《2020版高中數(shù)學 第四章 導數(shù)應用 1.1 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高中數(shù)學 第四章 導數(shù)應用 1.1 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1．1 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
學習目標 1.了解導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系.2.掌握利用導數(shù)判斷(證明)函數(shù)單調(diào)性的方法.3.能利用導數(shù)求不超過三次多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
知識點一 導函數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系
(1)在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性有如下關(guān)系：
導函數(shù)的正、負
函數(shù)的單調(diào)性
f′(x)>0
增加的
f′(x)<0
減少的
f′(x)＝0
常函數(shù)
(2)在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)有如下關(guān)系：
函數(shù)的單調(diào)性
導函數(shù)的正、負
增加的
f′(x)≥0
減少的
f′(x)≤0
常函數(shù)
f′(x)＝0
特別提醒：(1)若在某區(qū)間上有有限個點使f′(x)＝0，在其余的點恒有f′(x)>0，則f(x)仍是增加的(減少的情形完全類似)．
(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.
知識點二 函數(shù)的變化快慢與導函數(shù)的關(guān)系
一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．
1．函數(shù)的導數(shù)越小，函數(shù)值的變化越慢，函數(shù)的圖像就越“平緩”．( )
2．函數(shù)在某一點處的導數(shù)越大，函數(shù)在該點處的切線越“陡峭”．( )
3．函數(shù)在某個區(qū)間上變化的越快，函數(shù)在這個區(qū)間上導數(shù)的絕對值越大．( √ )
4．若f(x)在區(qū)間(a，b)上可導，則“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的”的充要條件．( )
5．若f(x)的圖像在[a，b]上是一條連續(xù)曲線，且f(x)在(a，b)上f′(x)<0，則f(x)在[a，b]上是減少的．( √ )
題型一 原函數(shù)和導函數(shù)圖像之間的關(guān)系
例1 已知函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)y＝f′(x)的圖像可能是圖中的( )
考點 函數(shù)變化的快慢與導數(shù)的關(guān)系
題點 根據(jù)原函數(shù)的圖像確定導函數(shù)的圖像
答案 C
解析 由函數(shù)y＝f(x)的圖像的增減變化趨勢判斷函數(shù)y＝f′(x)的正、負情況如下表：
x
(－1，b)
(b，a)
(a,1)
f(x)
↘
↗
↘
f′(x)
－
＋
－
由表可知函數(shù)y＝f′(x)的圖像，當x∈(－1，b)時，函數(shù)圖像在x軸下方；當x∈(b，a)時，函數(shù)圖像在x軸上方；當x∈(a,1)時，函數(shù)圖像在x軸下方．故選C.
反思感悟 1.對于原函數(shù)圖像，要看其在哪個區(qū)間內(nèi)是增加的，則在此區(qū)間內(nèi)導數(shù)值大于零．在哪個區(qū)間內(nèi)是減少的，則在此區(qū)間內(nèi)導數(shù)值小于零．根據(jù)導數(shù)值的正負可判定導函數(shù)圖像．
2．對于導函數(shù)的圖像可確定原函數(shù)的遞增(減)區(qū)間及增減快慢．
跟蹤訓練1 函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)可導，其圖像如圖所示，記y＝f(x)的導函數(shù)為y＝f′(x)，則不等式f′(x)≤0的解集是( )
A.∪[2,3)
B.∪
C.∪[1,2]
D.∪∪
考點 函數(shù)變化的快慢與導數(shù)的關(guān)系
題點 根據(jù)原函數(shù)圖像確定導函數(shù)圖像
答案 A
解析 求f′(x)≤0的解集，即求函數(shù)f(x)在上的遞減區(qū)間．由題干圖像可知y＝f(x)的遞減區(qū)間為，[2,3)．
題型二 利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例2 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
(2)f(x)＝3x2－2lnx.
考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點 不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間
解 (1) f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)＞0，得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)＜0，解得－3
0，即2>0，
解得x>.
令f′(x)<0，即2<0，
解得00和f′(x)<0.
(4)定義域內(nèi)滿足f′(x)>0的區(qū)間為遞增區(qū)間，定義域內(nèi)滿足f′(x)<0的區(qū)間為遞減區(qū)間．
跟蹤訓練2 求函數(shù)f(x)＝的單調(diào)區(qū)間．
考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點 不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間
解 函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因為x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，
所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(3，＋∞)；
由f′(x)<0，得x<3.
又函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(－∞，2)和(2,3)．
題型三 含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性
例3 若函數(shù)f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(1，＋∞)上是增加的，則k的取值范圍是________．
考點 利用函數(shù)單調(diào)性求變量
題點 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)
答案 [1，＋∞)
解析 由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(1，＋∞)上是增加的，得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
因為k≥，而0<<1，所以k≥1，
即k的取值范圍為[1，＋∞)．
引申探究
1．試求函數(shù)f(x)＝kx－lnx的單調(diào)區(qū)間．
解 f(x)＝kx－lnx的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝k－，
當k≤0時，函數(shù)的遞減區(qū)間為(0，＋∞)；
當k>0時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
2．若f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(1，＋∞)上不單調(diào)，則k的取值范圍是________．
答案 (0,1)
解析 由引申探究1知k>0，且>1，
則00(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取“＝”時f(x)是否滿足題意．
3．恒成立問題的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟蹤訓練3 已知函數(shù)f(x)＝x2＋2alnx.
(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是減少的，求實數(shù)a的取值范圍．
考點 利用函數(shù)的單調(diào)性求變量
題點 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
解 (1)f′(x)＝2x＋＝，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)．
①當a≥0時，f′(x)>0，
f(x)的遞增區(qū)間為(0，＋∞)；
②當a<0時，f′(x)＝，
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
↗
由上表可知，函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是(0，)；
遞增區(qū)間是(，＋∞)．
(2)由g(x)＝＋x2＋2alnx，得g′(x)＝－＋2x＋，
由已知函數(shù)g(x)為[1,2]上為減函數(shù)，
則g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即a≤－x2在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝－x2，
則h′(x)＝－－2x＝－<0，x∈[1,2]，
所以h(x)在[1,2]上是減少的，h(x)min＝h(2)＝－，
所以a≤－.
故實數(shù)a的取值范圍為.
含有參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論
典例 討論函數(shù)f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的單調(diào)性．
解 f(x)的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
①當a≥1時，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是增加的；
②當a≤0時，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上是減少的；
③當00，故f(x)在上是減少的，
在上是增加的．
綜上所述，當a≥1時，f(x)在(0，＋∞)上是增加的；
當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上是減少的；
當00，
解得x>2，
所以f(x)的遞增區(qū)間是(2，＋∞)．
2．函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則導函數(shù)y＝f′(x)的圖像可能是( )
考點 函數(shù)變化的快慢與導數(shù)的關(guān)系
題點 根據(jù)原函數(shù)圖像確定導函數(shù)圖像
答案 D
解析 ∵函數(shù)f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是減函數(shù)，∴當x>0時，f′(x)<0；當x<0時，f′(x)<0.故選D.
3．若函數(shù)y＝f(x)＝a(x3－x)的遞減區(qū)間為，則a的取值范圍是________．
考點 利用函數(shù)的單調(diào)性求變量
題點 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
答案 (0，＋∞)
解析 f′(x)＝a(3x2－1)＝3a，
令f′(x)<0，由已知得－0.
4．已知a>0且a≠1，證明：函數(shù)y＝ax－xlna在(－∞，0)上是減少的．
考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點 根據(jù)導數(shù)判定(證明)函數(shù)的單調(diào)性
證明 y′＝axlna－lna＝lna(ax－1)，
當a>1時，因為lna>0，ax<1，
所以y′<0，即y在(－∞，0)上是減少的；
當01，
所以y′<0，即y在(－∞，0)上是減少的．
綜上，函數(shù)y＝ax－xlna在(－∞，0)上是減少的．
1．導數(shù)的符號反映了函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，導數(shù)絕對值的大小反映了函數(shù)在某個區(qū)間或某點附近變化的快慢程度．
2．利用導數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域．
(2)求導數(shù)f′(x)．
(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
一、選擇題
1．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)上是增加的是( )
A．y＝sinx B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝lnx－x
考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點 根據(jù)導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性
答案 B
解析 顯然y＝sinx在(0，＋∞)上既有增又有減，故排除A；對于函數(shù)y＝xex，y′＝(x＋1)ex，因為ex恒大于零，易知y＝xex在(0，＋∞)上是增加的；
對于C，y′＝3x2－1＝3，
故函數(shù)在，上是增加的，
在上是減少的；對于D，y′＝－1(x>0)．
故函數(shù)在(1，＋∞)上是減少的，在(0,1)上是增加的．故選B.
2．函數(shù)y＝f(x)＝xcosx－sinx的遞增區(qū)間為( )
A. B.
C. D.
考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點 根據(jù)導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性
答案 B
解析 y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，
若y＝f(x)在某區(qū)間內(nèi)是增加的，
只需在此區(qū)間內(nèi)y′>0恒成立即可，
∴只有選項B符合題意，
當x∈(π，2π)時，y′>0恒成立．
3．函數(shù)f(x)＝x－lnx的遞減區(qū)間為( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(0,1] D．(0，＋∞)
考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點 不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間
答案 C
解析 ∵f′(x)＝1－＝(x>0)，令f′(x)≤0，解得00，所以在(4,5)上f(x)是增函數(shù)．
5．函數(shù)f(x)＝ax3－x在R上是減少的，則( )
A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)<1
C．a(chǎn)<2 D．a(chǎn)≤
考點 利用函數(shù)的單調(diào)性求變量
題點 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
答案 A
解析 f′(x)＝3ax2－1，由題意知，對任意x∈R，
3ax2－1≤0，當a>0時，顯然不符合題意，
當a≤0時，成立．故a≤0.
6．已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖像如圖所示，選項中的四個圖像能大致表示y＝f(x)的圖像的是( )
答案 C
解析 由題圖可知，當x＜－1時，xf′(x)＜0，所以f′(x)＞0，此時原函數(shù)是增加的，圖像應是上升的；當－1＜x＜0時，xf′(x)＞0，所以f′(x)＜0，此時原函數(shù)為是減少的，圖像應是下降的；當0＜x＜1時，xf′(x)＜0，所以f′(x)＜0，此時原函數(shù)是減少的，圖像應是下降的；當x＞1時，xf′(x)＞0，所以f′(x)＞0，此時原函數(shù)是增加的，圖像應是上升的．由上述分析可知選C.
7．已知函數(shù)f(x)在定義域R上為增函數(shù)，且f(x)＜0，則g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)內(nèi)的單調(diào)情況一定是( )
A．減少的 B．增加的
C．先增加后減少 D．先減少后增加
考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點 根據(jù)導數(shù)判定(證明)函數(shù)的單調(diào)性
答案 B
解析 因為函數(shù)f(x)在定義域R上是增加的，
所以f′(x)≥0在R上恒成立．
又因為g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，
所以當x∈(－∞，0)時，g′(x)＞0恒成立，
所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)內(nèi)是增加的．
8．函數(shù)f(x)的定義域為R，f(1)＝1，對任意x∈R，f′(x)<2，則f(x)>2x－1的解集為( )
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點 利用導數(shù)求解不等式
答案 C
解析 令g(x)＝f(x)－2x＋1，
則g′(x)＝f′(x)－2<0，∴g(x)是減函數(shù)．
又g(1)＝f(1)－21＋1＝0，
當g(x)>g(1)＝0時，x<1，
∴f(x)－2x＋1>0，即f(x)>2x－1的解集為(－∞，1)．
二、填空題
9．已知函數(shù)f(x)＝kex－1－x＋x2(k為常數(shù))，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線與x軸平行，則f(x)的遞減區(qū)間為____________．
考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點 含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間
答案 (－∞，0)
解析 f′(x)＝kex－1－1＋x，
∵曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線與x軸平行，
∴f′(0)＝ke－1－1＝0，解得k＝e，故f′(x)＝ex＋x－1.
令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)的遞減區(qū)間為(－∞，0)．
10．函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù)，則不等式<0的解集為________．
考點 函數(shù)變化快慢與導數(shù)的關(guān)系
題點 求解不等式
答案 (－3，－1)∪(0,1)
解析 由題圖知，當x∈(－∞，－3)∪(－1,1)時，f′(x)<0，
當x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)時，f′(x)>0，
故不等式<0的解集為(－3，－1)∪(0,1)．
11．已知f(x)＝在區(qū)間[m，m＋1]上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是________．
考點 利用函數(shù)單調(diào)性求變量
題點 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)
答案 [－1,0]
解析 f′(x)＝＝，
∴當－1≤x≤1時，f′(x)≥0，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[－1,1]，
又f(x)在[m，m＋1]上是增函數(shù)，∴
∴－1≤m≤0，即實數(shù)m的取值范圍是[－1,0]．
三、解答題
12．已知x>0，求證：x>sinx.
考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點 利用導數(shù)證明不等式
證明 設(shè)f(x)＝x－sinx(x>0)，則f′(x)＝1－cosx≥0對x∈(0，＋∞)恒成立，∴函數(shù)f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是增加的，又f(0)＝0，∴f(x)>0對x∈(0，＋∞)恒成立，∴x>sinx(x>0)．
13．若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在區(qū)間(1,4)內(nèi)是減少的，在區(qū)間(6，＋∞)內(nèi)是增加的，試求實數(shù)a的取值范圍．
考點 利用函數(shù)的單調(diào)性求變量
題點 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
解 f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a－1.
因為f(x)在(1,4)內(nèi)是減少的，
所以當x∈(1,4)時，f′(x)≤0；
因為f(x)在(6，＋∞)內(nèi)是增加的，
所以當x∈(6，＋∞)時，f′(x)≥0.
所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7，
所以實數(shù)a的取值范圍為[5,7]．
14．f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x<0時，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是________________．
考點
題點
答案 (－∞，－3)∪(0,3)
解析 令h(x)＝f(x)g(x)，則h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(huán)(x)，
因此函數(shù)h(x)在R上是奇函數(shù)．
①∵當x<0時，h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
∴h(x)在(－∞，0)上是增加的，
∵h(－3)＝f(－3)g(－3)＝0，∴由h(x)<0，得x<－3.
②當x>0時，∵函數(shù)h(x)在R上是奇函數(shù)，
∴h(x)在(0，＋∞)上是增加的，且h(3)＝－h(huán)(－3)＝0，
∴h(x)<0的解集為(0,3)，
∴不等式f(x)g(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．
15．已知二次函數(shù)h(x)＝ax2＋bx＋2，其導函數(shù)y＝h′(x)的圖像如圖，f(x)＝6lnx＋h(x)．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．
考點 利用函數(shù)的單調(diào)性求變量
題點 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
解 (1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，
其圖像為直線，且過(0，－8)，(4,0)兩點，
把兩點坐標代入h′(x)＝2ax＋b，
∴ 解得
∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，
∴f(x)＝6lnx＋x2－8x＋2.
(2)f′(x)＝＋2x－8＝(x>0)．
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
↘
↗
∴f(x)的遞增區(qū)間為(0,1)和(3，＋∞)，
f(x)的遞減區(qū)間為(1,3)．
要使函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，
則 解得
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2020版高中數(shù)學
第四章
導數(shù)應用
1.1
導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學案含解析北師大版選修1
-1
2020
高中數(shù)學
第四
導數(shù)
應用
函數(shù)
單調(diào)
性學
解析
北師大
選修
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2020版高中數(shù)學 第四章 導數(shù)應用 1.1 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx
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