（天津?qū)０妫?018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題10 二項式定理 理.doc

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母題十 二項式定理 【母題原題1】【2018天津，理10】 在的展開式中，的系數(shù)為 ． 【答案】 【名師點睛】（1）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中和的隱含條件，即均為非負(fù)整數(shù)，且，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項． 【母題原題2】【2016天津，理10】 的展開式中x2的系數(shù)為__________．(用數(shù)字作答) 【答案】 【解析】展開式通項為，令，，所以的．故答案為． 【母題原題3】【2015天津，理12】在 的展開式中，的系數(shù)為 ． 【答案】 【命題意圖】本類題主要考查二項式定理及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力和基本計算能力． 【命題規(guī)律】高考對二項式定理的考查主要考查利用二項展開式的通項求展開式中的特定項、特定項的系數(shù)、二項式系數(shù)等，同時考查賦值法與整體法的應(yīng)用，題型多以選擇題、填空題的形式考查． 【答題模板】解答本類題目，以2018年高考題為例，一般考慮如下三步： 第一步：首先求出二項展開式的通項 展開式通項為； 第二步：根據(jù)已知求 令可得：， 第三步：得出結(jié)論 的系數(shù)為：． 【方法總結(jié)】 1．熟記二項式定理及通項 （1）定理 公式叫做二項式定理． （2）通項 為展開式的第項． 2．活用二項式系數(shù)的性質(zhì) （1）對稱性：與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即． （2）增減性與最大值：二項式系數(shù)，當(dāng)時，二項式系數(shù)是遞增的；當(dāng)時，二項式系數(shù)是遞減的． 當(dāng)是偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值． 當(dāng)是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值． （3）各二項式系數(shù)的和 的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于，即． 二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即． 3．求展開式系數(shù)最大項：如求的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項系數(shù)分別為，且第項系數(shù)最大，應(yīng)用從而解出來，即得． 4．“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如、的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可． 5．若，則： 展開式中各項系數(shù)之和為， 奇數(shù)項系數(shù)之和為， 偶數(shù)項系數(shù)之和為． 6．某一項的系數(shù)是指該項中字母前面的常數(shù)值(包括正負(fù)符號)，它與的取值有關(guān)，而二項式系數(shù)與的取值無關(guān)． 1．【2018天津耀華一?！吭谡归_式所得的的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項有（ ） A．16項 B．17項 C．24項 D．50項 【答案】B 【解析】展開式的通項為，其中r=0，1，2…100， 要使系數(shù)為有理數(shù)則需要r是6的倍數(shù)， ∴r=0，6，16，18，…96共17個值， 故系數(shù)為有理數(shù)的項有17項． 本題選擇B選項． 【名師點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項． 2．【2018江西六校聯(lián)考】已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足．若展開式中項的系數(shù)等于數(shù)列的第三項，則的值為（　?。? A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】D 3．【2018北京海淀模擬】二項式的展開式的第二項是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根據(jù)展開式通項可得： 4．【2018廣東陽揭二?！恳阎恼归_式中常數(shù)項為，則的值為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：首先寫出展開式的通項公式，然后結(jié)合題意得到關(guān)于實數(shù)a的方程，解方程即可求得最終結(jié)果． 詳解： 展開式的通項公式為： ， 令可得： ，結(jié)合題意可得： ，即．本題選擇C選項． 【名師點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力． 5．【2018華大新高考聯(lián)盟4月卷】展開式中除—次項外的各項系數(shù)的和為（ ） A．121 B． C．61 D． 【答案】B 【解析】因為展開式中—次項系數(shù)為 所以展開式中除—次項外的各項系數(shù)的和為，選B． 【名師點睛】 “賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法， 只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可． 6．【2018河北衡水信息卷三】已知，，若，則在的展開式中，含項的系數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 7．【2018湖北荊州三?！恳阎?，則 A．?5 B．?20 C．15 D．35 【答案】A 【解析】在中，令得， ∴．∴．又展開式的通項為，∴．選A． 8．【2018全國名校聯(lián)盟（五）】已知的展開式的系數(shù)和比的展開式系數(shù)和大，則的展開式中含有的項為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取則的展開式的系數(shù)和為，同理，在的展開式中令，則的展開式系數(shù)和為，故， 則的展開式中含有的項是第六項： ，故選． 9．【2018天津三模】設(shè)，則 __________． 【答案】211 【名師點睛】本題考查二項式定理、賦值法等知識，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和基本計算能力． 10．【2018天津市十二校二模】若（其中），則的展開式中的系數(shù)為__________． 【答案】280 【解析】分析：利用微積分基本定理，求得，可得二項展開式通項為令得進(jìn)而可得結(jié)果． 詳解：因為 ，所以，展開式的通項為令得所以，的展開式中的系數(shù)為，故答案為． 【名師點睛】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題．二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應(yīng)用． 11．【2018天津部分區(qū)期末考試】在的展開式中的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答） 【答案】240 12．【2018天津一中模擬三】的展開式中含的項的系數(shù)是__________． 【答案】128 【解析】∵的展開式的通項公式是，且，∴，當(dāng)時， ，∴的展開式中含的項的系數(shù)是，故答案為128． 13．【2018天津一中模擬五】已知二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為，則展開式中含項的系數(shù)是__________． 【答案】 【解析】試題分析：由題意可得：， 所以，令，所以展開式中含項的系數(shù)是10． 14．【2018天津市耀華模擬（三）】二項式的展開式中的常數(shù)項為_________． 【答案】-160 【解析】二項式的通，項為，令，則，，故正確答案為． 15．【2018河南鄭州模擬】若的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)的值為_______． 【答案】． 【名師點睛】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題．二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應(yīng)用． 16．【2018天津濱海新區(qū)模擬】在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是______ 【答案】 【解析】分析：先求得二項展開式的通項公式，再令的冪指數(shù)等于7，求得r的值，即可求得含項的系數(shù)值． 詳解：二項式的展開式的通項公式為，令，解得，可得展開式中含項的系數(shù)是，故答案是-5． 【名師點睛】根據(jù)所給的二項式，利用二項展開式的通項公式寫出第r+1項，整理成最簡形式，令x的指數(shù)為7求得r，再代入系數(shù)求出結(jié)果，所以解決該題的關(guān)鍵就是通項公式． 17．【2018河北衡水金卷調(diào)研（五）】已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的展開式中項的系數(shù)是__________． 【答案】-540