2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計案例 1.1回歸分析的基本思想及其初步應用同步學案 新人教A版選修1 -2.docx

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1.1　回歸分析的基本思想及其初步應用 學習目標　1.了解回歸分析的必要性及其一般步驟.2.了解隨機誤差的概念.3.會作散點圖，并會求線性回歸方程.4.利用殘差分析來判斷線性回歸模型的擬合效果.5.掌握建立回歸模型的基本步驟，并通過實例進一步學習回歸分析的基本思想及其初步應用． 知識點一　回歸分析的相關(guān)概念 思考1　相關(guān)關(guān)系是確定性關(guān)系嗎？函數(shù)關(guān)系呢？ 答案　相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系． 思考2　請問產(chǎn)生隨機誤差的主要原因有哪些？ 答案　(1)所選用的模型不恰當；(2)忽略了某些因素的影響；(3)存在測量誤差． 梳理　(1)回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．若兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則稱相應的回歸分析為線性回歸分析． (2)線性回歸方程為＝x＋，且＝，＝－，其中＝i，＝i，(，)稱為樣本點的中心，回歸直線一定過樣本點的中心． (3)樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y＝bx＋a來描述它們之間的關(guān)系，而是用線性回歸模型y＝bx＋a＋e來表示，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差，自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預報變量． 預報變量y的值由解釋變量x和隨機誤差e共同確定，即解釋變量x只能解釋部分預報變量y的變化． 知識點二　回歸模型的模擬效果 思考　如何評價回歸模型擬合效果的優(yōu)劣？ 答案　計算相關(guān)指數(shù)R2的值，R2越接近于1，效果就越好． 梳理　 殘差 把隨機誤差的估計值i稱為相應于點(xi，yi)的殘差 殘差圖 作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或解釋變量的數(shù)值，這樣作出的圖形稱為殘差圖 殘差 圖法 殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高 殘差平方和 殘差平方和為(yi－i)2，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好 相關(guān)指數(shù)R2 R2＝1－，R2表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，R2越接近于1，表示回歸的效果越好 1．回歸方程＝x＋中的表示當x每增加一個單位時，的變化量．(　√　) 2．R2越大，殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差．(　√　) 3．散點圖是判斷兩個變量是否有相關(guān)關(guān)系的工具之一．(　√　) 4．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為1.(　√　) 5．回歸直線＝x＋不一定過點(，)．(　　) 類型一　線性回歸方程的求解 例1　現(xiàn)有某高新技術(shù)企業(yè)年研發(fā)費用投入x(百萬元)與企業(yè)年利潤y(百萬元)之間具有線性相關(guān)關(guān)系，近5年的年科研費用和年利潤具體數(shù)據(jù)如下表： 年科研費用x(百萬元) 1 2 3 4 5 企業(yè)所獲利潤y(百萬元) 2 3 4 4 7 (1)畫出散點圖； (2)求y對x的線性回歸方程． 考點　回歸分析 題點　建立回歸模型的基本步驟 解　(1)散點圖如下圖所示： (2)由題意可知，＝＝3， ＝＝4， iyi＝12＋23＋34＋44＋57＝71， ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， 根據(jù)公式，可求得＝＝1.1， ＝4－1.13＝0.7， 故所求線性回歸方程為＝1.1x＋0.7. 引申探究　 在例1基礎上，試估計當x＝10時，企業(yè)所獲利潤為多少？ 解　依上例得＝1.1x＋0.7， 將x＝10代入，得＝11.7(百萬元)． 故估計企業(yè)所獲利潤為11.7百萬元． 反思與感悟　(1)求線性回歸方程的基本步驟 ①列出散點圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系． ②計算：，，，iyi. ③代入公式求出＝x＋中參數(shù)，的值． ④寫出線性回歸方程并對實際問題作出估計． (2)需特別注意的是，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸方程才有實際意義，否則求出的回歸方程毫無意義． 跟蹤訓練1　假設關(guān)于某設備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 由此資料可知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系． (1)求線性回歸方程； (2)求使用年限為10年時，該設備的維修費用為多少？ 考點　線性回歸方程 題點　求線性回歸方程 解　(1)由上表中的數(shù)據(jù)可得 ＝4，＝5，＝90，iyi＝112.3， ∴＝＝＝1.23， ∴＝－＝5－1.234＝0.08. ∴線性回歸方程為＝1.23x＋0.08. (2)當x＝10時，＝1.2310＋0.08＝12.38. 即使用年限為10年時，該設備的維修費用為12.38萬元． 類型二　回歸模型的效果 例2　某運動員訓練次數(shù)與運動員成績之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下： 編號 1 2 3 4 5 6 7 8 次數(shù)(x) 30 33 35 37 39 44 46 50 成績(y) 30 34 37 39 42 46 48 51 (1)作出散點圖； (2)求出線性回歸方程； (3)作出殘差圖，并說明模型的擬合效果； (4)計算R2，并說明其含義． 考點　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點　殘差及相關(guān)指數(shù)的應用 解　(1)該運動員訓練次數(shù)(x)與成績(y)之間的散點圖如圖所示． (2)可求得＝39.25，＝40.875，＝12656，iyi＝13180， ∴＝＝≈1.0415， ＝－＝－0.003875， ∴線性回歸方程為＝1.0415x－0.003875. (3)作殘差圖如圖所示， 由圖可知，殘差點比較均勻地分布在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適． (4)R2＝1－＝0.9855，說明了該運動員成績差異有98.55%是由訓練次數(shù)引起的． 反思與感悟　(1)該類題屬于線性回歸問題，解答本題應先通過散點圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)R2來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎上，借助回歸方程對實際問題進行分析． (2)刻畫回歸效果的三種方法 ①殘差圖法，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適． ②殘差平方和法：殘差平方和(yi－i)2越小，模型的擬合效果越好． ③相關(guān)指數(shù)法：R2＝1－越接近1，表明回歸的效果越好． 跟蹤訓練2　(1)甲、乙、丙、丁4位同學各自對A，B兩變量進行回歸分析，分別得到散點圖與殘差平方和(yi－i)2如下表： 甲 乙 丙 丁 散點圖 殘差平方和 115 106 124 103 則________同學的試驗結(jié)果體現(xiàn)擬合A，B兩變量間關(guān)系的模型的擬合效果最好． 考點　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點　殘差及相關(guān)指數(shù)的應用 答案　丁 解析　殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，因丁對應的殘差平方和最小，故丁所對應的模型擬合效果最好． (2)關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 現(xiàn)有兩個線性模型：(1)＝6.5x＋17.5；(2)＝7x＋17.試比較哪一個擬合效果更好． 考點　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點　殘差及相關(guān)指數(shù)的應用 解　由(1)可得yi－i與yi－的關(guān)系如下表： yi－i －0.5 －3.5 10 －6.5 0.5 yi－ －20 －10 10 0 20 ∴(yi－i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155， (yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1000. ∴R＝1－＝1－＝0.845. 由(2)可得yi－i與yi－的關(guān)系如下表： yi－i －1 －5 8 －9 －3 yi－ －20 －10 10 0 20 ∴(yi－i)2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180， (yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1000. ∴R＝1－＝1－＝0.82. 由于R＝0.845，R＝0.82,0.845>0.82， ∴R>R. ∴(1)的擬合效果好于(2)的擬合效果. 1．設回歸方程為＝7－3x，當變量x增加兩個單位時(　　) A．y平均增加3個單位 B．y平均減少3個單位 C．y平均增加6個單位 D．y平均減少6個單位 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線的概念 答案　D 解析　因為兩個相關(guān)變量為負相關(guān)關(guān)系． 2．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 則y與x的線性回歸方程＝x＋必過點(　　) A．(2,2) B．(1,2) C．(1.5,0) D．(1.5,4) 考點　線性回歸方程 題點　樣本點中心的性質(zhì) 答案　D 解析　過樣本點中心． 3．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說明殘差平方和(　　) A．越大 B．越小 C．可能大也可能小 D．以上均不正確 考點　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點　殘差及相關(guān)指數(shù)的概念 答案　B 解析　因為R2＝1－， 所以當R2越大時，(yi－i)2越小， 即殘差平方和越小，故選B. 4．某學生課外活動興趣小組對兩個相關(guān)變量收集到5組數(shù)據(jù)如表： x 10 20 30 40 50 y 62 ■ 75 81 89 由最小二乘法求得回歸方程為＝0.67x＋54.9，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)模糊不清，請推斷該點數(shù)據(jù)的值為________． 考點　線性回歸方程 題點　樣本點中心的性質(zhì) 答案　68 解析　由題意可得＝(10＋20＋30＋40＋50)＝30， 設要求的數(shù)據(jù)為t， 則有＝(62＋t＋75＋81＋89)＝， 因為回歸直線＝0.67x＋54.9過樣本點的中心(，)， 所以＝0.6730＋54.9，解得t＝68. 5．已知方程＝0.85x－82.71是根據(jù)女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，其中x的單位是cm，的單位是kg，那么針對某個體(160,53)的殘差是________． 考點　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點　殘差及相關(guān)指數(shù)的運算 答案?。?.29 解析　把x＝160代入＝0.85x－82.71， 可得＝0.85160－82.71＝53.29， 所以殘差＝y(tǒng)－＝53－53.29＝－0.29. 回歸分析的步驟 (1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量； (2)畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)； (3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如果呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程＝x＋)； (4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)； (5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(個別數(shù)據(jù)對應的殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等)，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤或模型是否合適等. 一、選擇題 1．某同學在研究性學習中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量(單位：萬盒)的數(shù)據(jù)如下表所示： x(月份) 1 2 3 4 5 y(萬盒) 5 5 6 6 8 若x，y線性相關(guān)，線性回歸方程為＝0.7x＋，估計該制藥廠6月份生產(chǎn)甲膠囊產(chǎn)量為(　　) A．8.0萬盒 B．8.1萬盒 C．8.9萬盒 D．8.6萬盒 考點　線性回歸方程 題點　樣本點中心的性質(zhì) 答案　B 解析　回歸直線一定過樣本點的中心．由已知數(shù)據(jù)可得＝3，＝6，代入線性回歸方程，可得＝－0.7＝3.9，即線性回歸方程為＝0.7x＋3.9.把x＝6代入，可近似得＝8.1，故選B. 2．如圖所示，由這兩個散點圖可以判斷(　　) A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B．變量x與y正相關(guān)，u與v負相關(guān) C．變量x與y負相關(guān)，u與v正相關(guān) D．變量x與y負相關(guān)，u與v負相關(guān) 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線的概念 答案　C 解析　圖(1)中的數(shù)據(jù)隨著x的增大y減小，因此變量x與變量y負相關(guān)； 圖(2)中的數(shù)據(jù)隨著u的增大v增大，因此u與v正相關(guān)． 3．已知變量x與y負相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)求得樣本平均數(shù)＝3，＝3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程可能是(　　) A.＝－2x＋9.5 B.＝2x－2.4 C.＝－0.3x－4.4 D.＝0.4x＋2.3 考點　線性回歸方程 題點　求線性回歸方程 答案　A 解析　因為變量x與y負相關(guān)，所以排除B，D，將樣本平均數(shù)＝3，＝3.5代入選項驗證可知，選項A符合題意． 4．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，有一組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其線性回歸方程是＝x＋，若x1＋x2＋x3＋…＋x8＝3，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝6，則實數(shù)的值是(　　) A. B. C. D. 考點　線性回歸方程 題點　樣本點中心的性質(zhì) 答案　D 解析　由x1＋x2＋x3＋…＋x8＝3，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝6可知樣本點的中心為，將該點坐標代入回歸方程＝x＋，得＝. 5．若對某地區(qū)人均工資x(萬元)與該地區(qū)人均消費y(萬元)進行調(diào)查統(tǒng)計得y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為＝0.7x＋2.1，若該地區(qū)人均消費水平為10.5，則估計該地區(qū)人均消費額占人均工資收入的百分比約為(　　) A．75% B．87.5% C．70% D．10.5% 考點　線性回歸方程 題點　線性回歸方程的應用 答案　B 解析　y＝10.5時，由＝0.7x＋2.1得x＝＝12， 故得100%＝87.5%. 6．甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量的線性相關(guān)試驗用回歸分析的方法分別求得相關(guān)系數(shù)r如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 則這四位同學的試驗結(jié)果能體現(xiàn)出A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 考點　線性相關(guān)系數(shù) 題點　線性相關(guān)系數(shù)的概念及計算 答案　D 解析　由相關(guān)系數(shù)的意義可知，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，相關(guān)性越強，結(jié)合題意可知丁的線性相關(guān)性更強，故選D. 7．某化工廠為預測某產(chǎn)品的回收率y，而要研究它和原料有效成分含量之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對觀測值，計算得i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1849，則y與x的線性回歸方程是(　　) A.＝11.47＋2.62x B.＝－11.47＋2.62x C.＝2.62＋11.47x D.＝11.47－2.62x 考點　線性回歸方程 題點　求線性回歸方程 答案　A 解析　由題中數(shù)據(jù)得＝6.5，＝28.5， ∴＝＝＝≈2.62， ＝－≈28.5－2.626.5＝11.47， ∴y與x的線性回歸方程是＝2.62x＋11.47，故選A. 二、填空題 8．若一個樣本的總偏差平方和為80，殘差平方和為60，則相關(guān)指數(shù)R2為________． 考點　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點　殘差及相關(guān)指數(shù)的運算 答案　0.25 解析　R2＝1－＝0.25. 9．已知樣本數(shù)據(jù)點(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)在某一條直線上，則相關(guān)系數(shù)r的值為________． 考點　線性相關(guān)系數(shù) 題點　線性相關(guān)系數(shù)的概念及計算 答案　1 解析　由題意知r＝1. 10．關(guān)于隨機誤差產(chǎn)生的原因分析正確的有________．(填序號) ①用線性回歸模型來近似真實模型所引起的誤差； ②忽略某些因素的影響所產(chǎn)生的誤差； ③對樣本數(shù)據(jù)觀測時產(chǎn)生的誤差； ④計算錯誤所產(chǎn)生的誤差． 考點　回歸分析 題點　回歸分析的概念和意義 答案?、佗冖? 解析　理解線性回歸模型y＝bx＋a＋e中隨機誤差e的含義是解決此問題的關(guān)鍵，隨機誤差可能由于觀測工具及技術(shù)產(chǎn)生，也可能因忽略某些因素而產(chǎn)生，也可以是回歸模型產(chǎn)生，但不是計算錯誤．故隨機誤差產(chǎn)生的原因分析正確的是①②③. 三、解答題 11．已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 (1)分別計算：，，x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4，x＋x＋x＋x； (2)已知變量x與y線性相關(guān)，求出回歸方程． 考點　線性回歸方程 題點　求線性回歸方程 解　(1)＝＝1.5，＝＝4， x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝01＋13＋25＋37＝34， x＋x＋x＋x＝02＋12＋22＋32＝14. (2)＝＝2， ＝－＝4－21.5＝1， 故＝2x＋1. 12．某服裝批發(fā)市場1－5月份的服裝銷售量x與利潤y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 月份 1 2 3 4 5 銷售量x(萬件) 3 6 4 7 8 利潤y(萬元) 19 34 26 41 46 (1)從這五個月的利潤中任選2個，分別記為m，n，求事件“m，n均不小于30”的概率； (2)已知銷售量x與利潤y大致滿足線性相關(guān)關(guān)系，請根據(jù)前4個月的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋； (3)若由線性回歸方程得到的利潤的估計數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)的誤差不超過2萬元，則認為得到的利潤的估計數(shù)據(jù)是理想的．請用表格中第5個月的數(shù)據(jù)檢驗由(2)中回歸方程所得的第5個月的利潤的估計數(shù)據(jù)是否理想？ 參考公式：＝，＝－. 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線的應用 解　(1)所有的基本事件為(19,34)，(19,26)，(19,41)，(19,46)，(34,26)，(34,41)，(34,46)，(26,41)，(26,46)，(41,46)，共10個． 記“m，n均不小于30”為事件A，則事件A包含的基本事件為(34,41)，(34,46)，(41,46)，共3個． 所以P(A)＝. (2)由前4個月的數(shù)據(jù)可得， ＝5，＝30，iyi＝652，＝110. 所以＝＝＝5.2， ＝30－5.25＝4， 所以線性回歸方程為＝5.2x＋4， (3)由題意得，當x＝8時， ＝45.6，|45.6－46|＝0.4<2； 所以利用(2)中的回歸方程所得的第5個月的利潤估計數(shù)據(jù)是理想的． 13．在一段時間內(nèi)，某種商品的價格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 求出y對x的線性回歸方程，并說明擬合效果的程度． 考點　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點　殘差及相關(guān)指數(shù)的應用 解　＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18， ＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4. ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， iyi＝1412＋1610＋187＋205＋223＝620， 可得回歸系數(shù)＝＝＝－1.15， 所以＝7.4＋1.1518＝28.1， 所以線性回歸方程為＝－1.15x＋28.1. 列出殘差表： yi－i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 則(yi－i)2＝0.3，(yi－)2＝53.2. R2＝1－≈0.994. 所以回歸模型的擬合效果很好． 四、探究與拓展 14．某公司的廣告費支出x(萬元)與銷售額y(萬元)之間有下表所示的對應數(shù)據(jù)，由資料顯示y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)下表提供的數(shù)據(jù)得到回歸方程＝x＋中的＝6.5， x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 預測銷售額為115萬元時，約需________萬元廣告費． 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線的應用 答案　15 解析　因為＝(2＋4＋5＋6＋8)＝5， ＝(30＋40＋60＋50＋70)＝50， 所以50＝6.55＋，則＝17.5， 所以當y＝115時，6.5x＝115－17.5，得x＝15， 即約需廣告費為15萬元． 15．某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如下： 零件的個數(shù)x(個) 2 3 4 5 加工的時間y(小時) 2.5 3 4 4.5 (1)在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖； (2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋，并在坐標系中畫出回歸直線； (3)試預測加工10個零件需要多少時間？ 考點　線性回歸方程 題點　求線性回歸方程 解　(1)散點圖如圖． (2)由表中數(shù)據(jù)得iyi＝52.5， ＝3.5，＝3.5，＝54， 所以＝＝＝0.7， 所以＝－＝3.5－0.73.5＝1.05. 所以＝0.7x＋1.05. 回歸直線如圖中所示． (3)將x＝10代入線性回歸方程，得＝0.710＋1.05＝8.05， 所以預測加工10個零件需要8.05小時．