（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第12講 函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)案 理 新人教A版.docx

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第12講函數(shù)模型及其應(yīng)用1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)的比較函數(shù)性質(zhì)y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+)上的增減性單調(diào)單調(diào)單調(diào)增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a0)反比例函數(shù)模型f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)且k0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a0且a1,b0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a0且a1,b0)冪函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b,為常數(shù),a0,0)常用結(jié)論1.函數(shù)f(x)=xa+bx(a0,b0,x0)在區(qū)間(0,ab上單調(diào)遞減,在區(qū)間ab,+)上單調(diào)遞增.2.直線上升、對(duì)數(shù)緩慢、指數(shù)爆炸.題組一常識(shí)題1.教材改編 函數(shù)模型y1=0.25x,y2=log2x+1,y3=1.002x,隨著x的增大,增長(zhǎng)速度的大小關(guān)系是.(填關(guān)于y1,y2,y3的關(guān)系式)圖2-12-12.教材改編 在如圖2-12-1所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x(單位:m)的取值范圍是.3.教材改編 某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為x8天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元.把平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和S表示為x的函數(shù)是.4.教材改編 已知某物體的溫度Q(單位:攝氏度)隨時(shí)間t(單位:分鐘)的變化規(guī)律為Q=m2t+21-t(t0,且m0).若物體的溫度總不低于2攝氏度,則m的取值范圍是.題組二常錯(cuò)題索引:審題不清致錯(cuò);忽視限制條件;忽視實(shí)際問題中實(shí)際量的單位、含義、范圍等;分段函數(shù)模型的分界把握不到位.5.一枚炮彈被發(fā)射后,其升空高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為h=130t-5t2,則該函數(shù)的定義域是.6.某物體一天中的溫度T是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù),且T=t3-3t+60,時(shí)間單位是小時(shí),溫度單位是,當(dāng)t=0時(shí)表示中午12:00,其后t值為正,則上午8時(shí)該物體的溫度是.7.在不考慮空氣阻力的情況下,火箭的最大速度v(米/秒)關(guān)于燃料的質(zhì)量M(千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(千克)的函數(shù)關(guān)系式是v=2000ln1+Mm.當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的倍時(shí),火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒.8.已知A,B兩地相距150千米,某人開汽車以60千米/小時(shí)的速度從A地到達(dá)B地,在B地停留1小時(shí)后再以50千米/小時(shí)的速度返回A地,則汽車離開A地的距離S(千米)關(guān)于時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)表達(dá)式是.探究點(diǎn)一一次、二次函數(shù)模型例1 某公司為提高員工的綜合素質(zhì),聘請(qǐng)專業(yè)機(jī)構(gòu)對(duì)員工進(jìn)行專業(yè)技術(shù)培訓(xùn),其中培訓(xùn)機(jī)構(gòu)費(fèi)用成本為12 000元.公司每位員工的培訓(xùn)費(fèi)用按以下方式與該機(jī)構(gòu)結(jié)算:若公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)不超過30人,則每人的培訓(xùn)費(fèi)用為850元;若公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)多于30人,則給予優(yōu)惠,每多一人,培訓(xùn)費(fèi)減少10元,但參加培訓(xùn)的員工人數(shù)最多為70.已知該公司最多有60位員工可參加培訓(xùn),設(shè)參加培訓(xùn)的員工人數(shù)為x,每位員工的培訓(xùn)費(fèi)為y元,培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的利潤(rùn)為Q元.(1)寫出y與x(x0,xN*)之間的函數(shù)關(guān)系式. (2)當(dāng)公司參加培訓(xùn)的員工有多少人時(shí),培訓(xùn)機(jī)構(gòu)可獲得最大利潤(rùn)?并求出最大利潤(rùn). 總結(jié)反思 在建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題中的最優(yōu)問題時(shí),一定要注意自變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域,解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí),最后還要還原到實(shí)際問題中.變式題 整改校園內(nèi)一塊長(zhǎng)為15 m,寬為11 m的長(zhǎng)方形草地(如圖2-12-2),將長(zhǎng)減少1 m,寬增加1 m,問草地面積是增加了還是減少了?假設(shè)長(zhǎng)減少x m,寬增加x m(x0),試研究以下問題:x取什么值時(shí),草地面積減少?x取什么值時(shí),草地面積增加?圖2-12-2探究點(diǎn)二指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型例2 大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.記鮭魚的游速為v m/s,鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為x,研究中發(fā)現(xiàn)v與log3x100(x100)成正比,且當(dāng)x=300時(shí),v=12.(1)求出v關(guān)于x的函數(shù)解析式. (2)計(jì)算一條鮭魚的游速是32 m/s時(shí)耗氧量的單位數(shù).(3)當(dāng)鮭魚的游速增加1 m/s時(shí),其耗氧量是原來的幾倍? 總結(jié)反思 與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問題,在求解時(shí),要先學(xué)會(huì)合理選擇模型.(1)在兩類函數(shù)模型中,指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型.(2)在解決這兩類函數(shù)模型時(shí),一般先要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,再借助函數(shù)的圖像求解最值問題.變式題 將甲桶中的a L水緩慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y=aent.假設(shè)過5 min后甲桶和乙桶中的水量相等,若再過m min后甲桶中的水只有a4 L,則m的值為()A.5B.8C.9D.10探究點(diǎn)三分段函數(shù)模型例3 某群體的人均通勤時(shí)間是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí),某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當(dāng)S中x%(0x100)的成員自駕時(shí),自駕群體的人均通勤時(shí)間(單位:分鐘)為f(x)=30,0x30,2x+1800x-90,30x100,而公交群體的人均通勤時(shí)間不受x影響,恒為40分鐘.試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:(1)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí),公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間?(2)求該地上班族S的人均通勤時(shí)間g(x)的表達(dá)式,討論g(x)的單調(diào)性,并說明其實(shí)際意義. 總結(jié)反思 (1)某些實(shí)際問題中的變量關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出,而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成,所以應(yīng)建立分段函數(shù)模型;(2)構(gòu)建分段函數(shù)時(shí),要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷、合理、不重不漏;(3)分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大值(或最小值).變式題 某科研小組研究發(fā)現(xiàn):一棵水果樹的產(chǎn)量w(單位:百千克)與肥料費(fèi)用x(單位:百元)滿足如下關(guān)系式:w=12x2+1(0x2),4-31+x(2y1y2解析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度關(guān)系可得.2.10,30解析 設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為y m,由相似三角形的性質(zhì)可得x40=40-y40(0x40),解得y=40-x(0x40),矩形的面積S=x(40-x).矩形花園的面積不小于300 m2,x(40-x)300,即(x-10)(x-30)0,解得10x30,滿足0x40,故其邊長(zhǎng)x(單位:m)的取值范圍是10,30.3.S=800x+x8解析 由題意知,每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是800x元,倉儲(chǔ)費(fèi)用是x81元,所以每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和S=800x+x8.4.12,+解析 物體的溫度總不低于2攝氏度,即Q2恒成立,即m2t+22t2恒成立,即m212t-122t恒成立.令12t=x,則0x1,m2(x-x2),由于當(dāng)0x1時(shí),x-x214,所以m12.因此,當(dāng)物體的溫度總不低于2攝氏度時(shí),m的取值范圍是12,+.5.0,26解析 令h0,解得0t26,故所求定義域?yàn)?,26.6.8 解析 由題意知,上午8時(shí)即t=-4,因此所求溫度T=(-4) 3-3(-4)+60=8().7.e6-1解析 由題意可得12 000=2000ln1+Mm,則ln1+Mm=6,解得1+Mm=e6,所以Mm=e6-1,故填e6-1.8.S=60t(0t2.5),150(2.5t3.5),325-50t(3.5t6.5)解析 當(dāng)0t2.5時(shí),S=60t;當(dāng)2.5t3.5時(shí),S=150;當(dāng)3.5t6.5時(shí),S=150-50(t-3.5)=325-50t.【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 (1)根據(jù)題意,分0x30(xN*)和30x60(xN*)兩種情況考慮;(2)利潤(rùn)是用每人的培訓(xùn)費(fèi)用乘培訓(xùn)人數(shù)再減去成本,根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最大值,然后比較即可.解:(1)依題意得,當(dāng)0x30時(shí),y=850;當(dāng)30x60時(shí),y=850-10(x-30)=-10x+1150.y=850,0x30,xN*,-10x+1150,30x60,xN*.(2)當(dāng)0x30,xN*時(shí),Q=850x-12 000,當(dāng)x=30時(shí),Q取得最大值,即Qmax=13 500.當(dāng)3013 500,當(dāng)公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)為57或58時(shí),培訓(xùn)機(jī)構(gòu)可獲得最大利潤(rùn)21 060元.變式題解:原草地面積S1=1115=165(m2),整改后草地面積為S=1412=168(m2),SS1,整改后草地面積增加了.研究:長(zhǎng)減少x m,寬增加x m后,草地面積為S2=(11+x)(15-x).S1-S2=165-(11+x)(15-x)=x2-4x,當(dāng)0x4時(shí),x2-4x0,即S14時(shí),x2-4x0,即S1S2.綜上所述,當(dāng)0x4時(shí),草地面積減少.例2思路點(diǎn)撥 (1)用待定系數(shù)法求解;(2)將v=32代入解析式,解方程求x即可;(3)設(shè)原來的游速為v0 m/s,耗氧量的單位數(shù)為x0,游速增加1 m/s后為(v0+1) m/s,耗氧量的單位數(shù)為x,分別代入解析式后,兩式消去v0,整理可得.解:(1)設(shè)v=klog3x100(k0),當(dāng)x=300時(shí),v=12,解得k=12,v關(guān)于x的函數(shù)解析式為v=12log3x100(x100).(2)當(dāng)游速為32 m/s時(shí),由解析式得32=12log3x100, log3x100=3,x100=27,解得x=2700,即耗氧量的單位數(shù)為2700.(3)設(shè)原來的游速為v0 m/s,耗氧量的單位數(shù)為x0,游速增加1 m/s后為(v0+1) m/s,耗氧量的單位數(shù)為x,則v0=12log3x0100,v0+1=12log3x100,-得1=12log3x100-12log3x0100=12log3xx0,log3xx0=2,xx0=32=9,耗氧量是原來的9倍.變式題A解析 5 min后甲桶和乙桶中的水量相等,函數(shù)y=f(t)=aent滿足f(5)=ae5n=12a,可得n=15ln12.設(shè)k min后甲桶中的水只有a4 L,則f(k)=14a,即15ln12k=ln14,即15ln12k=2ln12,解得k=10,故m=10-5=5.故選A.例3思路點(diǎn)撥 (1)求出f(x)40時(shí)x的取值范圍即可;(2)分段求出g(x)的解析式,判斷g(x)的單調(diào)性,再說明其實(shí)際意義.解:(1)由題意知,當(dāng)30x40,即x2-65x+9000,解得x45,當(dāng)x(45,100)時(shí),公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間.(2)當(dāng)0x30時(shí),g(x)=30x%+40(1-x%)=40-x10;當(dāng)30x100時(shí),g(x)=2x+1800x-90x%+40(1-x%)=x250-1310x+58.g(x)=40-x10(0x30),x250-1310x+58(30x100).當(dāng)0x32.5時(shí),g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)32.5x100時(shí),g(x)單調(diào)遞增.說明該地上班族S中有小于32.5%的人自駕時(shí),人均通勤時(shí)間是遞減的;有大于32.5%的人自駕時(shí),人均通勤時(shí)間是遞增的;當(dāng)自駕人數(shù)為32.5%時(shí),人均通勤時(shí)間最少.變式題解:(1)L(x)=16w-2x-x=8x2+16-3x(0x2),64-481+x-3x(2x5).(2)當(dāng)0x2時(shí),L(x)max=L(2)=42;當(dāng)2x5時(shí),L(x)=67-48x+1+3(x+1)67-248x+13(x+1)=43,當(dāng)且僅當(dāng)48x+1=3(x+1),即x=3時(shí)等號(hào)成立.由于4243,所以當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí),該棵水果樹獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為4300元.【備選理由】 例1為一次函數(shù)與二次函數(shù)模型問題,需要分情況討論求最值;例2是一道指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用問題,需要兩邊取對(duì)數(shù)求解;例3為分段函數(shù)模型,需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得最值,運(yùn)算量較大.例1配合例1使用 旅行社為某旅游團(tuán)包飛機(jī)去旅游,其中旅行社的包機(jī)費(fèi)為15 000元.旅游團(tuán)中每人的飛機(jī)票按以下方式與旅行社結(jié)算:若旅游團(tuán)人數(shù)不多于30,則飛機(jī)票每張收費(fèi)900元;若旅游團(tuán)人數(shù)多于30,則給予優(yōu)惠,每多1人,機(jī)票費(fèi)每張減少10元,但旅游團(tuán)人數(shù)最多為75.(1)寫出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于旅游團(tuán)人數(shù)的函數(shù)關(guān)系式.(2)旅游團(tuán)人數(shù)為多少時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn)?解:(1)設(shè)旅游團(tuán)人數(shù)為x,飛機(jī)票價(jià)格為y元,依題意知,當(dāng)1x30,且xN*時(shí),y=900;當(dāng)30x75,且xN*時(shí),y=900-10(x-30)=-10x+1200.所以所求函數(shù)關(guān)系式為y=900,1x30,xN*,-10x+1200,30x75,xN*.(2)設(shè)利潤(rùn)為f(x)元,則由(1)知f(x)=yx-15 000=900x-15 000,1x30,xN*,-10x2+1200x-15 000,30x75,xN*.當(dāng)1x30,且xN*時(shí),f(x)max=f(30)=12 000;當(dāng)3012 000,所以旅游團(tuán)人數(shù)為60時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn).例2配合例2使用 衣柜里的樟腦丸隨著時(shí)間推移會(huì)揮發(fā),從而體積變小,若它的體積V隨時(shí)間t的變化規(guī)律是V=V0e110t(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),其中V0為初始值.若V=V03,則t的值約為.(運(yùn)算結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):lg 30.477 1,lg e0.434 3)答案 11解析 由題知V0e110t=V03,即e110t=13=3-1,所以-110t=ln 3-1=-ln 3,所以t=10ln 3=10lg3lg e100.477 10.434 311.例3配合例3使用 某經(jīng)銷商計(jì)劃銷售一款新型的電子產(chǎn)品,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律:當(dāng)每臺(tái)電子產(chǎn)品的利潤(rùn)為x(單位:元,x0)時(shí),銷售量q(x)(單位:百臺(tái))與x之間的關(guān)系滿足:若x不超過25,則q(x)=2400x+11;若x大于或等于225,則銷售量為零;當(dāng)25x225時(shí),q(x)=a-bx(a,b為實(shí)常數(shù)).(1)求函數(shù)q(x)的表達(dá)式.(2)當(dāng)x為多少時(shí),總利潤(rùn)(單位:元)最大?并求出該最大值. 解:(1)當(dāng)25x225時(shí),由a-b25=400,a-b225=0,得a=600,b=40.故q(x)=2400x+11,0x25,600-40x,25225.(2)設(shè)總利潤(rùn)為f(x),則f(x)=100q(x)x,由(1)得f(x)=240 000xx+11,0x25,60 000x-4000xx,25225.當(dāng)0x25時(shí),f(x)=240 000xx+11=240 000x+11-11x+11,f(x)在(0,25上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=25時(shí),f(x)有最大值1 000 000.當(dāng)25x225時(shí),f(x)=60 000x-4000xx,f(x)=60 000-6000x,令f(x)=0,得x=100,當(dāng)25x0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)100x225時(shí),f(x)225時(shí),f(x)=0.故當(dāng)x為100時(shí),總利潤(rùn)最大,為2 000 000元.