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第3講 解析幾何的綜合問題
[考情考向分析] 江蘇高考解析幾何的綜合問題包括：探索性問題、定點(diǎn)與定值問題、范圍與最值問題等，一般試題難度較大．這類問題以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，需要綜合運(yùn)用函數(shù)與方程、不等式等諸多知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解，對(duì)考生的代數(shù)恒等變形能力、計(jì)算能力等有較高的要求．
熱點(diǎn)一 最值、范圍問題
例1 (2018南通模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，右準(zhǔn)線為m，
(1)若直線m上不存在點(diǎn)Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍；
(2)在(1)的條件下，當(dāng)e取最大值時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，設(shè)B，M，N是橢圓上的三點(diǎn)，且＝＋，求以線段MN的中點(diǎn)為圓心，過A，F(xiàn)兩點(diǎn)的圓的方程．
解 (1)設(shè)直線m與x軸的交點(diǎn)是R，
依題意FR≥FA，
即－c≥a＋c，≥a＋2c，≥1＋2，≥1＋2e，
2e2＋e－1≤0,0
b>0)的離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，點(diǎn)A，B，C分別為橢圓的左頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線l交橢圓于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)M(x1,0)，直線AC與直線BD交于點(diǎn)N(x2，y2)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若＝2，求直線l的方程；
(3)求證：x1x2為定值．
(1)解 由橢圓的離心率為，焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1.
得解得
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)解 由(1)知C(0,1)，設(shè)D(x0，y0)，
由＝2，得2y0＝－1，所以y0＝－，
代入橢圓方程得x0＝或－，
所以D或D，
所以kl＝＝－或kl＝＝.
所以直線l的方程為x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
(3)證明 設(shè)D(x3，y3)，由C(0,1)，M(x1,0)可得直線CM的方程為y＝－x＋1,
聯(lián)立橢圓方程得
解得x3＝，y3＝.
由B(，0) ，得直線BD的方程為
y＝(x－)，
因?yàn)辄c(diǎn)N(x2，y2)在直線BD上，
所以y2＝(x2－)，①
直線AC的方程為y＝x＋1，
因?yàn)辄c(diǎn)N(x2，y2)在直線AC上，所以y2＝x2＋1，②
聯(lián)立①②得x2＝，
從而x1x2＝2為定值．
1．(2017江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1，過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l1，l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解 (1)設(shè)橢圓的半焦距為c.
因?yàn)闄E圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，
所以＝，＝8，解得a＝2，c＝1，
于是b＝＝，
因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1.
(2)由(1)知，F(xiàn)1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．設(shè)P(x0，y0)，
因?yàn)镻為第一象限的點(diǎn)，故x0＞0，y0＞0.
當(dāng)x0＝1時(shí)，l2與l1相交于F1，與題設(shè)不符．
當(dāng)x0≠1時(shí)，直線PF1的斜率為，
直線PF2的斜率為.
因?yàn)閘1⊥PF1，l2⊥PF2，
所以直線l1的斜率為－，
直線l2的斜率為－，
從而直線l1的方程為y＝－(x＋1)，①
直線l2的方程為y＝－(x－1)．②
由①②，解得x＝－x0，y＝，
所以Q.
因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，由對(duì)稱性，得＝y(tǒng)0，
即x－y＝1或x＋y＝1.
又點(diǎn)P在橢圓上，故＋＝1.
由解得x0＝，y0＝，
由無解．
因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
2．(2018蘇州調(diào)研)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為 2，一條準(zhǔn)線方程為x＝2，P為橢圓C上一點(diǎn)，直線PF1交橢圓C于另一點(diǎn)Q.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求過P，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)的圓的方程；
(3)若＝λ，且λ∈，求的最大值．
解 (1)由題意得解得c＝1，a2＝2，
所以b2＝a2－c2＝1.
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)因?yàn)镻(0,1)，F(xiàn)1(－1,0)，
所以PF1的方程為x－y＋1＝0.
由解得或
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.
設(shè)過P，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)的圓為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則
解得D＝，E＝，F(xiàn)＝－.
所以圓的方程為x2＋y2＋x＋y－＝0.
(3)設(shè)P，Q，則＝(x1＋1，y1)，＝(－1－x2，－y2)．
因?yàn)椋溅耍?
所以即
所以＋λ2y＝1，＋y＝1，
解得x2＝.
所以＝x1x2＋y1y2＝x2－λy ＝－x－(1＋λ)x2－λ
＝－2－－λ
＝－，
因?yàn)棣恕?，所以λ＋?，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝，
即λ＝1時(shí)取等號(hào)．
所以≤，即的最大值為.
A組 專題通關(guān)
1．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)F是橢圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若P，Q是橢圓與拋物線的公共點(diǎn)，且直線PQ經(jīng)過焦點(diǎn)F，則該橢圓的離心率為______．
答案 －1
解析 方法一 由拋物線方程，得焦點(diǎn)為F.
由橢圓方程，可得上焦點(diǎn)為(0，c)，
故＝c，
將y＝c代入橢圓方程可得x＝.
又拋物線通徑為2p，
所以2p＝＝4c，
所以b2＝a2－c2＝2ac，
即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1.
方法二 如圖所示，由拋物線方程以及直線y＝，
可得Q.
又＝c，即Q(2c，c)，
代入橢圓方程可得＋＝1，
化簡(jiǎn)可得e4－6e2＋1＝0，
解得e2＝3－2，e2＝3＋2>1(舍去)，
即e＝＝－1(負(fù)值舍去)．
2．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為________．
答案 6
解析 由題意得F(－1,0)，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，
則y＝3(－2≤x0≤2)．
＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y
＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
又因?yàn)椋?≤x0≤2，
所以當(dāng)x0＝2時(shí)，取得最大值6.
3．已知兩定點(diǎn)A(－1,0)和B(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線l：y＝x＋2上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為________．
答案
解析 A(－1,0)關(guān)于直線l：y＝x＋2的對(duì)稱點(diǎn)為
A′(－2,1)，連結(jié)A′B交直線l于點(diǎn)P，
則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為
A′B＝＝，
所以橢圓C的離心率的最大值為＝＝.
4．如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF2與圓x2＋y2＝b2相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn)，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的________倍．
答案
解析 連結(jié)PF1，OQ，則PF1＝2OQ＝2b，PF1⊥PF2，
由PF＋PF＝F1F，得(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，
解得＝，故＝.
5．(2018江蘇省揚(yáng)州樹人學(xué)校模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知A為橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)M為x軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AM的垂線AN與橢圓C交于另一點(diǎn)N，若∠AMN＝60，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解 (1)因?yàn)闄E圓C的短軸長(zhǎng)為2，離心率為，
所以解得
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)因?yàn)锳為橢圓C的上頂點(diǎn)，所以A(0，)．
設(shè)M(m,0)(m>0)，則kAM＝－.
又AM⊥AN，所以kAN＝，
所以直線AN的方程為y＝ x＋.
由消去y，整理得
(2＋3m2)x2＋12mx＝0，
所以xN＝，yN＝＋，
所以AN＝＝，
在Rt△AMN中，由∠AMN＝60，得AN＝AM，
所以＝，解得m＝.
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
6．已知橢圓C：＋y2＝1(常數(shù)m＞1)，點(diǎn)P是C上的動(dòng)點(diǎn)，M是右頂點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)．
(1)若M與A重合，求C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若m＝3，求PA的最大值與最小值；
(3)若PA的最小值為MA，求m的取值范圍．
解 (1)m＝2，橢圓方程為＋y2＝1，c＝＝，
∴左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)，(，0)．
(2)m＝3，橢圓方程為＋y2＝1，設(shè)P(x，y)，則
PA2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋1－
＝2＋(－3≤x≤3)，
∴當(dāng)x＝時(shí)，(PA)min＝，
當(dāng)x＝－3時(shí)，(PA)max＝5.
(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則
PA2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋1－
＝2－＋5(－m≤x≤m)，
∵當(dāng)x＝m時(shí)，PA取最小值，且＞0，
∴≥m且m＞1，
解得1＜m≤1＋.
7．(2018江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C過點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，圓O的直徑為F1F2.
(1)求橢圓C及圓O的方程；
(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.
①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．若△OAB的面積為，求直線l的方程．
解 (1)因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，
可設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)．
又點(diǎn)在橢圓C上，
所以解得
因此，橢圓C的方程為＋y2＝1.
因?yàn)閳AO的直徑為F1F2，所以其方程為x2＋y2＝3.
(2)①設(shè)直線l與圓O相切于點(diǎn)P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，
則x＋y＝3，
所以直線l的方程為y＝－(x－x0)＋y0，
即y＝－x＋.
由消去y，得
(4x＋y)x2－24x0x＋36－4y＝0.(*)
因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以Δ＝(－24x0)2－4(4x＋y)(36－4y)
＝48y(x－2)＝0.
因?yàn)閤0＞0，y0＞0，
所以x0＝，y0＝1.
因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，1)．
②因?yàn)椤鱋AB的面積為，
所以ABOP＝，從而AB＝.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(*)得x1,2＝，
所以AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝.
因?yàn)閤＋y＝3，
所以AB2＝＝，即2x－45x＋100＝0，
解得x＝(x＝20舍去)，則y＝，
代入Δ＝48y(x－2)＞0，滿足題意，
因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
所以直線l的方程為y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
B組 能力提高
8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：＋＝1經(jīng)過點(diǎn)(b,2e)，其中e為橢圓C的離心率．過點(diǎn)T(1,0)作斜率為k(k＞0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)(A在x軸下方)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)O且平行于l的直線交橢圓C于點(diǎn)M，N，求 的值；
(3)記直線l與y軸的交點(diǎn)為P.若＝，求直線l的斜率k.
解 (1)因?yàn)闄E圓＋＝1經(jīng)過點(diǎn)(b,2e)，
所以＋＝1.
因?yàn)閑2＝＝，所以＋＝1.
因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以＋＝1.
整理得 b4－12b2＋32＝0，
解得b2＝4或b2＝8(舍) .
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因?yàn)門(1,0)，所以直線l的方程為y＝k(x－1)．
聯(lián)立直線l與橢圓方程得
消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以x1,2＝，
所以
因?yàn)镸N∥l，所以直線MN的方程為y＝kx，
聯(lián)立直線MN與橢圓方程得
消去y，得 (2k2＋1)x2＝8，解得x2＝.
因?yàn)镸N∥l，所以 ＝.
因?yàn)?1－x1)(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]
＝ ，
(xM－xN)2＝4x2＝，
所以＝
＝＝.
(3)在y＝k(x－1)中，令x＝0，
則y＝－k，所以P(0，－k)，
從而＝(－x1，－k－y1)，＝(x2－1，y2)．
因?yàn)椋剑?
所以－x1＝(x2－1)，即x1＋x2＝.
由(2)知由
解得 x1＝，x2＝.
因?yàn)閤1x2＝，
所以＝，
整理得50k4－83k2－34＝0，
解得k2＝2或k2＝－ (舍) .
又因?yàn)閗＞0，所以k＝.
9.如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的頂點(diǎn)分別為A1，A2，B1，B2，＝4，直線y＝x＋與圓O：x2＋y2＝b2相切．
(1)求橢圓C的離心率；
(2)若P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線A1P交y軸于點(diǎn)F，直線A1B1交直線B2P于點(diǎn)E，問直線EF是否過定點(diǎn)．若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．
解 (1)因?yàn)橹本€y＝x＋與圓O相切，由點(diǎn)到直線的距離公式得，＝＝b，即b＝1.
又＝4，所以2a2b＝4，所以a＝2，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1，
離心率e＝＝.
(2)由題意知直線B2P的斜率存在，設(shè)直線B2P的斜率為k，由(1)可知，A1(－2,0)，B1(0，－1)，B2(0,1)，
則直線B2P的方程為y＝kx＋1.
由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，
其中xB2＝0，所以xP＝－.
所以P，易知k≠0，且k≠.
則直線A1P的斜率＝＝－，
直線A1P的方程為y＝－(x＋2)，
令x＝0，則y＝－，即F.
易知直線A1B1的方程為x＋2y＋2＝0，
由解得
所以E，
所以直線EF的斜率k0＝＝－，
所以直線EF的方程為y＝－x－，
即2k(x＋y＋1)－(y－1)＝0，
由得
所以直線EF過定點(diǎn)(－2,1)．
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