（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.1 曲線與方程學案 新人教A版選修2-1.doc

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2.1　曲線與方程 學習目標　1.了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關(guān)系.2.理解方程的曲線和曲線的方程的概念.3.了解用坐標法研究幾何問題的常用思路與方法.4.掌握根據(jù)已知條件求曲線方程的方法． 知識點一　曲線的方程和方程的曲線的概念 在直角坐標系中，如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)曲線上點的坐標都是這個方程的解； (2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點， 那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線． 知識點二　坐標法思想及求曲線方程的步驟 思考　曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解，能否說f(x，y)＝0是曲線C的方程？試舉例說明． 答案　不能．還要驗證以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點是否都在曲線上．例如曲線C為“以原點為圓心，以2為半徑的圓的上半部分”與方程“x2＋y2＝4”，曲線上的點都滿足方程，但曲線的方程不是x2＋y2＝4. 梳理　(1)曲線的方程和方程的曲線是兩個不同的概念，是從不同角度出發(fā)的兩種說法．曲線C的點集和方程f(x，y)＝0的解集之間是一一對應的關(guān)系，曲線的性質(zhì)可以反映在它的方程上，方程的性質(zhì)又可以反映在曲線上．定義中的條件①說明曲線上的所有點都適合這個方程；條件②說明適合方程的點都在曲線上而毫無遺漏． (2)曲線的方程和方程的曲線有著緊密的關(guān)系，通過曲線上的點與實數(shù)對(x，y)建立了一一對應關(guān)系，使方程成為曲線的代數(shù)表示，通過研究方程的性質(zhì)可間接地研究曲線的性質(zhì)． (3)求曲線的方程的步驟 如果曲線l上的點的坐標滿足方程F(x，y)＝0，則 (1)曲線l的方程是F(x，y)＝0.() (2)方程F(x，y)＝0的曲線是l.() (3)坐標不滿足方程F(x，y)＝0的點不在曲線l上．(√) (4)坐標滿足方程F(x，y)＝0的點在曲線l上．() 類型一　曲線的方程與方程的曲線解讀 例1　(1)設(shè)方程f(x，y)＝0的解集非空，若命題“坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都在曲線C上”是假命題，則下列命題為真命題的是(　　) A．坐標滿足f(x，y)＝0的點都不在曲線C上 B．曲線C上的點的坐標不滿足f(x，y)＝0 C．坐標滿足f(x，y)＝0的點有些在曲線C上，有些不在曲線C上 D．一定有不在曲線C上的點，其坐標滿足f(x，y)＝0 (2)“以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都是曲線C上的點”是“曲線C的方程是f(x，y)＝0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 考點　曲線與方程的概念 題點　點在曲線上的應用 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)命題“坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都在曲線C上”為假命題，則命題“坐標滿足方程f(x，y)＝0的點不都在曲線C上”是真命題．故選D. (2)由曲線C的方程是f(x，y)＝0，得以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都是曲線C上的點，但反過來不成立，故選B. 反思與感悟　(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解，即直觀地說“點不比解多”稱為純粹性． (2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上，即直觀地說“解不比點多”，稱為完備性，只有點和解一一對應，才能說曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程． 跟蹤訓練1　分析下列曲線上的點與相應方程的關(guān)系： (1)過點A(2,0)平行于y軸的直線與方程|x|＝2之間的關(guān)系； (2)與兩坐標軸的距離的積等于5的點與方程xy＝5之間的關(guān)系； (3)第二、四象限兩坐標軸夾角平分線上的點與方程x＋y＝0之間的關(guān)系． 考點　曲線與方程的概念 題點　點在曲線上的應用 解　(1)過點A(2,0)平行于y軸的直線上的點的坐標都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解為坐標的點不都在過點A(2,0)且平行于y軸的直線上．因此，|x|＝2不是過點A(2,0)平行于y軸的直線的方程． (2)與兩坐標軸的距離的積等于5的點的坐標不一定滿足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解為坐標的點與兩坐標軸的距離之積一定等于5.因此，與兩坐標軸的距離的積等于5的點的軌跡方程不是xy＝5. (3)第二、四象限兩坐標軸夾角平分線上的點的坐標都滿足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解為坐標的點都在第二、四象限兩坐標軸夾角的平分線上．因此，第二、四象限兩坐標軸夾角平分線上的點的軌跡方程是x＋y＝0. 類型二　曲線與方程的應用 例2　已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判斷點P(1，－2)，Q(，3)是否在上述方程表示的曲線上； (2)若點M在上述方程表示的曲線上，求m的值． 考點　曲線與方程的概念 題點　點在曲線上的應用 解　(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10， ∴點P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上， 點Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上． (2)∵點M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上， ∴2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－. 引申探究 本例中曲線方程不變，若點N(a,2)在圓外，求實數(shù)a的取值范圍． 解　結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，得 a2＋(2－1)2＞10，即a2＞9， 解得a＜－3或a＞3， 故所求實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－3)∪(3，＋∞)． 反思與感悟　判斷曲線與方程關(guān)系的問題時，可以利用曲線與方程的定義，也可利用互為逆否關(guān)系的命題的真假性一致判斷． 跟蹤訓練2　若曲線y2－xy＋2x＋k＝0過點(a，－a)(a∈R)，求k的取值范圍． 考點　曲線與方程的概念 題點　點在曲線上的應用 解　∵曲線y2－xy＋2x＋k＝0過點(a，－a)， ∴a2＋a2＋2a＋k＝0， ∴k＝－2a2－2a＝－22＋， ∴k≤， ∴k的取值范圍是. 類型三　求曲線的方程 命題角度1　直接法求曲線的方程 例3　一個動點P到直線x＝8的距離是它到點A(2,0)的距離的2倍．求動點P的軌跡方程． 考點　求曲線方程的方法 題點　直接法求曲線方程 解　設(shè)P(x，y)，則|8－x|＝2|PA|， 則|8－x|＝2， 化簡，得3x2＋4y2＝48， 故動點P的軌跡方程為3x2＋4y2＝48. 引申探究 若本例中的直線改為“y＝8”，求動點P的軌跡方程． 解　設(shè)P(x，y)， 則P到直線y＝8的距離d＝|y－8|， 又|PA|＝，故|y－8|＝2， 化簡，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0. 故動點P的軌跡方程為4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0. 反思與感悟　直接法求動點軌跡的關(guān)鍵及方法 (1)關(guān)鍵：①建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；②找出所求動點滿足的幾何條件． (2)方法：求曲線的方程遵循求曲線方程的五個步驟，在實際求解時可簡化為三大步驟：建系、設(shè)點；根據(jù)動點滿足的幾何條件列方程；對所求的方程化簡、說明． 特別提醒：直接法求動點軌跡方程的突破點是將幾何條件代數(shù)化． 跟蹤訓練3　已知兩點M(－1,0)，N(1,0)，且點P使，，成公差小于零的等差數(shù)列，求點P的軌跡方程． 考點　求曲線方程的方法 題點　直接法求曲線方程 解　設(shè)點P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)， 得＝－＝(－1－x，－y)， ＝－＝(1－x，－y)，＝－＝(2,0)． ∴＝2(x＋1)，＝x2＋y2－1， ＝2(1－x)． 于是，，，成公差小于零的等差數(shù)列等價于 即 ∴點P的軌跡方程為x2＋y2＝3(x>0)． 命題角度2　相關(guān)點法求曲線的方程 例4　動點M在曲線x2＋y2＝1上移動，M和定點B(3,0)連線的中點為P，求P點的軌跡方程． 考點　求曲線方程的方法 題點　相關(guān)點法求曲線方程 解　設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)， 因為P為MB的中點，所以即 又因為M在曲線x2＋y2＝1上， 所以x＋y＝1，所以(2x－3)2＋4y2＝1. 所以點P的軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1. 反思與感悟　相關(guān)點法求解軌跡方程的步驟 (1)設(shè)動點P(x，y)，相關(guān)動點M(x0，y0)． (2)利用條件求出兩動點坐標之間的關(guān)系 (3)代入相關(guān)動點的軌跡方程． (4)化簡、整理，得所求軌跡方程． 跟蹤訓練4　已知圓C：x2＋(y－3)2＝9.過原點作圓C的弦OP，求OP的中點Q的軌跡方程． 考點　求曲線方程的方法 題點　相關(guān)點法求曲線方程 解　設(shè)P(x1，y1)，Q(x，y)， 由題意，得即 又因為點P在圓C上，所以x＋(y1－3)2＝9， 所以4x2＋42＝9， 即x2＋2＝(x≠0). 1．若命題“曲線C上點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”是真命題，則下列命題為真命題的是(　　) A．方程f(x，y)＝0所表示的曲線是曲線C B．方程f(x，y)＝0所表示的曲線不一定是曲線C C．f(x，y)＝0是曲線C的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上 考點　曲線與方程的概念 題點　點在曲線上的應用 答案　B 解析　“曲線C上點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”，但以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點不一定在曲線C上，故A，C，D都為假命題，B為真命題． 2．已知直線l：x＋y－3＝0及曲線C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，則點M(2,1)(　　) A．在直線l上，但不在曲線C上 B．在直線l上，也在曲線C上 C．不在直線l上，也不在曲線C上 D．不在直線l上，但在曲線C上 考點　曲線與方程的概念 題點　點在曲線上的應用 答案　B 解析　將M(2,1)代入直線l和曲線C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以點M既在直線l上又在曲線C上，故選B. 3．等腰三角形底邊的兩個頂點分別是B(2,1)，C(0，－3)，則另一個頂點A的軌跡方程是(　　) A．x－2y＋1＝0(x≠0) B．y＝2x－1 C．x＋2y＋1＝0(y≠1) D．x＋2y＋1＝0(x≠1) 考點　求曲線的方程的方法 題點　直接法求曲線方程 答案　D 解析　設(shè)A(x，y)，依題意，知|AB|＝|AC|， 所以＝， 化簡得x＋2y＋1＝0. 又因為A，B，C三點不能共線，所以x≠1，故選D. 4．到直線4x＋3y－5＝0的距離為1的點的軌跡方程為________________． 考點　求曲線的方程的方法 題點　幾何法求曲線方程 答案　4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0 解析　設(shè)該點坐標為(x，y)，則 ＝1，即|4x＋3y－5|＝5， ∴所求軌跡方程為4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0. 5．M為直線l：2x－y＋3＝0上的一動點，A(4,2)為一定點，又點P在直線AM上運動，且＝3，求動點P的軌跡方程． 考點　求曲線方程的方法 題點　坐標轉(zhuǎn)移法求曲線方程 解　設(shè)點M，P的坐標分別為M(x0，y0)，P(x，y)，由題設(shè)及向量共線條件可得所以 因為點M(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上， 所以2－＋3＝0， 即8x－4y＋3＝0， 從而點P的軌跡方程為8x－4y＋3＝0. 1．判斷點是否在某個方程表示的曲線上，就是檢驗該點的坐標是不是方程的解，是否適合方程．若適合方程，就說明點在曲線上；若不適合，就說明點不在曲線上． 2．已知點在某曲線上，可將點的坐標代入曲線的方程，從而可研究有關(guān)參數(shù)的值或范圍問題． 一、選擇題 1．方程|x|＋|y|＝|xy|＋1表示的曲線是(　　) A．一條直線 B．一個正方形 C．一個圓 D．四條直線 考點　曲線和方程的概念 題點　由方程研究曲線的對稱性 答案　D 解析　由|x|＋|y|＝|xy|＋1，得(|x|－1)(|y|－1)＝0，即x＝1或y＝1，因此該方程表示四條直線． 2．已知0≤α<2π，點P(cosα，sinα)在曲線(x－2)2＋y2＝3上，則α的值為(　　) A.B.πC.或D.或 考點　曲線和方程的概念 題點　點在曲線上的應用 答案　C 解析　由(cosα－2)2＋sin2α＝3，得cosα＝. 又因為0≤α<2π， 所以α＝或α＝π. 3．方程|x|－|y|＝0表示的圖形是下圖中的(　　) 考點　曲線和方程的概念 題點　由方程研究曲線的對稱性 答案　C 解析　由|x|－|y|＝0知，y＝x，即表示一、三象限角平分線或二、四象限角平分線． 4．已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，若動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所圍成的面積為(　　) A．9πB．8πC．4πD．π 考點　曲線與方程的意義 題點　曲線與方程的綜合應用 答案　C 解析　設(shè)P(x，y)，∵|PA|＝2|PB|， ∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，∴(x－2)2＋y2＝4， ∴點P的軌跡為以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓， ∴所圍成的面積S＝π22＝4π. 5．在平面直角坐標系中，動點P(x，y)到兩條坐標軸的距離之和等于它到點(1,1)的距離，記點P的軌跡為曲線W，則有下列命題： ①曲線W關(guān)于原點對稱； ②曲線W關(guān)于x軸對稱； ③曲線W關(guān)于y軸對稱； ④曲線W關(guān)于直線y＝x對稱． 其中真命題的個數(shù)是(　　) A．1B．2C．3D．4 考點　曲線與方程的意義 題點　曲線與方程的綜合應用 答案　A 6．過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點，則|MN|等于(　　) A．2B．8C．4D．10 考點　求曲線方程的方法 題點　幾何法求曲線方程 答案　C 解析　由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，則＝3(－3)＋(－1)(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故過三點A，B，C的圓以AC為直徑，得其方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，故選C. 7．已知兩點A(，0)，B(－，0)，點P為平面內(nèi)一動點，過點P作y軸的垂線，垂足為Q，且＝22，則動點P的軌跡方程為(　　) A．x2＋y2＝2 B．y2－x2＝2 C．x2－2y2＝1 D．2x2－y2＝1 考點　求曲線方程的方法 題點　定義法求曲線方程 答案　B 解析　設(shè)動點P的坐標為(x，y)， 則點Q的坐標為(0，y)， ＝(－x,0)，＝(－x，－y)， ＝(－－x，－y)，＝x2－2＋y2. 由＝22，得x2－2＋y2＝2x2， 所以所求動點P的軌跡方程為y2－x2＝2. 二、填空題 8．方程(x－1)2＋＝0表示的是____________． 考點　討論方程的曲線類型 題點　其他類型的曲線與方程 答案　點(1,2) 解析　由(x－1)2＋＝0，知(x－1)2＝0且＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋＝0表示的是點(1,2)． 9．已知點F(1,0)，直線l：x＝－1，P為平面上的一動點，過點P作l的垂線，垂足為Q，且＝，則動點P的軌跡C的方程是________． 考點　求曲線方程的方法 題點　坐標轉(zhuǎn)移法求曲線方程 答案　y2＝4x(x≥0) 解析　設(shè)點P(x，y)，則Q(－1，y)． 由＝， 得(x＋1,0)(2，－y)＝(x－1，y)(－2，y)， 所以2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2， 化簡得y2＝4x(x≥0)． 10．若點A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2＋xy－2＝0表示的曲線上，則m＝________. 考點　曲線與方程的概念 題點　點在曲線上的應用 答案?。? 解析　∵A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2＋xy－2＝0表示的曲線上， ∴∴ 11．點A(1，－2)在曲線x2－2xy＋ay＋5＝0上，則a＝________. 考點　曲線與方程的概念 題點　點在曲線上的應用 答案　5 解析　由題意可知點(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一組解，即1＋4－2a＋5＝0， 解得a＝5. 三、解答題 12．已知A(－3,0)，B，C兩點分別在y軸和x軸上運動，點P為BC延長線上一點，并且滿足⊥，＝，試求動點P的軌跡方程． 考點　求曲線方程的方法 題點　直接法求曲線方程 解　設(shè)P(x，y)，B(0，y′)，C(x′，0)， 則＝(x′，－y′)，＝(x，y－y′)， 由＝，得(x′，－y′)＝(x，y－y′)， 即x′＝，y′＝－y，∴B(0，－y)， 又A(－3,0)，∴＝(3，－y)，＝(x,2y)， 由⊥，得＝0，∴3x－2y2＝0， 即動點P的軌跡方程為y2＝x. 13．過點P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程． 考點　求曲線方程的方法 題點　坐標轉(zhuǎn)移法求曲線方程 解　如圖所示，設(shè)點A(a,0)， B(0，b)，M(x，y)． 因為M為線段AB的中點， 所以a＝2x，b＝2y， 即A(2x,0)，B(0,2y)． 因為l1⊥l2，所以kAPkPB＝－1. 而kAP＝(x≠1)， kPB＝，所以＝－1(x≠1)， 整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)． 因為當x＝1時，A，B的坐標分別為(2,0)，(0,4)， 所以線段AB的中點坐標是(1,2)， 它滿足方程x＋2y－5＝0. 綜上所述，點M的軌跡方程是x＋2y－5＝0. 四、探究與拓展 14．方程＋＝1表示的圖形是(　　) A．一條直線 B．兩條平行線段 C．一個正方形 D．一個正方形(除去四個頂點) 考點　討論方程的曲線類型 題點　其他類型的曲線與方程 答案　D 解析　由方程可知，方程表示的圖形關(guān)于坐標軸和原點對稱，且x≠0，y≠0.當x＞0，y＞0時，方程可化為x＋y＝1，表示第一象限內(nèi)的一條線段(去掉兩端點)，因此原方程表示的圖形是一個正方形(除去四個頂點)，故選D. 15．已知直角坐標平面上點Q(2,0)和圓O：x2＋y2＝1，M為直角坐標平面內(nèi)一動點，過點M作圓O的切線，切點為N，若|MN|與|MQ|的比值等于常數(shù)λ(λ＞0)，求動點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線． 考點　求曲線方程的方法 題點　直接法求曲線方程 解　連接ON，OM，易知ON⊥MN，設(shè)M(x，y)． ∵圓O的半徑是1， ∴|MN|2＝|OM|2－|ON|2＝|OM|2－1. 由題意，＝λ， ∴|MN|＝λ|MQ|， 即＝λ， 整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0. ∵λ＞0， ∴當λ＝1時， 方程化為x＝，該方程表示一條直線； 當λ≠1時，方程化為2＋y2＝， 該方程表示以為圓心，以為半徑的圓．