2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破二 焦點(diǎn)弦的性質(zhì)學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

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專題突破二　焦點(diǎn)弦的性質(zhì) 拋物線的焦點(diǎn)弦是考試的熱點(diǎn)，有關(guān)拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)較為豐富，對(duì)拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)進(jìn)行研究獲得一些重要結(jié)論，往往能給解題帶來(lái)新思路，有利于解題過(guò)程的優(yōu)化． 一、焦點(diǎn)弦性質(zhì)的推導(dǎo) 例1　拋物線y2＝2px(p>0)，設(shè)AB是拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在準(zhǔn)線上的射影為A1，B1. 證明：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AF|＝，|BF|＝； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長(zhǎng)為2p，通徑是最短的焦點(diǎn)弦； (4)＋＝為定值； (5)S△OAB＝(θ為直線AB的傾斜角)； (6)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． 考點(diǎn)　拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 題點(diǎn)　與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問(wèn)題 證明　(1)①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)， 不妨設(shè)A，B， ∴y1y2＝－p2，x1x2＝. ②當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)為k(k≠0)， 則直線AB的方程為y＝k， 代入拋物線方程y2＝2px， 消元得y2＝2p， 即y2－－p2＝0， ∴y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)當(dāng)θ≠90時(shí)，過(guò)A作AG⊥x軸，交x軸于G， 由拋物線定義知|AF|＝|AA1|， 在Rt△AFG中，|FG|＝|AF|cosθ， 由圖知|GG1|＝|AA1|， 則p＋|AF|cosθ＝|AF|，得|AF|＝， 同理得|BF|＝； 當(dāng)θ＝90時(shí)，可知|AF|＝|BF|＝p， 對(duì)于|AF|＝，|BF|＝亦成立， ∴|AF|＝，|BF|＝. (3)|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p ＝＋＝≥2p， 當(dāng)且僅當(dāng)θ＝90時(shí)取等號(hào)． 故通徑長(zhǎng)2p為最短的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)． (4)由(2)可得， ＋＝＋＝. (5)當(dāng)θ＝90時(shí)，S△OAB＝2p＝， 故滿足S△OAB＝； 當(dāng)θ≠90時(shí)，設(shè)直線AB：y＝tanθ， 原點(diǎn)O到直線AB的距離 d＝＝sinθ， S△OAB＝|AB|＝sinθ＝. (6)如圖：⊙M的直徑為AB，過(guò)圓心M作MM1垂直于準(zhǔn)線于M1， 則|MM1|＝＝＝， 故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． 二、焦點(diǎn)弦性質(zhì)的應(yīng)用 例2　(1)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為(　　) A.B.C.D. 考點(diǎn)　拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 題點(diǎn)　與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問(wèn)題 答案　D 解析　方法一　由題意可知，直線AB的方程為 y＝， 代入拋物線的方程可得4y2－12y－9＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝3，y1y2＝－， 故所求三角形的面積為 ＝. 方法二　運(yùn)用焦點(diǎn)弦傾斜角相關(guān)的面積公式， 則S△OAB＝＝＝. (2)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為(　　) A．16B．14C．12D．10 考點(diǎn)　拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 題點(diǎn)　與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問(wèn)題 答案　A 解析　方法一　拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)， 由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0. 不妨設(shè)直線l1的斜率為k， l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)， 由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝＝2＋， 由拋物線的定義可知， |AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋. 同理得|DE|＝4＋4k2， ∴|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16， 當(dāng)且僅當(dāng)＝k2，即k＝1時(shí)取等號(hào)， 故|AB|＋|DE|的最小值為16. 方法二　運(yùn)用焦點(diǎn)弦的傾斜角公式，注意到兩條弦互相垂直， 因此|AB|＋|DE|＝＋ ＝＋＝＝≥16. 點(diǎn)評(píng)　上述兩道題目均是研究拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，涉及拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度與三角形面積，從高考客觀題快速解答的要求來(lái)看，常規(guī)解法顯然小題大做了，而利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)，可以快速解決此類(lèi)小題． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|＝3，則△AOB的面積為(　　) A.B.C.D．2 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　方法一　設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由|AF|＝3及拋物線定義可得， x1＋1＝3，∴x1＝2， ∴取A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)， 則直線AB的斜率k＝＝2， ∴直線AB的方程為y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0， 則點(diǎn)O到該直線的距離d＝. 由消去y得， 2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝， ∴|BF|＝x2＋1＝， ∴|AB|＝3＋＝， ∴S△AOB＝|AB|d＝＝. 方法二　設(shè)直線的傾斜角為θ，不妨設(shè)0<θ<， |AF|＝＝＝3， ∴cosθ＝， S△AOB＝＝＝. (2)過(guò)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝，|AF|<|BF|，則|AF|＝________. 考點(diǎn)　拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 題點(diǎn)　與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問(wèn)題 答案　 解析　方法一　設(shè)直線的傾斜角為θ，不妨設(shè)0<θ<， ∵|AB|＝＝＝， ∴sin2θ＝， 則cos θ＝＝， 又|AF|<|BF|，∴|AF|＝＝＝. 方法二　由于y2＝2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題干知A，B所在直線的斜率存在，設(shè)A，B所在直線的方程為y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x10)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若PF與FQ的長(zhǎng)分別為p，q，則＋等于(　　) A.B.C．2aD．4a 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　可采用特殊值法，設(shè)PQ過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于x軸，則|PF|＝p＝xP＋＝＋＝，|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝. 3．過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AF|>|BF|，則的值為(　　) A．3B．2C.D. 考點(diǎn)　拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 題點(diǎn)　與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問(wèn)題 答案　A 解析　由拋物線的性質(zhì)可知， |AF|＝，|BF|＝， ∴＝＝3. 4．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y＋y的最小值為(　　) A．4B．6C．8D．10 考點(diǎn)　拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 題點(diǎn)　與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問(wèn)題 答案　C 解析　由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)知， y1y2＝－4，即|y1||y2|＝4， 則y＋y≥2|y1||y2|＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)|y1|＝|y2|＝2時(shí)，取等號(hào)． 故y＋y的最小值為8. 5.如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝4，則p的值為(　　) A. B．2 C. D. 考點(diǎn)　拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 題點(diǎn)　與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問(wèn)題 答案　C 解析　設(shè)直線l的傾斜角為θ， 由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)知，|BF|＝，|AF|＝， ∴解得 6.已知拋物線y2＝4x，圓F：(x－1)2＋y2＝1，過(guò)點(diǎn)F作直線l，自上而下順次與上述兩曲線交于點(diǎn)A，B，C，D(如圖所示)，則下列關(guān)于|AB||CD|的值的說(shuō)法中，正確的是(　　) A．等于1 B．等于4 C．最小值是1 D．最大值是4 考點(diǎn)　拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 題點(diǎn)　與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問(wèn)題 答案　A 解析　設(shè)直線l：x＝ty＋1， 代入拋物線方程，得y2－4ty－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)， 根據(jù)拋物線的定義知， |AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1， 故|AB|＝x1，|CD|＝x2， 所以|AB||CD|＝x1x2＝＝， 而y1y2＝－4，故|AB||CD|＝1. 7．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F且與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＝3|BF|，則l的方程為(　　) A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝(x－1)或y＝－(x－1) C．y＝(x－1)或y＝－(x－1) D．y＝(x－1)或y＝－(x－1) 考點(diǎn)　拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 題點(diǎn)　與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問(wèn)題 答案　C 解析　當(dāng)cosθ>0時(shí)，|AF|＝， |BF|＝， ∵|AF|＝3|BF|，∴＝， ∴cosθ＝，則tanθ＝， ∴l(xiāng)的方程為y＝(x－1)， 當(dāng)cosθ<0時(shí)，|AF|＝，|BF|＝， ∵|AF|＝3|BF|，∴＝， ∴cosθ＝－，則tanθ＝－， ∴l(xiāng)的方程為y＝－(x－1)， 則l的方程為y＝(x－1)或y＝－(x－1)． 8．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)是8，AB的中點(diǎn)到x軸的距離是3. (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)．連接QF并延長(zhǎng)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)R，當(dāng)直線PR恰與拋物線相切時(shí)，求直線m的方程． 解　(1)設(shè)拋物線的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義可知y1＋y2＋p＝8， 又AB的中點(diǎn)到x軸的距離為3， ∴y1＋y2＝6，∴p＝2， ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＝4y. (2)由題意知，直線m的斜率存在，設(shè)直線m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 由消去y得x2－4kx－24＝0， ∴(*) 易知拋物線在點(diǎn)P處的切線方程為 y－＝(x－x3)， 令y＝－1，得x＝，∴R， 又Q，F(xiàn)，R三點(diǎn)共線，∴kQF＝kFR，又F(0,1)， ∴＝， 即(x－4)(x－4)＋16x3x4＝0， 整理得(x3x4)2－4[(x3＋x4)2－2x3x4]＋16＋16x3x4＝0， 將(*)式代入上式得k2＝，∴k＝， ∴直線m的方程為y＝x＋6.