2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.3.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx
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2.3.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程.2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3.會利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單的問題. 知識點一 雙曲線的定義 把平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點的軌跡叫做雙曲線,兩個定點F1,F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距. 知識點二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 思考 如圖,類比橢圓中a,b,c的意義,你能在y軸上找一點B,使OB=b嗎? 答案 以雙曲線與x軸的交點A為圓心,以線段OF2為半徑畫圓交y軸于點B,此時OB=b. 梳理 焦點在x軸上 焦點在y軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 焦點 F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0) F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c) 焦距 F1F2=2c,c2=a2+b2 1.在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中,a,b,c之間的關(guān)系同橢圓中a,b,c之間的關(guān)系相同.( ) 2.點A(1,0),B(-1,0),若AC-BC=4,則點C的軌跡是雙曲線.( ) 3.在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程-=1中,a>0,b>0且a≠b.( ) 4.雙曲線-=1的焦距為4.( √ ) 類型一 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例1 求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)與橢圓+=1有公共焦點,且過點(-2,); (2)焦距為26,且經(jīng)過點M(0,12); (3)過點P,Q,且焦點在坐標(biāo)軸上. 考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點 定義法、待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 (1)橢圓+=1的焦點為F1(0,-3),F(xiàn)2(0,3). 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0), 則有解得 故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. (2)因為雙曲線經(jīng)過點M(0,12),所以M(0,12)為雙曲線的一個頂點,故焦點在y軸上,且a=12. 又2c=26,所以c=13,所以b2=c2-a2=25. 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. (3)設(shè)雙曲線方程為mx2+ny2=1(mn<0). 因為點P,Q在雙曲線上, 所以解得 故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 反思與感悟 待定系數(shù)法求方程的步驟 (1)定型:即確定雙曲線的焦點所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸. (2)設(shè)方程:根據(jù)焦點位置設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式, ①若不知道焦點的位置,則進行討論,或設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1(AB<0). ②與雙曲線-=1(a>0,b>0)共焦點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為-=1(-b2<k<a2). (3)計算:利用題中條件列出方程組,求出相關(guān)值. (4)結(jié)論:寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 跟蹤訓(xùn)練1 根據(jù)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)c=,經(jīng)過點A(-5,2),焦點在x軸上; (2)經(jīng)過點P(4,-2)和點Q(2,2); (3)已知雙曲線與橢圓+=1有共同的焦點,且過點(,4). 考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點 定義法、待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 (1)設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0), ∵c=,∴b2=c2-a2=6-a2. 由題意知-=1,∴-=1, 解得a2=5或a2=30(舍). ∴b2=1,∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2=1. (2)設(shè)雙曲線方程為mx2+ny2=1(mn<0). ∵點P(4,-2)和點Q(2,2)在雙曲線上, ∴解得 ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. (3)橢圓+=1的焦點坐標(biāo)為F1(0,-3),F(xiàn)2(0,3), 故可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 由題意,知解得 ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 類型二 由雙曲線方程求參數(shù)值或范圍 例2 方程+=1表示雙曲線,那么m的取值范圍為____________________. 考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點 由雙曲線方程求參數(shù) 答案 {m|-3<m<2或m>3} 解析 依題意有或 解得-3<m<2或m>3. ∴m的取值范圍為{m|-3<m<2或m>3}. 反思與感悟 方程表示雙曲線的條件及參數(shù)范圍求法 (1)對于方程+=1,當(dāng)mn<0時,表示雙曲線.進一步,當(dāng)m>0,n<0時,表示焦點在x軸上的雙曲線;當(dāng)m<0,n>0時,表示焦點在y軸上的雙曲線. (2)對于方程-=1,當(dāng)mn>0時,表示雙曲線,且當(dāng)m>0,n>0時,表示焦點在x軸上的雙曲線;當(dāng)m<0,n<0時,表示焦點在y軸上的雙曲線. (3)已知方程所代表的曲線,求參數(shù)的取值范圍時,應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,再根據(jù)方程中參數(shù)取值的要求,建立不等式(組)求解參數(shù)的取值范圍. 跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知方程-=1表示雙曲線,則k的取值范圍為________. 考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點 由雙曲線方程求參數(shù) 答案 (-1,1) 解析 方程-=1表示雙曲線, 則(1+k)(1-k)>0,∴(k+1)(k-1)<0,∴-1<k<1. (2)雙曲線2x2-y2=k的焦距為6,則k的值為________. 考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點 由雙曲線方程求參數(shù) 答案 6 解析 當(dāng)k>0時,方程可化為-=1, 則c2=+k=k,即2=6,故k=6. 當(dāng)k<0時,方程可化為-=1, 則c2=-k,故2=6,解得k=-6. 綜上所述,k=-6或6. 類型三 雙曲線的定義及應(yīng)用 例3 (1)如圖,已知雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),點A,B均在雙曲線的右支上,線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點F2,AB=m,F(xiàn)1為雙曲線的左焦點,則△ABF1的周長為________. 考點 雙曲線的定義 題點 雙曲線的焦點三角形 答案 4a+2m 解析 由雙曲線的定義,知AF1-AF2=2a, BF1-BF2=2a. 又AF2+BF2=AB, 所以△ABF1的周長為AF1+BF1+AB =4a+2AB=4a+2m. (2)已知雙曲線-=1的左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2,若雙曲線上一點P使得∠F1PF2=60,則△F1PF2的面積為________. 考點 雙曲線的定義 題點 雙曲線的焦點三角形 答案 16 解析 由-=1,得a=3,b=4,c=5. 由定義和余弦定理,得PF1-PF2=6, F1F=PF+PF-2PF1PF2cos60, 所以102=(PF1-PF2)2+PF1PF2, 所以PF1PF2=64. ∴=PF1PF2sin60 =64=16. 引申探究 在本例(2)中,若∠F1PF2=90,其他條件不變,求△F1PF2的面積. 解 由雙曲線方程知a=3,b=4,c=5. 由雙曲線的定義得|PF1-PF2|=2a=6, 所以PF+PF-2PF1PF2=36.① 在Rt△F1PF2中,由勾股定理,得PF+PF=F1F=(2c)2=100.② 將②代入①,得PF1PF2=32, 所以=PF1PF2=16. 反思與感悟 求雙曲線中焦點三角形面積的方法 (1)方法一:①根據(jù)雙曲線的定義求出|PF1-PF2|=2a; ②利用余弦定理表示出PF1,PF2,F(xiàn)1F2之間滿足的關(guān)系式; ③通過配方,利用整體的思想求出PF1PF2的值; ④利用公式=PF1PF2sin∠F1PF2,求得面積. (2)方法二:利用公式=F1F2|yP|(yP為P點的縱坐標(biāo)),求得面積. 特別提醒:利用雙曲線的定義解決與焦點有關(guān)的問題,一是要注意定義條件|PF1-PF2|=2a的變形使用,特別是與PF+PF,PF1PF2間的關(guān)系. 跟蹤訓(xùn)練3 已知F1,F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點,點P在C上,∠F1PF2=60,則PF1PF2=________. 考點 雙曲線的定義 題點 雙曲線的焦點三角形 答案 4 解析 設(shè)PF1=m,PF2=n, 由余弦定理,得F1F=m2+n2-2mncos∠F1PF2, 即m2+n2-mn=8, ∴(m-n)2+mn=8,∴mn=4, 即PF1PF2=4. 1.已知雙曲線中的a=5,c=7,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________________. 考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點 定義法、待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 答案 -=1或-=1 2.橢圓+=1與雙曲線-=1有相同的焦點,則a=________. 考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點 定義法、待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 答案 1 解析 由a>0,0<a2<4,且4-a2=a+2,可得a=1. 3.若方程+=1表示雙曲線,則k的取值范圍為________. 考點 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點 由雙曲線方程求參數(shù) 答案 (5,10) 解析 由題意得(10-k)(5-k)<0,解得5- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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