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第6課時(shí) 直線與雙曲線的位置關(guān)系
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一 )
1.已知直線l過(guò)點(diǎn)(2,0),且與雙曲線x2-y2=2僅有一個(gè)公共點(diǎn),則這樣的直線有( ).
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
【解析】點(diǎn)(2,0)即為雙曲線的右頂點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)的直線有2條與雙曲線漸近線平行且與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn),另過(guò)該點(diǎn)且與x軸垂直的直線也與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),故這樣的直線只有3條.
【答案】C
2.已知雙曲線C:x2a2-y24=1的一條漸近線方程為2x+3y=0,F1、F2分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線C上,且|PF1|=2,則|PF2|等于( ).
A.4 B.6 C.8 D.10
【解析】依題意,有2a=23,所以a=3,因?yàn)閨PF1|=2,所以點(diǎn)P在雙曲線的左支上,所以|PF2|-|PF1|=2a,解得|PF2|=8,故選C.
【答案】C
3.已知點(diǎn)P(3,-4)是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)漸近線上的一點(diǎn),E,F是左、右兩個(gè)焦點(diǎn),若EPFP=0,則雙曲線的方程為( ).
A.x23-y24=1 B.x24-y23=1
C.x29-y216=1 D.x216-y29=1
【解析】由題意知,點(diǎn)E(-c,0),F(c,0),則EPFP=(3+c,-4)(3-c,-4)=9-c2+16=0,所以c2=25.可排除A,B選項(xiàng).
又D選項(xiàng)中雙曲線的漸近線方程為y=34x,點(diǎn)P不在漸近線上,排除D選項(xiàng),故C正確.
【答案】C
4.若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點(diǎn),則k的取值范圍是( ).
A.-153,153 B.0,153
C.-153,0 D.-153,-1
【解析】由y=kx+2,x2-y2=6,得(1-k2)x2-4kx-10=0.
由題意得1-k2≠0,Δ=16k2+40(1-k2)>0,4k1-k2>0,10k2-1>0,解得-153
0)右焦點(diǎn)F作一條直線,當(dāng)直線斜率為2時(shí),直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)直線斜率為3時(shí),直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同交點(diǎn).則雙曲線離心率的取值范圍為 .
【解析】由題意可知5-a2>0,2<5-a2a2<3,從而4<5-a2a2<9,
所以e=1+5-a2a2∈(5,10).
【答案】(5,10)
6.已知F為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),定點(diǎn)A為雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn),過(guò)F,A兩點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線在y軸右側(cè)的交點(diǎn)為B,若AB=3FA,則此雙曲線的離心率為 .
【解析】因?yàn)镕為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),定點(diǎn)A為雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn),
所以可設(shè)點(diǎn)F(-c,0),A(0,b),B(xB,yB),直線AF:y=bcx+b.
由題意知,直線AF與漸近線y=bax相交.
聯(lián)立兩直線y=bcx+b,y=bax,消去x,得yB=bcc-a.
由AB=3FA,得yB=4b,所以bcc-a=4b,解得離心率e=43.
【答案】43
7.從雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)Q作直線x+y=2的垂線,垂足為N,求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程.
【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),Q(x0,y0),則點(diǎn)N(2x-x0,2y-y0),
代入x+y=2,得2x-x0+2y-y0=2.?、?
因?yàn)镻Q垂直于直線x+y=2,所以y-y0x-x0=1,
即x-y-x0+y0=0. ②
由①②得x0=32x+12y-1,y0=12x+32y-1.
由點(diǎn)Q(x0,y0)在雙曲線x2-y2=1上,代入雙曲線方程,得點(diǎn)P的軌跡方程為2x2-2y2-2x+2y=1.
拓展提升(水平二)
8.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若存在過(guò)右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),且AF=3BF,則該雙曲線離心率的最小值為( ).
A.2 B.3 C.2 D.22
【解析】因?yàn)檫^(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且AF=3BF,所以直線與雙曲線相交只能交于左、右兩支,即A在左支,B在右支.設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),右焦點(diǎn)F(c,0),因?yàn)锳F=3BF,所以c-x1=3(c-x2),即3x2-x1=2c.因?yàn)閤1≤-a,x2≥a,所以-x1≥a,3x2≥3a,所以3x2-x1≥4a,即2c≥4a,ca≥2,即e≥2,故選C.
【答案】C
9.已知雙曲線x22-y23=1上存在兩點(diǎn)P,Q關(guān)于直線y=x+b對(duì)稱(chēng),且PQ的中點(diǎn)M在直線2x+y-2=0上,則實(shí)數(shù)b的值為( ).
A.-10 B.-8 C.-2 D.2
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P,Q關(guān)于直線y=x+b對(duì)稱(chēng),所以線段PQ的垂直平分線的方程為y=x+b,所以直線PQ的斜率為-1.
設(shè)直線PQ的方程為y=-x+m,令點(diǎn)P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM),由y=-x+m,x22-y23=1,得x2+4mx-2m2-6=0,所以xP+xQ=-4m,所以xM=-2m,所以點(diǎn)M(-2m,3m).又因?yàn)镻Q的中點(diǎn)M在直線2x+y-2=0上,所以-4m+3m-2=0,解得m=-2,由PQ的中點(diǎn)M也在直線y=x+b上,得b=5m,所以b=-10,故選A.
【答案】A
10.連接雙曲線x2a2-y2b2=1和y2b2-x2a2=1(其中a>0,b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形的面積為S1,連接四個(gè)焦點(diǎn)的四邊形的面積為S2,則當(dāng)S1S2的值最大時(shí),雙曲線y2b2-x2a2=1的離心率為.
【解析】由題意可知S1=122a2b=2ab,S2=122c2c=2c2,
∴S1S2=abc2=aba2+b2=1ba+ab≤12,當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab,即a2=b2=c2-a2時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)雙曲線y2b2-x2a2=1的離心率為e=ca=2.
【答案】2
11.直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F?若存在,求出k的值;若不存在,說(shuō)明理由.
【解析】(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.?、?
依題意,直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn),
故k2-2≠2,Δ=(2k)2-8(k2-2)>0,-2kk2-2>0,2k2-2>0,
解得-2
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第二章
圓錐曲線及方程
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直線與雙曲線的位置關(guān)系同步測(cè)試
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