（浙江專版）2019年高考數學一輪復習 專題2.3 函數的奇偶性與周期性（講）.doc

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第03節(jié) 函數的奇偶性與周期性 【考綱解讀】 考 點 考綱內容 5年統(tǒng)計 分析預測 函數的奇偶性與周期性 理解函數的奇偶性，會判斷函數的奇偶性，了解函數的周期性. 2018浙江.5 1.判斷函數的奇偶性與周期性； 2.函數的奇偶性、周期性，通常與抽象函數、函數的圖象以及函數的單調性結合考查，浙江卷常通過三角函數加以考查． 3.備考重點： (1) 抽象函數的奇偶性與周期性； (2)利用奇偶性與周期性求參數取值范圍. 【知識清單】 1.函數的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數 關于y軸對稱 奇函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數 關于原點對稱 對點練習 2.函數的周期性 (1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期. (2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期. 【重點難點突破】 考點1 函數奇偶性的判斷 【1-1】【浙江省杭州市學軍中學2018年5月模擬】函數，則 （ ） A. 是非奇非偶函數 B. 奇偶性與有關 C. 奇偶性與有關 D. 以上均不對 【答案】A 點睛：（1）本題主要考查函數奇偶性的判定，意在考查學生對該基礎知識的掌握能力.(2)判斷函數的奇偶性常用定義法，首先必須考慮函數的定義域，如果函數的定義域不關于原點對稱，則函數一定是非奇非偶函數；如果函數的定義域關于原點對稱，則繼續(xù)求；最后比較和的關系，如果有=，則函數是偶函數，如果有=-，則函數是奇函數，否則是非奇非偶函數. 【1-2】【山東省青島市2018年春季高考二?！肯铝泻瘮凳桥己瘮档氖牵? ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：利用偶函數的定義判斷函數的奇偶性. 詳解：對于選項A,，所以函數是偶函數. 【領悟技法】 判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件： (1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域； (2)判斷與是否具有相等關系或者相反關系. 在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價關系式 (奇函數)或 (偶函數)是否成立. 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆河南省南陽市第一中學高三第二十次考】若函數為偶函數，則__________． 【答案】或 【解析】分析：根據函數為偶函數，觀察其特征，可得為奇函數，結合奇函數的特征，若奇函數在0點有定義，可得一定有，得到相應的關系式，求得結果. 詳解：令，根據函數為偶函數， 可知為奇函數，利用， 可得，所以或. 【變式二】【2017北京，理5】已知函數，則 （A）是奇函數，且在R上是增函數 （B）是偶函數，且在R上是增函數 （C）是奇函數，且在R上是減函數 （D）是偶函數，且在R上是減函數 【答案】A 【解析】，所以函數是奇函數，并且是增函數， 是減函數，根據增函數-減函數=增函數，所以函數是增函數，故選A. 考點2 函數奇偶性的性質及應用 【2-1】【2018年浙江卷】函數y=sin2x的圖象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【2-2】【2018年理數全國卷II】已知是定義域為的奇函數，滿足．若，則 A. B. 0 C. 2 D. 50 【答案】C 【解析】分析：先根據奇函數性質以及對稱性確定函數周期，再根據周期以及對應函數值求結果. 詳解：因為是定義域為的奇函數，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C. 點睛：函數的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解． 【2-3】【2017課標1，理5】函數在單調遞減，且為奇函數．若，則滿足的的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【領悟技法】 1．已知函數的奇偶性求函數的解析式． 抓住奇偶性討論函數在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性產生關于的方程，從而可得的解析式． 2．已知帶有字母參數的函數的表達式及奇偶性求參數．常常采用待定系數法：利用產生關于字母的恒等式，由系數的對等性可得知字母的值． 3．奇偶性與單調性綜合時要注意奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相反． 【觸類旁通】 【變式一】【2018年理數全國卷II】函數的圖像大致為 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 點睛：有關函數圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復． 【變式二】【2018屆浙江省杭州市第二中學6月熱身】設函數，其中表示中的最小者.下列說法錯誤的（ ） A. 函數為偶函數 B. 若時，有 C. 若時， D. 若時， 【答案】D 【解析】分析：的圖像可由三個函數的圖像得到（三圖壘起，取最下者），然后依據圖像逐個檢驗即可． 詳解：在同一坐標系中畫出的圖像（如圖所示）， 故的圖像為圖中粗線所示． 的圖像關于軸對稱，故為偶函數，故A正確． 當時，，； 當時，，； 當時，，； 當時，，此時有，故B成立． 從圖像上看，當時，有成立，令，則，故，故C成立． 取，則，，，故D不成立． 綜上，選D． 點睛：一般地，若（其中表示中的較小者），則的圖像是由這兩個函數的圖像的較低部分構成的． 【變式三】【2018屆黑龍江省雙鴨山市第一中學9月月考】定義在上的偶函數 ，當時，，且在上恒成立，則關于的方程的根的個數敘述正確的是（ ） A. 有兩個 B. 有一個 C. 沒有 D. 上述情況都有可能 【答案】A 【解析】 【方法點睛】本題主要考查函數的奇偶性、對稱性以及函數圖象的應用，屬于難題.函數圖象是函數的一種表達形式，它形象地揭示了函數的性質，為研究函數的數量關系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數；2、求參數的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數性質．解答本題的關鍵是根據把在上恒成立轉化為函數在上的圖象位于的圖象上方，然后求出，再利用數形結合將方程f(2x+1)=t的根轉化為函數的圖象和直線的交點. 考點3 函數周期性及綜合應用 【3-1】【陜西省咸陽市2018年5月高考信息專遞】已知奇函數滿足，則（ ） A. 函數是以為周期的周期函數 B. 函數是以為周期的周期函數 C. 函數是奇函數 D. 函數是偶函數 【答案】B 【解析】分析: 根據題意，由奇函數的定義可得f（﹣x）=﹣f（x），又由f（x+1）=f（1﹣x），分析可得f（x+2）=﹣f（x），進而可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），由函數周期性的定義分析可得答案． 詳解: 根據題意，定義在R上的函數f（x）是奇函數， 則滿足f（﹣x）+f（x）=0，即f（﹣x）=﹣f（x）， 又由， 則f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1﹣（x+1）]=f（﹣x）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x）， f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 故函數的周期為4， 故選：B． 【3-2】【2018屆廣東省東莞市考前沖刺】已知奇函數滿足，且當時，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由題意，推出，從而得到，再由時，和函數的奇偶性，即可計算結果. 詳解：因為函數為奇函數滿足， 所以，即函數表示以為周期的周期函數， 因為當時，， 所以，故選D. 【3-3】【2018年江蘇卷】函數滿足，且在區(qū)間上， 則的值為________． 【答案】 【解析】分析：先根據函數周期將自變量轉化到已知區(qū)間，代入對應函數解析式求值，再代入對應函數解析式求結果. 詳解：由得函數的周期為4，所以因此 【領悟技法】 1．求函數周期的方法求一般函數周期常用遞推法和換元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝計算．遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a． 2．判斷函數的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題． 3．根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期． 4.關于奇偶性、單調性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉化為已知區(qū)間上的問題，體現(xiàn)了轉化思想． 【觸類旁通】 【變式一】【2017湖南統(tǒng)一考試】已知定義域為的奇函數滿足，且當時， ，則（ ） A. -2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】因為奇函數滿足，所以，即周期為3，所以 ，故選D． 【變式二】已知f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，且g(x)＝f(x－1)，則f(2 017)＋f(2 019)的值為(　　) A.－1 B.1 C.0 D.2 【答案】C 【解析】由題意，得， 又∵是定義在R上的偶函數，是定義在R上的奇函數，∴，， ∴，即. ∴. 【變式三】【【衡水金卷】2018屆四省名校第三次大聯(lián)考】已知為定義在上周期為2的奇函數，當時，，若，則（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】A 【易錯試題常警惕】 易錯典例1：若函數f(x)＝在定義域上為奇函數，則實數k＝________. 易錯分析：解題中忽視函數f(x)的定義域，直接通過計算f(0)＝0得k＝1. 正確解析：∵， ∴ ，由可得，∴． 溫馨提醒：已知函數的奇偶性，利用特殊值確定參數，要注意函數的定義域． 易錯典例2：定義在R上的函數f(x)既是奇函數，又是周期函數，T是它的一個正周期．若將方程f(x)＝0在閉區(qū)間[－T，T]上的根的個數記為n，則n可能為 (　　) A．0 B．1 C．3 D．5 易錯分析：沒有經過嚴密的邏輯分析，直接根據，就想當然地認為方程的根的個數就只有3個． 溫馨提醒：對于抽象函數要善于找具體的“函數模型”，聯(lián)想其性質去推證欲證的函數性質，但不能用具體函數代替去解決問題；解決“抽象函數”問題一般采用賦值法，本題可聯(lián)系的圖象和性質類比解題． 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數形結合百般好，隔裂分家萬事休——數形結合思想 我國著名數學家華羅庚曾說過:"數形結合百般好，隔裂分家萬事休.""數"與"形"反映了事物兩個方面的屬性.我們認為，數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系.數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過"以形助數"或"以數解形"即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標表示和坐標運算又具備數的特征，因此，向量融數與形于一身，具備了幾何形式與代數形式的“雙重身份”.因此，在應用向量解決問題或解答向量問題時，要注意恰當地運用數形結合思想，將復雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達到事半功倍的效果. 【典例】【2018屆吉林省吉大附中四?！恳阎x域為的函數既是奇函數，又是周期為3的周期函數，當時， ，則函數在區(qū)間上的零點個數是__________． 【答案】9 【解析】分析：根據定義域為R和奇函數的定義可得 ，利用周期為3和時， 可畫出函數圖像，根據圖像判定零點個數。 詳解： 因為函數定義域為R，周期為3，所以 如圖所示，畫出函數的函數圖像，由圖像可知 在 上的零點為 所以共有9個零點