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回扣8 函數與導數
1．函數的定義域和值域
(1)求函數定義域的類型和相應方法
①若已知函數的解析式，則函數的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍；
②若已知f(x)的定義域為[a，b]，則f(g(x))的定義域為不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為函數y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．
(2)常見函數的值域
①一次函數y＝kx＋b(k≠0)的值域為R；
②二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：當a>0時，值域為，當a<0時，值域為；
③反比例函數y＝(k≠0)的值域為{y∈R|y≠0}．
2．函數的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函數在其定義域上的整體性質，對于定義域內的任意x(定義域關于原點對稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數)．
(2)周期性是函數在其定義域上的整體性質，一般地，對于函數f(x)，如果對于定義域內的任意一個x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數，T是它的一個周期．
3．關于函數周期性、對稱性的結論
(1)函數的周期性
①若函數f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)為周期函數，2a是它的一個周期；
②設f(x)是R上的偶函數，且圖象關于直線x＝a(a≠0)對稱，則f(x)是周期函數，2a是它的一個周期；
③設f(x)是R上的奇函數，且圖象關于直線x＝a(a≠0)對稱，則f(x)是周期函數，4a是它的一個周期．
(2)函數圖象的對稱性
①若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，
即f(x)＝f(2a－x)，
則f(x)的圖象關于直線x＝a對稱；
②若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，
即f(x)＝－f(2a－x)，
則f(x)的圖象關于點(a,0)對稱；
③若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，
則函數f(x)的圖象關于直線x＝對稱．
4．函數的單調性
函數的單調性是函數在其定義域上的局部性質．
①單調性的定義的等價形式：設任意x1，x2∈[a，b]，
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?>0?f(x)在[a，b]上是增函數；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?<0?f(x)在[a，b]上是減函數．
②若函數f(x)和g(x)都是減函數，則在公共定義域內，f(x)＋g(x)是減函數；若函數f(x)和g(x)都是增函數，則在公共定義域內，f(x)＋g(x)是增函數；根據同增異減判斷復合函數y＝f(g(x))的單調性．
5．函數圖象的基本變換
(1)平移變換
y＝f(x)y＝f(x－h(huán))，
y＝f(x)y＝f(x)＋k.
(2)伸縮變換
y＝f(x)y＝f(ωx)，
y＝f(x)y＝Af(x)．
(3)對稱變換
y＝f(x)y＝－f(x)，
y＝f(x)y＝f(－x)，
y＝f(x)y＝－f(－x)．
6．準確記憶指數函數與對數函數的基本性質
(1)定點：y＝ax(a>0，且a≠1)恒過(0,1)點；
y＝logax(a>0，且a≠1)恒過(1,0)點．
(2)單調性：當a>1時，y＝ax在R上單調遞增；y＝logax在(0，＋∞)上單調遞增；
當0
0的解集確定函數f(x)的單調增區(qū)間，由f′(x)<0的解集確定函數f(x)的單調減區(qū)間．
(2)由函數的單調性求參數的取值范圍
①若可導函數f(x)在區(qū)間M上單調遞增，則f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可導函數f(x)在區(qū)間M上單調遞減，則f′(x)≤0(x∈M)恒成立；
②若可導函數在某區(qū)間上存在單調遞增(減)區(qū)間，f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；
③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調性，區(qū)間I中含有參數時，可先求出f(x)的單調區(qū)間，則I是其單調區(qū)間的子集．
10．利用導數研究函數的極值與最值
(1)求函數的極值的一般步驟
①確定函數的定義域；
②解方程f′(x)＝0；
③判斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0兩側的符號變化：
若左正右負，則x0為極大值點；
若左負右正，則x0為極小值點；
若不變號，則x0不是極值點．
(2)求函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟
①求函數y＝f(x)在[a，b]內的極值；
②比較函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)的大小，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
11．定積分的三個公式與一個定理
(1)定積分的性質
①?kf(x)dx＝k?f(x)dx；
②?[f1(x)f2(x)]dx＝?f1(x)dx?f2(x)dx；
③?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a0，a≠1)的單調性容易忽視字母a的取值討論，忽視ax>0；對數函數y＝logax(a>0，a≠1)容易忽視真數與底數的限制條件．
6．易混淆函數的零點和函數圖象與x軸的交點，不能把函數零點、方程的解、不等式解集的端點值進行準確互化．
7．已知可導函數f(x)在(a，b)上單調遞增(減)，則f′(x)≥0(≤0)對?x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需驗證“＝”不能恒成立；已知可導函數f(x)的單調遞增(減)區(qū)間為(a，b)，則f′(x)>0(<0)的解集為(a，b)．
8．f′(x)＝0的解不一定是函數f(x)的極值點．一定要檢驗在x＝x0的兩側f′(x)的符號是否發(fā)生變化，若變化，則為極值點；若不變化，則不是極值點．
1．若曲線f(x)＝x4－4x在點A處的切線平行于x軸，則點A的坐標為( )
A．(－1,2) B．(1，－3)
C．(1,0) D．(1,5)
答案 B
解析 對f(x)＝x4－4x，求導得f′(x)＝4x3－4，由在點A處的切線平行于x軸，可得4x3－4＝0，解得x＝1，即點A的坐標為(1，－3)．
2．若函數f(x)＝則f(－3)的值為( )
A．5 B．－1
C．－7 D．2
答案 D
解析 依題意，f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)
＝f(－1＋2)＝f(1)＝1＋1＝2，故選D.
3．若函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可能為( )
答案 C
解析 根據f′(x)的符號，f(x)圖象應該是先下降后上升，最后下降，排除A，D；從適合f′(x)＝0的點可以排除B，故選C.
4．(2016全國Ⅰ)函數y＝2x2－e|x|在[－2,2]的圖象大致為( )
答案 D
解析 f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；當x>0時，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，當x∈時，f′(x)<4－e0＝0，因此f(x)在上單調遞減，排除C，故選D.
5．a，b，c依次表示函數f(x)＝2x＋x－2，g(x)＝3x＋x－2，h(x)＝ln x＋x－2的零點，則a，b，c的大小順序為( )
A．c時，f＝f，則f(6)等于( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
答案 D
解析 當x>時，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．當x<0時，f(x)＝x3－1且當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故選D.
9．已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)等于( )
A．11或18 B．11
C．18 D．17或18
答案 C
解析 ∵函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，
又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，
即解得或
而當時，函數在x＝1處無極值，故舍去．
∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，
∴f(2)＝18.
10．已知奇函數f(x)是定義在R上的可導函數，其導函數為f′(x)，當x>0時，有2f(x)＋xf′(x)>x2，則不等式(x＋2 018)2f(x＋2 018)＋4f(－2)<0的解集為( )
A．(－∞，－2 016) B．(－2 016，－2 012)
C．(－∞，－2 018) D．(－2 016,0)
答案 A
解析 由題意觀察聯(lián)想可設g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，結合條件x>0,2f(x)＋xf′(x)>x2，得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0，g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上為增函數．
又f(x)為R上的奇函數，所以g(x)為奇函數，
所以g(x)在(－∞，0)上為增函數．
由(x＋2 018)2f(x＋2 018)＋4f(－2)<0，
可得(x＋2 018)2f(x＋2 018)<4f(2)，
即g(x＋2 018)0.02，
所以0≤x≤1不合題意，
又由x>1，得x≤，
得x≤，所以x≥4，
故至少要過4小時后才能開車．
13．偶函數f(x)滿足f(1－x)＝f(1＋x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝，若直線kx－y＋k＝0(k>0)與函數f(x)的圖象有且僅有三個交點，則k的取值范圍是________．
答案
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)可知，函數關于x＝1對稱，因為f(x)是偶函數，所以f(1－x)＝f(1＋x)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，所以函數的周期是2，由y＝f(x)＝，得(x－1)2＋y2＝1(y≥0，x∈[0,1])，
作出函數y＝f(x)和直線y＝k(x＋1)的圖象，
要使直線kx－y＋k＝0(k>0)與函數f(x)的圖象有且僅有三個交點，則由圖象可知，0)的極大值是正數，極小值是負數，則a的取值范圍是________．
答案
解析 f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，
由f′(x)＝0，得x＝a，
當－aa或x<－a時，f′(x)>0，函數單調遞增．
∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，
解得a>.∴a的取值范圍是.
15．已知函數f(x)＝.
(1)若f(x)在區(qū)間(－∞，2)上為單調遞增函數，求實數a的取值范圍；
(2)若a＝0，x0<1，設直線y＝g(x)為函數f(x)的圖象在x＝x0處的切線，求證：f(x)≤g(x)．
(1)解 易得f′(x)＝－，
由已知f′(x)≥0對x∈(－∞，2)恒成立，
故x≤1－a對x∈(－∞，2)恒成立，
∴1－a≥2，∴a≤－1.
故實數a的取值范圍為(－∞，－1]．
(2)證明 若a＝0，則f(x)＝.
函數f(x)的圖象在x＝x0處的切線方程為
y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)．
令h(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，x∈R，
則h′(x)＝f′(x)－f′(x0)
＝－＝.
設φ(x)＝(1－x)－(1－x0)ex，x∈R，
則φ′(x)＝－－(1－x0)ex，∵x0<1，∴φ′(x)<0，
∴φ(x)在R上單調遞減，又φ(x0)＝0，
∴當x0，當x>x0時，φ(x)<0，
∴當x0，當x>x0時，h′(x)<0，
∴h(x)在區(qū)間(－∞，x0)上為增函數，在區(qū)間(x0，＋∞)上為減函數，∴當x∈R時，h(x)≤h(x0)＝0，
∴f(x)≤g(x)．
16．已知函數f(x)＝，其中a>0，且函數f(x)的最大值是(e為自然對數的底數)．
(1)求實數a的值；
(2)若函數g(x)＝ln f(x)－b有兩個零點，求實數b的取值范圍；
(3)若對任意的x∈(0,2)，都有f(x)<成立，求實數k的取值范圍．
解 (1)由題意得f′(x)＝，
因為a>0，所以當x∈(－∞，1)時，f′(x)>0，
f(x)在(－∞，1)上單調遞增；
當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上單調遞減，
則f(x)max＝f(1)＝＝，所以a＝1.
(2)由題意知，函數g(x)＝ln f(x)－b＝ln x－x－b(x>0)，所以g′(x)＝－1＝，
易得函數g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，所以g(x)max＝g(1)＝－1－b，
依題意知，－1－b>0，則b<－1，
所以實數b的取值范圍是(－∞，－1)．
(3)由題意知，f(x)＝<對任意x∈(0,2)都成立，
所以k＋2x－x2>0，即k>x2－2x對任意x∈(0,2)都成立，從而k≥0.
由不等式整理可得k<＋x2－2x，
設h(x)＝＋x2－2x，
令h′(x)＝＋2(x－1)
＝(x－1)＝0，得x＝1，
當x∈(1,2)時，h′(x)>0，函數h(x)在(1,2)上單調遞增，
同理，函數h(x)在(0,1)上單調遞減，
h(x)min＝h(1)＝e－1.
依題意得k
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