或2p2+3p-9<0,得-0,求證:2a3-b3≥2ab2-a2b.
【證明】 要證明2a3-b3≥2ab2-a2b成立,
只需證:2a3-b3-2ab2+a2b≥0,
即2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0,
即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0.
因為a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,
從而(a+b)(a-b)(2a+b)≥0成立,
所以2a3-b3≥2ab2-a2b.
10.已知四棱錐S-ABCD中,底面是邊長為1的正方形,又SB=SD=,SA=1.
(1)求證:SA⊥平面ABCD.
(2)在棱SC上是否存在異于S,C的點F,使得BF∥平面SAD?若存在,確定F點的位置;若不存在,請說明理由.
【解析】 (1)由已知得SA2+AD2=SD2,
所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.
又AB∩AD=A,
所以SA⊥平面ABCD.
(2)假設在棱SC上存在異于S,C的點F,使得BF∥平面SAD.
因為BC∥AD,BC?平面SAD.
所以BC∥平面SAD.而BC∩BF=B,
所以平面FBC∥平面SAD.
這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾,
所以假設不成立.
所以不存在這樣的點F,使得BF∥平面SAD.
1.(5分)設a,b,c均為正實數,則三個數a+,b+,c+ ( )
A.都大于2 B.都小于2
C.至少有一個不大于2 D.至少有一個不小于2
【解析】選D.因為a>0,b>0,c>0,
所以++=++≥6,當且僅當a=b=c時,等號成立,故三者不能都小于2,即至少有一個不小于2.
2.(5分)(2018洛陽模擬) 設f(x)是定義在R上的奇函數,且當x≥0時,f(x)單調遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值 ( )
A.恒為負值 B.恒等于零
C.恒為正值 D.無法確定正負
【解析】選A.由f(x)是定義在R上的奇函數,
且當x≥0時,f(x)單調遞減,
可知f(x)是R上的單調遞減函數,
由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)f(x)成立,則 ( )
A.3f(ln 2)>2f(ln 3)
B.3f(ln 2)<2f(ln 3)
C.3f(ln 2)=2f(ln 3)
D.3f(ln 2)與2f(ln 3)的大小不確定
【解析】選B.令F(x)=(x>0),則F′(x)=,因為x>0,所以
ln x∈R,因為對任意x∈R都有f ′(x)>f(x),所以f′(ln x)>f(ln x),所以F′(x)>0,所以F(x)為增函數,因為3>2>0,所以F(3)>f(2),即>,所以3f(ln 2)<2f(ln 3).
3.(5分)(2018合肥模擬)某同學準備用反證法證明如下一個問題:函數f(x)在[0,1]上有意義,且f(0)=f(1),如果對于不同的x1,x2∈[0,1],當|f(x1)-f(x2)|
<|x1-x2|時,求證:|f(x1)-f(x2)|<.那么他的反設應該是________.
【解析】根據反證法,寫出相反的結論是:存在x1,x2∈[0,1],當|f(x1)-f(x2)| <|x1-x2|時,則|f(x1)-f(x2)|≥.
答案:存在x1,x2∈[0,1],當|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|時,則|f(x1)-f(x2)|≥
4.(12分)已知非零向量a,b,且a⊥b,求證:≤.
【證明】因為a⊥b?ab=0,
要證≤.
只需證|a|+|b|≤|a+b|,
只需證|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2ab+b2),
只需證|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2,
只需證|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,
即(|a|-|b|)2≥0,
上式顯然成立,故原不等式得證.
5.(13分)已知函數f(x)=ax+(a>1).
(1)證明:函數f(x)在(-1,+∞)上為增函數.
(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數根.
【證明】 (1)任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨設x10.
因為a>1,所以>1且>0,
所以-=(-1)>0.
又因為x1+1>0,x2+1>0,
所以-
=
=>0.
于是f(x2)-f(x1)=-+->0,
故函數f(x)在(-1,+∞)上為增函數.
(2)假設存在x0<0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,
則=-.
因為a>1,所以0<<1,
所以0<-<1,即
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第六章
不等式、推理與證明
課時分層作業(yè)
三十八
6.5
直接證明與間接證明
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