2018-2019高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語 1.1.1 四種命題學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx

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1.1.1　四種命題 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解四種命題的概念，會寫出所給命題的逆命題、否命題和逆否命題.2.認(rèn)識四種命題之間的關(guān)系以及真假性之間的聯(lián)系.3.會利用命題的等價性解決問題. 知識點一　命題的概念 思考　給出下列語句： (1)若直線a∥b，則直線a和直線b無公共點； (2)3＋6＝7； (3)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱； (4)5能被4整除. 請你找出上述語句的共同特點. 答案　上述語句能夠判斷真假. 梳理　(1)定義：能夠判斷真假的語句. (2)分類 ①真命題：判斷為真的語句. ②假命題：判斷為假的語句. (3)形式：若p則q. 知識點二　四種命題的概念 思考　給出以下四個命題： (1)當(dāng)x＝2時，x2－3x＋2＝0； (2)若x2－3x＋2＝0，則x＝2； (3)若x≠2，則x2－3x＋2≠0； (4)若x2－3x＋2≠0，則x≠2. 你能說出命題(1)與其他三個命題的條件與結(jié)論有什么關(guān)系嗎？ 答案　命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(2)的結(jié)論和條件.命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(3)條件的否定和結(jié)論的否定.命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(4)結(jié)論的否定和條件的否定. 梳理　一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，原命題：若p則q. (1)互逆命題：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆命題. (2)互否命題：對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這兩個命題稱為互否命題.其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的否命題. (3)互為逆否命題：對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆否命題. 知識點三　四種命題的關(guān)系 思考1　為了書寫方便常把p與q的否定分別記作“非p”和“非q”，如果原命題是“若p，則q”，那么它的逆命題、否命題、逆否命題該如何表示？ 答案　逆命題：若q則p.否命題：若非p則非q.逆否命題：若非q則非p. 思考2　原命題的否命題與原命題的逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的逆命題與原命題的逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的逆命題與原命題的否命題呢？ 答案　互逆、互否、互為逆否. 梳理　(1)四種命題之間的關(guān)系如下所示： (2)四種命題的真假關(guān)系 ①如果兩個命題互為逆否命題，那么它們有相同的真假性； ②如果兩個命題為互逆命題或互否命題，那么它們的真假性沒有關(guān)系. 1.疑問句、祈使句、感嘆句等都不是命題.(　√　) 2.有的命題沒有否命題.(　　) 3.兩個互逆命題的真假性相同.(　　) 4.對于一個命題的四種命題，可以一個真命題也沒有.(　√　) 類型一　命題及其真假的判定 例1　把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假. (1)奇數(shù)不能被2整除； (2)當(dāng)(a－1)2＋(b－1)2＝0時，a＝b＝1； (3)已知x，y為正整數(shù)，當(dāng)y＝x＋1時，y＝3，x＝2. 考點　命題的概念 題點　命題真假性判斷 解　(1)若一個數(shù)是奇數(shù)，則它不能被2整除，是真命題； (2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，則a＝b＝1，是真命題； (3)已知x，y為正整數(shù)，若y＝x＋1，則y＝3且x＝2，是假命題. 反思與感悟　(1)找準(zhǔn)命題的條件和結(jié)論，是解決這類題目的關(guān)鍵，對于個別問題還要注意大前提的寫法. (2)命題形式的改變并不改變命題的真假，只是表述形式發(fā)生了變化. (3)一個命題若是假命題，只需找到一個反例來說明即可. 跟蹤訓(xùn)練1　把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假. (1)實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)； (2)等底等高的兩個三角形是全等三角形； (3)當(dāng)ac>bc時，a>b； (4)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等. 考點　命題的概念 題點　命題真假性判斷 解　(1)若一個數(shù)是實數(shù)，則它的平方是非負(fù)數(shù)，是真命題. (2)若兩個三角形等底等高，則這兩個三角形是全等三角形，是假命題. (3)若ac>bc，則a>b，是假命題. (4)若一個點在角的平分線上，則該點到這個角的兩邊的距離相等，是真命題. 類型二　四種命題及其相互關(guān)系 例2　寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題： (1)若x∈A，則x∈A∪B； (2)若a，b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)； (3)在△ABC中，若a>b，則A>B. 考點　四種命題 題點　四種命題的理解 解　(1)逆命題：若x∈A∪B，則x∈A； 否命題：若x?A，則x?A∪B； 逆否命題：若x?A∪B，則x?A. (2)逆命題：若a＋b是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)； 否命題：若a，b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)； 逆否命題：若a＋b不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù). (3)逆命題：在△ABC中，若A>B，則a>b； 否命題：在△ABC中，若a≤b，則A≤B； 逆否命題：在△ABC中，若A≤B，則a≤b. 反思與感悟　四種命題的轉(zhuǎn)換方法 (1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得命題是原命題的逆命題. (2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題是原命題的否命題. (3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得命題是原命題的逆否命題. 跟蹤訓(xùn)練2　分別寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題： (1)若m>0，則x2＋x－m＝0有實數(shù)根； (2)三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等. 考點　四種命題 題點　四種命題的理解 解　(1)逆命題：若x2＋x－m＝0有實數(shù)根，則m>0. 否命題：若m≤0，則x2＋x－m＝0沒有實數(shù)根. 逆否命題：若x2＋x－m＝0沒有實數(shù)根，則m≤0. (2)逆命題：兩個全等三角形的三邊對應(yīng)相等. 否命題：三邊不對應(yīng)相等的兩個三角形不全等. 逆否命題：兩個不全等三角形的三邊不對應(yīng)相等. 例3　下列命題： ①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題； ②“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題； ③“梯形不是平行四邊形”的逆否命題； ④“若ac2>bc2，則a>b”的逆命題. 其中是真命題的是________.(填序號) 考點　四種命題的真假判斷 題點　利用四種命題的關(guān)系判斷真假 答案?、佗冖? 解析?、佟叭魓y＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題是“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”，是真命題；②“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四邊不都相等的四邊形不是正方形”，是真命題；③“梯形不是平行四邊形”本身是真命題，所以其逆否命題也是真命題；④“若ac2>bc2，則a>b”的逆命題是“若a>b，則ac2>bc2”，是假命題.所以真命題是①②③. 反思與感悟　要判斷四種命題的真假：首先，要熟練四種命題的相互關(guān)系，注意它們之間的相互性；其次，利用其他知識判斷真假時，一定要對有關(guān)知識熟練掌握. 跟蹤訓(xùn)練3　下列命題中為真命題的是________.(填序號) ①“正三角形都相似”的逆命題； ②“若q≤1，則x2＋2x＋q＝0有實根”的逆命題； ③“若x－是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題. 考點　四種命題的真假判斷 題點　利用四種命題的關(guān)系判斷真假 答案?、冖? 解析?、僭}的逆命題為“若兩個三角形相似，則這兩個三角形是正三角形”，故為假命題.②原命題的逆命題是“若x2＋2x＋q＝0有實根，則q≤1”是真命題.③原命題的逆否命題為“若x不是無理數(shù)，則x－不是有理數(shù)”.∵x不是無理數(shù)，∴x是有理數(shù).又是無理數(shù)，∴x－是無理數(shù)，不是有理數(shù)，故為真命題.∴命題中為真命題的是②③. 類型三　等價命題的應(yīng)用 例4　判斷命題“已知a，x為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，則a≥1”的逆否命題的真假. 考點　四種命題的相互關(guān)系 題點　四種命題相互關(guān)系的應(yīng)用 解　方法一　原命題的逆否命題為 已知a，x為實數(shù)，若a＜1， 則關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集. 真假判斷如下： 因為y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的圖象開口向上， 判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7， 若a＜1，則4a－7＜0. 即y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的圖象與x軸無交點. 所以關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集. 故原命題的逆否命題為真. 方法二　先判斷原命題的真假. 因為a，x為實數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集， 所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0， 即4a－7≥0，a≥，所以a≥1成立， 所以原命題為真. 又因為原命題與其逆否命題等價，所以其逆否命題為真. 反思與感悟　(1)當(dāng)原命題的真假不易判斷，而逆否命題的真假容易判斷時，可通過判斷其逆否命題的真假來判斷原命題的真假. (2)在證明某一個命題的真假性有困難時，可以證明它的逆否命題為真(假)命題，來間接地證明原命題為真(假)命題. 跟蹤訓(xùn)練4　證明：若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋1. 考點　四種命題的相互關(guān)系 題點　逆否證法 證明　“若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋1”的逆否命題為“若a＝2b＋1，則a2－4b2－2a＋1＝0”. ∵a＝2b＋1， ∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1 ＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0. ∴命題“若a＝2b＋1，則a2－4b2－2a＋1＝0”為真命題. 由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知，原命題正確. 1.下列語句是命題的是________. ①若a>b，則a2>b2； ②a2>b2； ③方程x2－x－1＝0的近似根； ④方程x2－x－1＝0有根嗎？ 考點　命題的概念及分類 題點　命題概念的理解 答案?、? 解析?、冖蹮o法判斷真假；④是疑問句，不是陳述句，不能判斷真假.故②③④不是命題. 2.命題“若α＝，則tanα＝1”的逆否命題是__________. 考點　四種命題 題點　四種命題概念的理解 答案　若tanα≠1，則α≠ 解析　命題“若α＝，則tanα＝1”的條件是“α＝”，結(jié)論是“tanα＝1”，故其逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”. 3.(2018泰州中學(xué)月考)命題“若a>b，則2a>2b－1”的否命題為____________________. 考點　四種命題 題點　四種命題概念的理解 答案　若a≤b，則2a≤2b－1 解析　否定條件作為條件，同時否定結(jié)論作為結(jié)論，所以命題“若a>b，則2a>2b－1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b－1”. 4.已知命題：“若x≥0，y≥0，則xy≥0”，則原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題的個數(shù)是________. 考點　四種命題的真假判斷 題點　利用四種命題的關(guān)系判斷真假 答案　2 解析　由題意可判斷原命題為真命題，故其逆否命題也為真命題，其逆命題為“若xy≥0，則x≥0，y≥0”，為假命題，所以其否命題也為假命題，故四個命題中，真命題的個數(shù)為2. 5.已知命題“若m－1b，則a＋c>b＋c； ③矩形的對角線互相垂直. 其中真命題共有________個. 考點　命題的概念及分類 題點　命題真假性判斷 答案　1 解析?、儆蓌y＝0，得到x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|＝0不正確，是假命題；②當(dāng)a>b時，有a＋c>b＋c成立，正確，是真命題；③矩形的對角線不一定互相垂直，不正確，是假命題. 4.證明“若x2＋y2＝2，則x＋y≤2”時，可以轉(zhuǎn)化為證明____________________. 考點　四種命題的相互關(guān)系 題點　逆否證法 答案　若x＋y>2，則x2＋y2≠2 解析　由于原命題與其逆否命題的真假性相同，所以可以轉(zhuǎn)化為證明“若x＋y>2，則x2＋y2≠2”. 5.若命題p的逆命題為q，命題q的否命題為r，則命題p是命題r的________命題. 考點　四種命題 題點　四種命題概念的理解 答案　逆否 解析　由四種命題的關(guān)系知，命題p與命題r互為逆否命題. 6.“若x，y全為零，則xy＝0”的否命題為______________. 考點　四種命題 題點　四種命題概念的理解 答案　若x，y不全為零，則xy≠0 解析　由于“全為零”的否定為“不全為零”，所以“若x，y全為零，則xy＝0”的否命題為“若x，y不全為零，則xy≠0”. 7.給出下列命題： ①若直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，則l⊥m； ②若a，b都是正實數(shù)，則a＋b≥2； ③若x2>x，則x>1； ④函數(shù)y＝x3是指數(shù)函數(shù). 其中假命題的個數(shù)為________. 考點　命題的概念 題點　命題真假性判斷 答案　3 解析?、僦?，顯然l∥m或l與m重合，所以①是假命題；由均值不等式，知②是真命題；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命題；④中，函數(shù)y＝x3是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)，④是假命題.所以假命題的個數(shù)為3. 8.已知不等式x＋3≥0的解集是A，則使得a∈A是假命題的a的取值范圍為________. 考點　命題的概念及分類 題點　由命題的真假求參數(shù)的取值范圍 答案　(－∞，－3) 解析　∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}. 又∵a∈A是假命題，即a?A，∴a<－3. 9.下列命題中： ①若一個四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形； ②若一個四邊形的對角互補(bǔ)，則它內(nèi)接于圓； ③正方形的四條邊相等； ④圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)； ⑤對角不互補(bǔ)的四邊形不內(nèi)接于圓； ⑥若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形. 其中互為逆命題的有______________；互為否命題的有____________；互為逆否命題的有____________. 考點　四種命題 題點　四種命題概念的理解 答案?、诤廷?，③和⑥?、俸廷蓿诤廷荨、俸廷?，④和⑤ 解析　命題③可改寫為“若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等”；命題④可改寫為“若一個四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則它的對角互補(bǔ)”；命題⑤可改寫為“若一個四邊形的對角不互補(bǔ)，則它不內(nèi)接于圓”.再依據(jù)四種命題間的關(guān)系，便不難判斷. 10.下列命題： ①命題“若b2－4ac<0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)無實根”的否命題； ②命題“在△ABC中，如果AB＝BC＝CA，那么△ABC為等邊三角形”的逆命題； ③命題“若a>b>0，則>>0”的逆否命題； ④“若m>1，則mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集為R”的逆命題. 其中真命題的序號為________. 考點　四種命題的真假判斷 題點　利用四種命題的關(guān)系判斷真假 答案?、佗冖? 解析?、偃鬮2－4ac≥0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根，是真命題； ②若△ABC為等邊三角形，則AB＝BC＝CA，是真命題； ③因為命題“若a>b>0，則>>0”是真命題，故其逆否命題為真命題； ④若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集為R，則m>1，是假命題. 所以應(yīng)填①②③. 二、解答題 11.寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并分別判斷它們的真假. (1)若a＝b，則a2＝b2； (2)若|2x＋1|≥1，則x2＋x>0. 考點　四種命題的真假判斷 題點　利用四種命題的關(guān)系判斷真假 解　(1)逆命題為：若a2＝b2，則a＝b，該命題是假命題. 否命題為：若a≠b，則a2≠b2，該命題是假命題. 逆否命題為：若a2≠b2，則a≠b，該命題是真命題. (2)逆命題為：若x2＋x>0，則|2x＋1|≥1，這是真命題. 否命題為：若|2x＋1|<1，則x2＋x≤0，這是真命題. 逆否命題為：若x2＋x≤0，則|2x＋1|<1，這是假命題. 12.判斷命題：“若b≤－1，則關(guān)于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實根”的逆否命題的真假. 考點　四種命題的相互關(guān)系 題點　四種命題相互關(guān)系的應(yīng)用 解　方法一　(利用原命題)因為原命題與逆否命題真假性一致，所以只需判斷原命題的真假即可. 方程的判別式為Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b. 因為b≤－1，所以Δ≥4>0， 故此方程有兩個不相等的實根，即原命題為真， 故它的逆否命題也為真. 方法二　(利用逆否命題)原命題的逆否命題為“若關(guān)于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0無實根，則b>－1”. 方程的判別式為Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b. 因為方程無實根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命題的逆否命題為真. 13.給出兩個命題： 命題甲：關(guān)于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集為?；命題乙：函數(shù)y＝(2a2－a)x為增函數(shù). (1)甲、乙至少有一個是真命題； (2)甲、乙有且只有一個是真命題. 分別求出符合(1)(2)的實數(shù)a的取值范圍. 考點　命題的概念及分類 題點　由命題的真假求參數(shù)的取值范圍 解　(1)當(dāng)甲為真時，Δ＝(a－1)2－4a2<0， 解得a>或a<－1， 即A＝； 當(dāng)乙為真時，2a2－a>1，解得a>1或a<－， 即B＝. 當(dāng)甲、乙至少有一個為真命題時， a的取值范圍是. (2)當(dāng)甲、乙有且只有一個真命題時，有兩種情況：當(dāng)甲真乙假時，0或a<－. 由PA＝PB，CA＝CB，得PC⊥l，于是kPC＝－， 利用y0＝2x0，可求出x0＝－. 于是得x0的取值范圍是(－1,0)∪(0,2).