2019高考數(shù)學(xué) 突破三角函數(shù)與解三角形問題中的套路 專題03 三角恒等變換學(xué)案 理.doc

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專題03 三角恒等變換 知識(shí)必備 一、兩角和與差的三角函數(shù)公式 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 （1）： （2）： （3）： （4）： （5）： （6）： 2．二倍角公式 （1）： （2）： （3）： 3．公式的常用變形 （1）； （2）降冪公式：；； （3）升冪公式：；；； （4）輔助角公式：，其中， 二、簡(jiǎn)單的三角恒等變換 1．半角公式 （1） （2） （3） 【注】此公式不用死記硬背，可由二倍角公式推導(dǎo)而來，如下圖： 2．公式的常見變形（和差化積、積化和差公式） （1）積化和差公式： ； ； ； . （2）和差化積公式： ； ； ； . 核心考點(diǎn) 考點(diǎn)一 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值 【例1】（三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)）__________． 【答案】1 【解析】 ． 故答案為1． 備考指南 1．三角化簡(jiǎn)、求值的常用方法：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化． 2．三角化簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)：三角函數(shù)名稱盡量少，次數(shù)盡量低，最好不含分母，能求值的盡量求值． 3．在化簡(jiǎn)時(shí)要注意角的取值范圍. 【例2】（給角求值）的值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，故選B． 備考指南 給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，從而得解. 【例3】（給值求值）“”是“”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 備考指南 已知三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值的一般思路： （1）先化簡(jiǎn)所求式子． （2）觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)． （3）將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值． 【例4】（給值求角）已知，，，，則角的值為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，，∴， ∵，，，故選D. 備考指南 通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，有以下原則： （1）已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)． （2）已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是，則選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，則選余弦較好；若角的范圍為，則選正弦較好. 考點(diǎn)二 三角恒等變換的應(yīng)用 【例5】（與三角函數(shù)定義的綜合應(yīng)用）如圖，點(diǎn)為單位圓上一點(diǎn)，，已知點(diǎn)沿單位圓按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則的值為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意可得，cos（+）=，sin（+）=，∈（0，）． ∴cos（+2）=2﹣1=2﹣1=﹣，即﹣sin2=﹣，∴sin2=， 故選B． 備考指南 1．理解三角函數(shù)定義. 2．熟練掌握三角恒等變換公式——二倍角公式，以及誘導(dǎo)公式. 【例6】（在三角形中的應(yīng)用）在三角形中，的值是 . 【答案】1 備考指南 1．掌握三角恒等變換公式的逆用. 2．熟悉并記憶三角形中隱含條件：三角形內(nèi)角和為π. 【例7】（在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中的應(yīng)用）已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域； （2）已知，函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的最大值. 【解析】（1）， ∵， ∴， ∴， ∴函數(shù)的值域?yàn)? （2）， 當(dāng)時(shí)，， ∵在區(qū)間上是增函數(shù)，且， ∴，即，化簡(jiǎn)得， ∵，∴， ∴，解得，因此，的最大值為. 備考指南 1．熟練應(yīng)用三角恒等變換公式變形. 2．掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì). 【例8】（在解三角形中的應(yīng)用）在中，角的對(duì)邊分別是，若，，則的周長(zhǎng)為 A．5 B．6 C．7 D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得，即， ∵，∴，故的周長(zhǎng)為，故選A． 備考指南 1．熟練應(yīng)用三角恒等變換公式變形. 2．掌握正、余弦定理. 能力突破 1．若，，則的值為 A． B． C． D． 【答案】A 2．已知，為銳角，且，，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ∴， ,選C． 3．設(shè),且滿足,則的取值范圍為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，又，則，所以，所以，故選B． 4．已知為正整數(shù)，，且，則當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，___________． 【答案】 【解析】由條件知，則由，得＝，即，解得或（舍去），則．因?yàn)椋?，則當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值． 5．設(shè)，且滿足. （1）求的值； （2）求的值. 【解析】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）由（1）可得：， ∵， ∴， ∴. ∴. 高考通關(guān) 1．（2016新課標(biāo)Ⅱ理）若cos(?α)=，則sin 2α= A． B． C．? D．? 【答案】D 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)的給值求值問題，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示： (1)已知角為兩個(gè)時(shí)，待求角一般表示為已知角的和或差． (2)已知角為一個(gè)時(shí)，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余、互補(bǔ)”關(guān)系． 2．（2016新課標(biāo)Ⅲ理）若，則 A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】方法一：由tan α=,cos2α+sin2α=1,得或,則sin 2α=2sin αcos α=,則cos2α+2sin 2α=+. 方法二：cos2α+2sin 2α=.故選A． 【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)求值： ①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值； ②“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系． 3．（2017北京理）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若 ，則=___________. 【答案】 【名師點(diǎn)睛】本題考查了角的對(duì)稱關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對(duì)稱關(guān)系包含：若與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則 ，若與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則，若與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則. 4．（2018新課標(biāo)Ⅱ理）已知，，則__________． 【答案】 【解析】因?yàn)椋?，所以? 因此 5．（2016四川理）cos2–sin2= . 【答案】 【解析】由三角函數(shù)的半角公式得， 【名師點(diǎn)睛】本題也可以看作來自于課本的題，直接利用課本公式解題，這告訴我們一定要立足于課本．有許多三角函數(shù)的求值問題都是通過三角函數(shù)公式把一般的三角函數(shù)求值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)求值而得解． 6．（2016浙江理）已知，則A=______，b=________． 【答案】， 【解析】，所以 【思路點(diǎn)睛】解答本題時(shí)先用降冪公式化簡(jiǎn)，再用輔助角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而對(duì)照可得和的值． 7．（2018江蘇）已知為銳角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【解析】（1）因?yàn)?，，所以? 因?yàn)椋裕? 因此，． （2）因?yàn)闉殇J角，所以． 又因?yàn)?，所以? 因此． 因?yàn)椋裕? 因此，． 【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值的三種類型 （1）給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)． （2）給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異．一般有如下兩種思路：①適當(dāng)變換已知式，進(jìn)而求得待求式的值；②變換待求式，便于將已知式的值代入，從而達(dá)到解題的目的． （3）給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，進(jìn)而確定角． 你都掌握了嗎？ 有哪些問題？整理一下！