2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式專(zhuān)題檢測(cè)試卷 新人教A版選修4-5.docx

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第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式專(zhuān)題檢測(cè)試卷(四)(時(shí)間：90分鐘滿(mǎn)分：120分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1如果命題P(n)對(duì)nk成立，那么它對(duì)nk2成立，又若P(n)對(duì)n1成立，則P(n)對(duì)所有()A正整數(shù)n成立B正偶數(shù)n成立C正奇數(shù)n成立D大于1的自然數(shù)n成立答案C2若等式122232n2(5n27n4)，則()An為任何正整數(shù)時(shí)都成立B僅當(dāng)n1,2,3時(shí)成立C當(dāng)n4時(shí)成立，n5時(shí)不成立D僅當(dāng)n4時(shí)不成立答案B解析分別用n1,2,3,4,5驗(yàn)證即可3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式12(n2，nN)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A12B12C12D12答案A解析第一步驗(yàn)證n2時(shí)不等式成立，即12.4已知數(shù)列an中，a11，a22，an12anan1(nN)，用數(shù)學(xué)歸納法證明a4n能被4整除，假設(shè)a4k能被4整除，然后應(yīng)該證明()Aa4k1能被4整除Ba4k2能被4整除Ca4k3能被4整除Da4k4能被4整除答案D解析假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，即a4k能被4整除，然后應(yīng)證明當(dāng)nk1時(shí)，即a4(k1)a4k4能被4整除5設(shè)f(n)1，則f(k1)f(k)等于()A.B.C.D.答案D解析當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，f(k)1，當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)1，所以f(k1)f(k).6用數(shù)學(xué)歸納法證明“42n13n1(nN)能被13整除”的第二步中，當(dāng)nk1時(shí)為了使用歸納假設(shè)，對(duì)42k13k2變形正確的是()A16(42k13k1)133k1B442k93kC(42k13k1)1542k123k1D3(42k13k1)1342k1答案A解析假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，42n13n1能被13整除，則當(dāng)nk1時(shí)，42k13k21642k133k116(42k13k1)133k1.7已知123332433n3n13n(nab)c對(duì)一切nN都成立，那么a，b，c的值為()Aa，bcBabcCa0，bcDa，b，c不存在答案A解析令n等于1,2,3，得解得a，bc.8已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：12時(shí)，若已假設(shè)nk(k2且為偶數(shù))時(shí)，等式成立，則還需要用歸納假設(shè)再證()Ank1時(shí)等式成立Bnk2時(shí)等式成立Cn2k2時(shí)等式成立Dn2(k2)時(shí)等式成立答案B解析偶數(shù)k的后繼偶數(shù)為k2，故應(yīng)再證nk2時(shí)等式成立二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)9用數(shù)學(xué)歸納法證明coscos3cos(2n1)(sin0，nN)，在驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)，等式右邊的式子是_答案cos解析當(dāng)n1時(shí)，右邊cos.10仔細(xì)觀察下列不等式：，則第n個(gè)不等式為_(kāi)答案(nN)11觀察下列不等式：1，11,1，12,1，由此猜測(cè)第n個(gè)不等式為_(kāi)答案1(nN)解析1211,3221,7231,15241，31251，歸納第n個(gè)式子為1(nN)12設(shè)nN，f(n)5n23n11，通過(guò)計(jì)算n1,2,3,4時(shí)f(n)的值，可以猜想f(n)能被數(shù)值_整除答案8三、解答題(本大題共6小題，每小題10分，共60分)13用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN時(shí)，.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，所以等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，等式成立，即.則當(dāng)nk1時(shí)，.即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)(2)可知，對(duì)一切nN等式都成立14用數(shù)學(xué)歸納法證明：f(n)352n123n1(nN)能被17整除證明(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)353243911723，故f(1)能被17整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，命題成立即f(k)352k123k1能被17整除，則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)352k323k452352k15223k15223k123k425f(k)1723k1.由歸納假設(shè)可知，f(k)能被17整除，又1723k1顯然可被17整除，故f(k1)能被17整除綜合(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n，f(n)能被17整除15設(shè)an1(nN)，是否存在關(guān)于n的整式q(n)，使得等式a1a2a3an1q(n)(an1)對(duì)于大于1的一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論解假設(shè)q(n)存在，探索q(n)當(dāng)n2時(shí)，由a1q(2)(a21)，即1q(2)，得q(2)2.當(dāng)n3時(shí)，由a1a2q(3)(a31)，即1q(3)，得q(3)3.當(dāng)n4時(shí)，由a1a2a3q(4)(a41)，即1q(4)，得q(4)4.由此猜想q(n)n(n2，nN)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n2且nN時(shí)，等式a1a2a3an1n(an1)成立當(dāng)n2時(shí)，左邊a11，右邊2(a21)21，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時(shí)結(jié)論成立，即a1a2a3ak1k(ak1)，則當(dāng)nk1時(shí)，a1a2a3ak1akk(ak1)ak(k1)akk(k1)ak(k1)1(k1)(k1)(ak11)，所以當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也成立由可知，對(duì)于大于1的一切正整數(shù)n，都存在q(n)n使得等式a1a2a3an1q(n)(an1)成立16如果數(shù)列an滿(mǎn)足條件：a14，an1(n1,2，)，證明：對(duì)任何正整數(shù)n，都有an1an且an0.證明(1)由于a14，a2a1.且a10，因此，當(dāng)n1時(shí)不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，ak1ak且ak0，即ak10，ak2ak10.所以當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立，由(1)(2)知，不等式對(duì)任何正整數(shù)n都成立因此，對(duì)任何正整數(shù)n，都有an1an且an0.17在數(shù)列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)an，bn的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；(2)證明：.(1)解由條件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜測(cè)ann(n1)，bn(n1)2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，由以上知結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，結(jié)論成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立由可知，ann(n1)，bn(n1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立(2)證明2(n1)n.故.故原不等式成立18已知a，bR，nN.求證：n.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，不等式成立，即k.要證nk1時(shí)，不等式成立，即證k1.在k的兩邊同時(shí)乘以，得k1.要證k1，只需證，因?yàn)?(ak1bk1)(ab)(akbk)2(ak1bk1)(ak1abkakbbk1)0ak1abkakbbk10(ab)(akbk)0.又ab與(akbk)同正負(fù)(或同時(shí)為0)，所以不等式(ab)(akbk)0顯然成立所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立綜合(1)(2)可知，對(duì)任何nN，不等式恒成立