四川省成都市高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 第10課時 楊輝三角形同步測試 新人教A版選修2-3.doc

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第10課時　“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì) 基礎達標(水平一) 1.若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,則a1+a2+a3+…+a11的值為(　　). A.-1 B.1 C.3 D.5 【解析】令x=2,得-5=a0,令x=3,得0=a0+a1+a2+a3+…+a11,所以a1+a2+a3+…+a11=-a0=5. 【答案】D 2.若(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(　　). A.1 B.-1 C.2 D.-2 【解析】令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(2-1)10, 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=(2+1)10, 故(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2 =(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a10) =(2-1)10(2+1)10=1. 【答案】A 3.已知Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn=729,則Cn1+Cn3+Cn5的值為(　　). A.64 B.32 C.63 D.31 【解析】由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6,則Cn1+Cn3+Cn5=C61+C63+C65=262=32. 【答案】B 4.把通項公式為an=2n-1(n∈N*)的數(shù)列{an}的各項排成如圖所示的三角形數(shù)陣.記S(m,n)表示該數(shù)陣的第m行中從左到右的第n個數(shù),則S(10,6)對應數(shù)陣中的數(shù)是(　　). 　　1　 　 3　 　5 7　 　9　 　11 13　 　15　 　17　 　19 …… A.91 B.101 C.103 D.106 【解析】設這個數(shù)陣每一行的第一個數(shù)組成數(shù)列{bn},則b1=1,bn-bn-1=2(n-1),∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=2[(n-1)+(n-2)+…+1]+1=n2-n+1, ∴b10=102-10+1=91,S(10,6)=b10+2(6-1)=101. 【答案】B 5.若x2+1x3n展開式的各項系數(shù)之和為32,則其展開式中的常數(shù)項是　　　　. 【解析】令x=1,得2n=32,所以n=5. Tr+1=C5r(x2)5-r1x3r=C5rx10-5r, 由10-5r=0,得r=2,故展開式中的常數(shù)項是C52=10. 【答案】10 6.已知(1+x)n展開式的第五、六、七項系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中系數(shù)最大的項為　　　　. 【解析】在(1+x)n的展開式中,第五、六、七項的系數(shù)就是它們的二項式系數(shù),即分別是Cn4、Cn5、Cn6.由題意有Cn6+Cn4=2Cn5,即n2-21n+98=0,解得n=14或n=7. 當n=14時,(1+x)n展開式的系數(shù)最大的項為T8=C147x7=3432x7; 當n=7時,(1+x)n展開式中系數(shù)最大的項為T4=C73x3=35x3或T5=C74x4=35x4. 【答案】3432x7或35x4或35x3 7.觀察下列數(shù)表,試求出此表的最后一個數(shù)字. 【解析】因為第1行有100個數(shù),以后每一行都比前一行少1個數(shù),因此共有100行. 通過觀察可以得到: 第1行首尾兩項之和為101; 第2行首尾兩項之和為1012; 第3行首尾兩項之和為10122; 第4行首尾兩項之和為10123; …… 第99行首尾兩項之和為101298. 因為從第2行開始,每一個數(shù)字是它“肩上”兩個數(shù)字之和,所以最后一個數(shù)字,即第100行的數(shù)字是它“肩上”兩個數(shù)字之和,即101298. 拓展提升(水平二) 8.已知x+3xn的展開式中,各項系數(shù)之和為A,各項的二項式系數(shù)之和為B,且A+B=72,則展開式中常數(shù)項為(　　). A.6 B.9 C.12 D.18 【解析】由二項展開式的性質(zhì),可得各項的二項式系數(shù)之和B=2n,令x=1,可得各項系數(shù)之和A=(1+3)n=4n.因為A+B=72,所以4n+2n=72,解得n=3.因為x+3x3的展開式的通項為Tr+1=C3r(x)3-r3xr=3rC3rx3-3r2,令3-3r2=0,可得r=1,所以展開式中常數(shù)項為T2=3C31=9,故選B. 【答案】B 9.設(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,那么a0+a2+a4a1+a3的值為　　　　. 【解析】當x=1時,1=a0+a1+a2+a3+a4+a5; 當x=-1時,35=a0-a1+a2-a3+a4-a5, ∴a0+a2+a4=122,a1+a3+a5=-121, a5=C55(-1)5=-1,∴a1+a3=-120, ∴a0+a2+a4a1+a3=-6160. 【答案】-6160 10.在“楊輝三角”中,每一個數(shù)都是它“肩上”兩個數(shù)的和,它開頭幾行如圖所示.那么,在“楊輝三角”中,第　　　　行會出現(xiàn)三個相鄰的數(shù),其比為3∶4∶5. 第0行1 第1行1　1 第2行1　2　1 第3行1　3　3　1 第4行1　4　6　4　1 第5行1　5　10　10　5　1 　…　　　　　　　　　　… 　　【解析】根據(jù)題意,設所求的行數(shù)為n,則存在正整數(shù)k, 使得連續(xù)三項Cnk-1,Cnk,Cnk+1,有Cnk-1Cnk=34,且CnkCnk+1=45. 化簡得kn-k+1=34,k+1n-k=45,聯(lián)立解得k=27,n=62. 故第62行會出現(xiàn)滿足條件的三個相鄰的數(shù). 【答案】62 11.已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展開式中,x的系數(shù)為11. (1)求x2的系數(shù)取最小值時n的值. (2)當x2的系數(shù)取得最小值時,求f(x)展開式中x的奇次項的系數(shù)之和. 【解析】(1)由已知Cm1+2Cn1=11,所以m+2n=11, x2項的系數(shù)為Cm2+22Cn2=m(m-1)2+2n(n-1) =m2-m2+(11-m)11-m2-1=m-2142+35116. 因為m∈N*,所以m=5時,x2項的系數(shù)取得最小值22,此時n=3. (2)由(1)知,當x2項的系數(shù)取得最小值時,m=5,n=3, 所以f(x)=(1+x)5+(1+2x)3, 設這時f(x)的展開式為f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33=59, 令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1, 兩式相減得2(a1+a3+a5)=60, 故展開式中x的奇次項的系數(shù)之和為30.