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第二講 不等式選講
考點一 含絕對值不等式的解法
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法
(1)若c>0，則|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根據a，b的取值求解即可；
(2)若c<0，則|ax＋b|≤c的解集為?，|ax＋b|≥c的解集為R.
2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
(1)零點分段討論法．
(2)絕對值的幾何意義．
(3)數形結合法．
[解] (1)當a＝1時，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)>1的解集為.
(2)當x∈(0,1)時|x＋1|－|ax－1|>x成立等價于當x∈(0,1)時|ax－1|<1成立．
若a≤0，則當x∈(0,1)時|ax－1|≥1；
若a>0時，則|ax－1|<1的解集為.
所以≥1，故0
x－f(x)恒成立，知|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min>2.
而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，
所以|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.
絕對值恒成立問題應關注的3點
(1)巧用“||a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|”求最值．
(2)f(x)a恒成立?f(x)min>a.
(3)f(x)a有解?f(x)max>a.
[對點訓練]
1．[角度1](2018山東淄博模擬)設函數f(x)＝|x＋4|.
(1)若y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值為4，求a的值；
(2)求不等式f(x)>1－x的解集．
[解] (1)因為f(x)＝|x＋4|，
所以y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)＝|2x＋a＋4|＋|2x－a＋4|≥|2x＋a＋4－(2x－a＋4)|＝|2a|，
又y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值為4，
∴|2a|＝4，
∴a＝2.
(2)f(x)＝|x＋4|＝
∴不等式f(x)>1－x等價于
解得x>－2或x<－10，
故不等式f(x)>1－x的解集為{x|x>－2或x<－10}．
2．[角度2](2018河南鄭州二模)已知函數f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a.
(1)當a＝0時，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若存在x∈R，使得f(x)≤g(x)成立，求實數a的取值范圍．
[解] (1)當a＝0時，由f(x)≥g(x)得|2x＋1|≥|x|，兩邊平方整理得3x2＋4x＋1≥0，解得x≤－1或x≥－，∴原不等式的解集為(－∞，－1]∪.
(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x＋1|－|x|，
令h(x)＝|2x＋1|－|x|，
則h(x)＝
故h(x)min＝h＝－，
所以實數a的取值范圍為a≥－.
考點三 不等式的證明
定理1：設a，b∈R，則a2＋b2≥2ab.當且僅當a＝b時，等號成立．
定理2：如果a，b為正數，則≥，當且僅當a＝b時，等號成立．
定理3：如果a，b，c為正數，則≥，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．
[證明] (1)(a＋b)(a5＋b5)
＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因為(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋(a＋b)
＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
證明不等式的方法和技巧
(1)如果已知條件與待證明的結論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或是否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法．
(2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構造法等技巧簡化對問題的表述和證明．尤其是對含絕對值不等式的解法或證明，其簡化的基本思路是化去絕對值號，轉化為常見的不等式(組)求解．多以絕對值的幾何意義或“找零點、分區(qū)間、逐個解、并起來”為簡化策略，而絕對值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據．
[對點訓練]
已知實數a，b，c滿足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.
(1)證明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；
(2)證明：＋＋≤＋＋.
[證明] (1)∵1＋a≥2，1＋b≥2，1＋c≥2，
∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥222＝8，
∵abc＝1，∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8.
(2)∵ab＋bc≥2＝2，
ab＋ac≥2＝2，
bc＋ac≥2＝2，
上面三式相加得，
2ab＋2bc＋2ca≥2＋2＋2，
即ab＋bc＋ca≥＋＋.
又＋＋＝ab＋bc＋ac，
∴＋＋≤＋＋.
1．(2017全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)當a＝1時，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范圍．
[解] (1)當a＝1時，不等式f(x)≥g(x)等價于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①
當x<－1時，①式化為x2－3x－4≤0，無解；
當－1≤x≤1時，①式化為x2－x－2≤0，從而－1≤x≤1；
當x>1時，①式化為x2＋x－4≤0，從而14；
(2)若?x∈，不等式a＋14?
或或
?x<－2或01.
∴不等式f(x)>4的解集為(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
(2)由(1)知，當x<－時，f(x)＝－3x－2，
∵當x<－時，f(x)＝－3x－2>，
∴a＋1≤，即a≤.
∴實數a的取值范圍為.
2．(2018河南新鄉(xiāng)二模)已知函數f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.
(1)求不等式f(x)≤2的解集；
(2)若直線y＝kx－2與函數f(x)的圖象有公共點，求k的取值范圍．
[解] (1)由f(x)≤2，得或或解得0≤x≤5，故不等式f(x)≤2的解集為[0,5]．
(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝
作出函數f(x)的圖象，如圖所示，
易知直線y＝kx－2過定點C(0，－2)，
當此直線經過點B(4,0)時，k＝；
當此直線與直線AD平行時，k＝－2.
故由圖可知，k∈(－∞，－2)∪.
3．(2018大慶二模)已知f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，g(x)＝－x2＋2mx.
(1)求不等式f(x)>4的解集；
(2)若對任意的x1，x2，f(x1)≥g(x2)恒成立，求m的取值范圍．
[解] (1)解法一：不等式f(x)>4即|x＋3|＋|x－1|>4.
可得或
或
解得x<－3或x>1，所以不等式的解集為{x|x<－3或x>1}．
解法二：|x＋3|＋|x－1|≥|x＋3－(x－1)|＝4，
當且僅當(x＋3)(x－1)≤0，即－3≤x≤1時，等號成立．
所以不等式的解集為{x|x<－3或x>1}．
(2)依題意可知f(x)min≥g(x)max，
由(1)知f(x)min＝4，
因為g(x)＝－x2＋2mx＝－(x－m)2＋m2，
所以g(x)max＝m2.
由m2≤4得m的取值范圍是－2≤m≤2.
4．(2018西安一模)設a、b為正實數，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
[解] (1)由2＝＋≥2得ab≥，
當a＝b＝時取等號．
故a2＋b2≥2ab≥1，當a＝b＝時取等號．
所以a2＋b2的最小值是1.
(2)由＋＝2可得a＋b＝2ab，
∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝8a2b2－4ab≥4(ab)3，
∴(ab)2－2ab＋1≤0，即(ab－1)2≤0，
∴ab－1＝0，即ab＝1.
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