（浙江專版）2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題2.2 函數(shù)的單調(diào)性與值域（講）.doc
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第02節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與值域 【考綱解讀】 考 點(diǎn) 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計(jì) 分析預(yù)測(cè) 函數(shù)的單調(diào)性與最值 1．理解函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)判斷函數(shù)的單調(diào)性. 2．理解函數(shù)的最大（?。┲档暮x，會(huì)求函數(shù)的最大（?。┲? 2014?浙江文7；理6，15； 2015?浙江文12；理10； 2016浙江理18； 2017?浙江5，17. 2018?浙江7，22. 1.確定函數(shù)的最值（值域） 2.以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)單調(diào)性的判定、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（解不等式、確定參數(shù)的取值范圍、比較函數(shù)值大?。⒀芯亢瘮?shù)的最值等，常與奇偶性結(jié)合，有時(shí)與導(dǎo)數(shù)綜合考查. 3.備考重點(diǎn)： （1）判斷函數(shù)的單調(diào)性方法； （2）求函數(shù)最值的方法； （3）利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小、解不等式、確定參數(shù)取值范圍. 【知識(shí)清單】 1．函數(shù)的單調(diào)性 （1）.增函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量、，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)； （2）減函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量、，當(dāng)時(shí)，都有 ，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù). 2.函數(shù)的最值 1.最大值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足： （1）對(duì)于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么，我們稱是函數(shù)的最大值. 2.最小值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足： （1）對(duì)于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么，我們稱是函數(shù)的最小值. 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1 單調(diào)性的判定和證明 【1-1】【2018屆遼寧省大連市二模】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：利用函數(shù)奇偶性的判斷方法判斷函數(shù)的奇偶性，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理和圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性得解. 【1-2】【2018屆河南省南陽(yáng)市第一中學(xué)高三實(shí)驗(yàn)班第一次考試】已知，那么( ) A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 B. 在上單調(diào)遞增 C. 在上單調(diào)遞增 D. 在上單調(diào)遞增 【答案】D 【解析】，在 記，則 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且 而在不具有單調(diào)性，故A錯(cuò)誤； 當(dāng)時(shí)，不具有單調(diào)性，故B錯(cuò)誤； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且 而在不具有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且 而在單調(diào)遞減，根據(jù)“同增異減”知，D正確. 故選：D 【領(lǐng)悟技法】 1.利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性與圖像：只需作出函數(shù)的圖象便可判斷函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性； 2.性質(zhì)法：（1）增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)，減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)，減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)； （2）函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性相反； （3）時(shí)，函數(shù)與的單調(diào)性相反（）； 時(shí)，函數(shù)與的單調(diào)性相同（）. 2.導(dǎo)數(shù)法：在區(qū)間D上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；在區(qū)間D上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減. 4.定義法：作差法與作商法（常用來(lái)函數(shù)單調(diào)性的證明，一般使用作差法）. 【注】分段函數(shù)的單調(diào)性要求每段函數(shù)都滿足原函數(shù)的整體單調(diào)性，還需注意斷點(diǎn)處兩邊函數(shù)值的大小比較. 【觸類旁通】 【變式一】【2017北京西城八中上期中】下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【變式二】【2017山西孝義二?！亢瘮?shù)，當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)是減函數(shù)，則等于（ ） A．-3 B．13 C. 7 D． 5 【答案】B 【解析】由題意知函數(shù)的對(duì)稱軸，所以，所以，故選B． 考點(diǎn)2 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【2-1】【2019屆四川省成都市第七中學(xué)零診】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：利用二次函數(shù)的單調(diào)性， 結(jié)合函數(shù)的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可. 詳解：得或， 令，則為增函數(shù)， 在上的增區(qū)間便是原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間， 原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選D. 【2-2】的遞增區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【領(lǐng)悟技法】 1.基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： 函數(shù) 圖象 參數(shù)范圍 單調(diào)區(qū)間或單調(diào)性 一次函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間 單調(diào)遞減區(qū)間 二次函數(shù) 單調(diào)遞減區(qū)間為 ； 單調(diào)遞增區(qū)間為 . 單調(diào)遞增區(qū)間為 ； 單調(diào)遞減區(qū)間為 . 反比例函數(shù) 單調(diào)遞減區(qū)間為 和 單調(diào)遞增區(qū)間為 和 指數(shù)函數(shù) （且） 單調(diào)遞減區(qū)間為 單調(diào)遞增區(qū)間為 對(duì)數(shù)函數(shù) （且） 單調(diào)遞減區(qū)間為 單調(diào)遞增區(qū)間為 冪函數(shù) 在上遞減 沒(méi)有單調(diào)性 在上遞增 正弦函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間 單調(diào)遞減區(qū)間 余弦函數(shù) 單調(diào)遞減區(qū)間 ； 單調(diào)遞增區(qū)間 正切函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間 2.圖象法：對(duì)于基本初等函數(shù)及其函數(shù)的變形函數(shù)，可以作出函數(shù)圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 3.復(fù)合函數(shù)法：對(duì)于函數(shù)，可設(shè)內(nèi)層函數(shù)為，外層函數(shù)為，可以利用復(fù)合函數(shù)法來(lái)進(jìn)行求解，遵循“同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相同，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相反，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減. 4.導(dǎo)數(shù)法：不等式的解集與函數(shù)的定義域的交集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，不等式的解集與函數(shù)的定義域的交集即為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間. 【觸類旁通】 【變式一】【2017屆北京西城35中高三上期中】 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】設(shè)， ， ，函數(shù)定義域?yàn)?，所以先排除A，B；在上函數(shù)m先增后減，故D不對(duì)；由圖像可知，該復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間為，故選． 【變式二】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 . 【答案】和. 【解析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示， 由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和. 考點(diǎn)3 利用單調(diào)性確定參數(shù)取值范圍 【3-1】【2018屆云南省昆明市5月檢測(cè)】已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 詳解：函數(shù)在上為減函數(shù)， 函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為， 所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)， 且. 所以函數(shù)在上為減函數(shù). 由得.解得. 故選A. 【3-2】【2018年天津卷文】已知a∈R，函數(shù)若對(duì)任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________． 【答案】［，2］ 【解析】分析：由題意分類討論和兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：分類討論：①當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，，則；②當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：， 結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)或時(shí)，，則； 綜合①②可得的取值范圍是. 點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開(kāi)口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析． 【3-3】已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍 . 【答案】 【解析】函數(shù)： ，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，若 在 （-2，+∞）為增函數(shù)，∴1-2a＜0， 【領(lǐng)悟技法】 1.解決抽象不等式時(shí)，切勿將自變量代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解，首先應(yīng)該注意考查函數(shù)的單調(diào)性.若函數(shù)為增函數(shù)，則；若函數(shù)為減函數(shù)，則. 2.在比較、、、的大小時(shí)，首先應(yīng)該根據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性將、、、通過(guò)等值變形將自變量置于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)單調(diào)性比較大小. 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆內(nèi)蒙古巴彥淖爾市第一中學(xué)9月月考】已知函數(shù) 是奇函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________. 【答案】 【解析】設(shè) ，則 為奇函數(shù)， 在 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 ∵若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增， 故答案為． 【變式二】【2017浙江金華十校聯(lián)考】已知函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，若f(a2－a)>f(a＋3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． 考點(diǎn)4 函數(shù)的單調(diào)性和最值（值域）及其綜合應(yīng)用 【4-1】【2018屆浙江省紹興市3月模擬】已知，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，則__________． 【答案】3或 【解析】當(dāng)時(shí)，= 函數(shù)，對(duì)稱軸為，觀察函數(shù) 的 圖像可知函數(shù)的最大值是. 令，經(jīng)檢驗(yàn)，a=3滿足題意. 令，經(jīng)檢驗(yàn)a=5或a=1都不滿足題意. 令，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足題意. 當(dāng)時(shí)，, 函數(shù)，對(duì)稱軸為，觀察函數(shù) 的圖像得函數(shù)的最大值是. 當(dāng)時(shí)，, 函數(shù)，對(duì)稱軸為，觀察函數(shù) 的圖像可知函數(shù)的最大值是. 令， 令,所以. 綜上所述，故填3或. 點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于通過(guò)函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì). 本題絕對(duì)值里面是一個(gè)閉區(qū)間上的二次函數(shù)，要求它的最大值，所以要先畫(huà)出二次函數(shù)的圖像，再結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析出最大值的可能情況. 【4-2】【2017浙江，17】已知αR，函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值是5，則的取值范圍是___________． 【答案】 【解析】 【領(lǐng)悟技法】 函數(shù)最值（值域）的求解方法： 1.單調(diào)性法： 利用函數(shù)的單調(diào)性:若是上的單調(diào)增(減)函數(shù),則,分別是在區(qū)間上取得最小(大)值,最大(小)值. 2.圖象法：對(duì)于由基本初等函數(shù)圖象變化而來(lái)的函數(shù)，通過(guò)觀察函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定函數(shù)的最值. 3. 利用配方法:形如型,用此種方法,注意自變量x的范圍. 4.利用三角函數(shù)的有界性,如. 5.利用“分離常數(shù)”法:形如y= 或 (至少有一個(gè)不為零)的函數(shù),求其值域可用此法. 6.利用換元法:形如型,可用此法求其值域. 7.利用基本不等式法: 8.導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性求圖復(fù)雜函數(shù)的極值和最值,然后求出值域 9.求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求解，有時(shí)每段交替使用求值．若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量值域范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍． 10.由判別式法來(lái)判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部 分剔除. 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)大聯(lián)考（一）】已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】C 【變式二】【2018屆浙江省杭州市高三上期末】設(shè)函數(shù)，記為函數(shù)在上的最大值， 為的最大值.（ ） A. 若，則 B. 若，則 C. 若，則 D. 若，則 【答案】C 【解析】由題意得， 則 若，則，此時(shí)任意有 則， ， ， 在時(shí)與題意相符，故選 【易錯(cuò)試題常警惕】 易錯(cuò)典例：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 . 易錯(cuò)分析：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，只顧及到內(nèi)層二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而忽視了函數(shù)定義域的重要性. 正確解析：自變量滿足，解得或， 令，， 則內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 而外層函數(shù)在上是減函數(shù)， 由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 【規(guī)范解答】 因?yàn)閒(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9). 2分 又f(a)>f(a－1)＋2，所以f(a)>f(a－1)＋f(9)，再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)>f(9(a－1)). 4分 從而有 8分 解得1下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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