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第10課時 正態(tài)分布
1．下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是(μ、σ(σ＞0)都是實數(shù))( )
A．f(x)＝e B．f(x)＝e－
C．f(x)＝e－ D．f(x)＝－e
答案 B
解析 A中的函數(shù)值不是隨著|x|的增大而無限接近于零．而C中的函數(shù)無對稱軸，D中的函數(shù)圖像在x軸下方，所以選B.
2．(2018甘肅河西五市聯(lián)考)設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0，1)，若P(ξ>2)＝p，即P(－2<ξ<0)＝( )
A.＋p B．1－p
C.－p D．1－2p
答案 C
解析 由對稱性知P(ξ≤－2)＝p，所以P(－2<ξ<0)＝＝－p.
3．(2017廣東佛山一模)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(2≤ξ≤4)＝0.682 6，則P(ξ>4)＝( )
A．0.158 8 B．0.158 7
C．0.158 6 D．0.158 5
答案 B
解析 由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖像關(guān)于直線x＝3對稱，
∴P(ξ>4)＝＝0.5－0.682 6＝0.158 7，故選B.
4．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.954 B．0.977
C．0.488 D．0.477
答案 A
解析 P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝0.954.
5．(2017南昌調(diào)研)某單位1 000名青年職員的體重x(單位：kg)服從正態(tài)分布N(μ，22)，且正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，若體重在58.5～62.5 kg屬于正常，則這1 000名青年職員中體重屬于正常的人數(shù)約是( )
A．683 B．841
C．341 D．667
答案 A
解析 ∵P(58.5
0)，若ξ在(80，120)內(nèi)的概率為0.8，則落在(0，80)內(nèi)的概率為( )
A．0.05 B．0.1
C．0.15 D．0.2
答案 B
解析 ∵ξ服從正態(tài)分布N(100，σ2)，∴曲線的對稱軸是直線μ＝100，∵ξ在(80，120)內(nèi)取值的概率為0.8，ξ在(0，100)內(nèi)取值的概率為0.5，
∴ξ在(0，80)內(nèi)取值的概率為0.5－0.4＝0.1.故選B.
7．(2017河南安陽專項訓練)已知某次數(shù)學考試的成績服從正態(tài)分布N(116，64)，則成績在140分以上的考生所占的百分比為( )
A．0.3% B．0.23%
C．1.5% D．0.15%
答案 D
解析 依題意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服從正態(tài)分布的隨機變量在(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)取值的概率約為0.997，所以成績在區(qū)間(92，140)內(nèi)的考生所占的百分比約為99.7%.從而成績在140分以上的考生所占的百分比為＝0.15%.故選D.
8．(2018云南大理統(tǒng)測)2016年1月某高三年級1 600名學生參加了教育局組織的期末統(tǒng)考，已知數(shù)學考試成績X～N(100，σ2)(試卷滿分150分)．統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次統(tǒng)考中成績不低于120分的學生人數(shù)約為( )
A．80 B．100
C．120 D．200
答案 D
解析 正態(tài)曲線的對稱軸為X＝100，根據(jù)其對稱性可知，成績不低于120分的學生人數(shù)約為1 600(1－)＝200.
9．如果隨機變量X～N(μ，σ2)，且E(X)＝3，D(X)＝1，則P(04)＝( )
A．0.4 B．0.2
C．0.1 D．0.05
答案 C
解析 由于直線x＝2是正態(tài)分布密度曲線的對稱軸，因此P(X<0)＝P(X>4)＝(1－0.8)＝0.1，故選C.
3．某中學組織了“自主招生數(shù)學選拔賽”，已知此次選拔賽的數(shù)學成績X服從正態(tài)分布N(75，121)(單位：分)，考生共有1 000人，估計數(shù)學成績在75分到86分之間的人數(shù)約為(參考數(shù)據(jù)P(μ－σ4)＝0.3.
方法一：所以P(3<ξ<4)＝P(2<ξ<4)＝(1－20.3)＝0.2.故選A.
方法二：所以P(3<ξ<4)＝P(ξ>3)－P(ξ>4)＝0.5－0.3＝0.2.故選A.
8．(2018云南高三統(tǒng)考)某校1 000名高三學生參加了一次數(shù)學考試，這次考試考生的分數(shù)服從正態(tài)分布N(90，σ2)．若分數(shù)在(70，110]內(nèi)的概率為0.7，估計這次考試分數(shù)不超過70的人數(shù)為________．
答案 150
解析 記考試成績?yōu)棣危瑒t考試成績的正態(tài)曲線關(guān)于直線ξ＝90對稱．因為P(70<ξ≤110)＝0.7，所以P(ξ≤70)＝P(ξ>110)＝(1－0.7)＝0.15，所以這次考試分數(shù)不超過70的人數(shù)為1 0000.15＝150.
9．(2017滄州七校聯(lián)考)2015年中國汽車銷售量達到1 700萬輛，汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1 200名車主，據(jù)統(tǒng)計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7，9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有________輛．
答案 180
思路 首先根據(jù)題意確定正態(tài)分布的對稱軸，利用正態(tài)曲線的對稱性即可求得ξ>9的概率，利用概率來估計樣本中滿足條件的汽車數(shù)量．
解析 由題意可知ξ～N(8，σ2)，故正態(tài)分布曲線以μ＝8為對稱軸．又因為P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35.而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ>9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽車大約有1 2000.15＝180輛．
10．若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為.
(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；
(2)求正態(tài)總體在(－4，4]內(nèi)的概率．
答案 (1)φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)
(2)0.682 6
解析 (1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖像關(guān)于y軸對稱，即μ＝0.由＝，得σ＝4.故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－4＜ξ≤4)＝P(0－4＜ξ≤0＋4)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6.
11．已知某種零件的尺寸ξ(單位：mm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在(0，80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)，且f(80)＝.
(1)求概率密度函數(shù)；
(2)估計尺寸在72 mm～88 mm間的零件大約占總數(shù)的百分之幾？
答案 (1)φμ，σ(x)＝e－
(2)68.26%
解析 (1)由于正態(tài)曲線在(0，80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝80對稱，且在x＝80處取得最大值．
因此得μ＝80，＝，所以σ＝8.
故密度函數(shù)解析式是φμ，σ(x)＝e－.
(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.
所以零件尺寸ξ位于區(qū)間(72，88)內(nèi)的概率是0.682 6.
因此尺寸在72 mm～88 mm間的零件大約占總數(shù)的68.26%.
12．某商場舉行促銷活動，有兩個摸獎箱，A箱內(nèi)有一個“1”號球、兩個“2”號球、三個“3”號球、四個無號球，B箱內(nèi)有五個“1”號球、五個“2”號球，每次摸獎后放回．消費額滿100元有一次A箱內(nèi)摸獎機會，消費額滿300元有一次B箱內(nèi)摸獎機會，摸得有數(shù)字的球則中獎，“1”號球獎50元、“2”號球獎20元、“3”號球獎5元，摸得無號球則沒有獎金．
(1)經(jīng)統(tǒng)計，消費額X服從正態(tài)分布N(150，625)，某天有1 000位顧客，請估計消費額X(單位：元)在區(qū)間(100，150]內(nèi)并中獎的人數(shù)；
(2)某三位顧客各有一次A箱內(nèi)摸獎機會，求其中中獎人數(shù)ξ的分布列；
(3)某顧客消費額為308元，有兩種摸獎方法，方法一：三次A箱內(nèi)摸獎機會；方法二：一次B箱內(nèi)摸獎機會．請問：這位顧客選哪一種方法所得獎金的期望值較大．
附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ
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