2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 專(zhuān)題研究1 遞推數(shù)列的通項(xiàng)的求法練習(xí) 理.doc

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專(zhuān)題研究1 遞推數(shù)列的通項(xiàng)的求法 1．(2018海南三亞一模)在數(shù)列1，2，，，，…中，2是這個(gè)數(shù)列的第(　　)項(xiàng)．(　　) A．16　　　　　　　　　　 B．24 C．26 D．28 答案　C 解析　設(shè)題中數(shù)列{an}，則a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令＝2＝，解得n＝26.故選C. 2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為(　　) A．15 B．16 C．49 D．64 答案　A 解析　a1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)．a(chǎn)8＝28－1＝15.故選A. 3．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝0，an＋1＝an＋2n，則a2 017等于(　　) A．2 0172 018 B．2 0162 017 C．2 0152 016 D．2 0172 017 答案　B 解析　累加法易知選B. 4．已知數(shù)列{xn}滿(mǎn)足x1＝1，x2＝，且＋＝(n≥2)，則xn等于(　　) A．()n－1 B．()n C. D. 答案　D 解析　由關(guān)系式易知為首項(xiàng)為＝1，d＝的等差數(shù)列，＝，所以xn＝. 5．已知數(shù)列{an}中a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，則an＝(　　) A．2－()n－1 B．()n－1－2 C．2－2n－1 D．2n－1 答案　A 解析　設(shè)an＋c＝(an－1＋c)，易得c＝－2，所以an－2＝(a1－2)()n－1＝－()n－1，所以選A. 6．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝an－3，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝(　　) A．2(n2＋n＋1) B．23n C．32n D．3n＋1 答案　B 解析　an＝Sn－Sn－1，可知選B. 7．(2018云南玉溪一中月考)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an2＝an＋12＋an－12(n≥2)，則a6的值為(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案　B 解析　因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an2＝an＋12＋an－12(n≥2)，所以an2－an－12＝an＋12－an2(n≥2)，所以數(shù)列{an2}是以1為首項(xiàng)，a22－a12＝3為公差的等差數(shù)列，所以an2＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以a62＝16.又因?yàn)閍n>0，所以a6＝4，故選B. 8．(2018華東師大等四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝，對(duì)于任意的n∈N*，an＋1＝an(1－an)，則a1 413－a1 314＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　根據(jù)遞推公式計(jì)算得a1＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，…，可以歸納通項(xiàng)公式為：當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，an＝；當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，an＝.故a1 413－a1 314＝.故選D. 9．(2018湖南衡南一中段考)已知數(shù)列{an}，若a1＝2，an＋1＋an＝2n－1，則a2 016＝(　　) A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014 答案　C 解析　因?yàn)閍1＝2，故a2＋a1＝1，即a2＝－1.又因?yàn)閍n＋1＋an＝2n－1，an＋an－1＝2n－3，故an＋1－an－1＝2，所以a4－a2＝2，a6－a4＝2，a8－a6＝2，…，a2 016－a2 014＝2，將以上1 007個(gè)等式兩邊相加可得a2 016－a2＝21 007＝2 014，所以a2 006＝2 014－1＝2 013，故選C. 10．在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，則通項(xiàng)公式an＝________． 答案　4－ 解析　原遞推式可化為an＋1＝an＋－， 則a2＝a1＋－，a3＝a2＋－， a4＝a3＋－，…，an＝an－1＋－. 逐項(xiàng)相加，得an＝a1＋1－.又a1＝3，故an＝4－. 11．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，且an＋1＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______． 答案　an＝ 解析　由已知，可得當(dāng)n≥1時(shí)，an＋1＝. 兩邊取倒數(shù)，得＝＝＋3. 即－＝3，所以{}是一個(gè)首項(xiàng)為＝1，公差為3的等差數(shù)列． 則其通項(xiàng)公式為＝＋(n－1)d＝1＋(n－1)3＝3n－2. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝. 12．在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝3an－1＋2，則an＝________． 答案　23n－1－1 解析　設(shè)an＋t＝3(an－1＋t)，則an＝3an－1＋2t. ∴t＝1，于是an＋1＝3(an－1＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列． ∴an＝23n－1－1. 13．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2)，則an＝________． 答案　(2n－1)2n 解析　∵a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2)， ∴＝＋2.令bn＝，則bn－bn－1＝2(n≥2)，b1＝1. ∴bn＝1＋(n－1)2＝2n－1，則an＝(2n－1)2n. 14．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝，其前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥1)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______． 答案　an＝ 解析　由a1＝，Sn＝n2an，① ∴Sn－1＝(n－1)2an－1.② ①－②，得an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1， 即an＝n2an－(n－1)2an－1，亦即＝(n≥2)． ∴＝…＝…＝. ∴an＝. 15．(2017太原二模)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an－an＋1＝(n∈N*)，則an＝________． 答案　 解析　由an－an＋1＝得－＝＝2(－)，則由累加法得－＝2(1－)，又因?yàn)閍1＝1，所以＝2(1－)＋1＝，所以an＝. 16．(2018河北唐山一中模擬)已知首項(xiàng)為7的數(shù)列{an}滿(mǎn)足 ＝3n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______． 答案　an＝ 解析　當(dāng)n≥2時(shí)，＝3n，又＝3n＋1，兩式相減，得＝23n，所以an＝6n.由于a1＝7不符合an＝6n，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝ 17．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：an＝＋＋＋…＋，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式． 答案　(1)an＝2n　(2)bn＝2(3n＋1) 解析　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2滿(mǎn)足該式， ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n. (2)∵an＝＋＋＋…＋(n≥1)，① ∴an＋1＝＋＋＋…＋＋.② ②－①，得＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)． 故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)． 1．(2017衡水調(diào)研)運(yùn)行如圖的程序框圖，則輸出的結(jié)果是(　　) A．2 016 B．2 015 C. D. 答案　D 解析　如果把第n個(gè)a值記作an，第1次運(yùn)行后得到a2＝，第2次運(yùn)行后得到a3＝，…，第n次運(yùn)行后得到an＋1＝，則這個(gè)程序框圖的功能是計(jì)算數(shù)列{an}的第2 015項(xiàng)．將an＋1＝變形為＝＋1，故數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故＝n，即an＝，所以輸出結(jié)果是.故選D. 2．若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝2nan，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________． 答案　2 解析　由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，將這n－1個(gè)等式疊乘，得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2. 3．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)，＋＋＋…＋＝an－2(n≥2)，且a1＝2，則{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______． 答案　an＝n＋1 解析　∵＋＋＋…＋＝an－2(n≥2)，∴當(dāng)n＝2時(shí)，＝a2－2，解得a2＝3.＋＋＋…＋＋＝an＋1－2，＝an＋1－2－(an－2)(n≥2)，得＝(n≥2)，∴＝＝…＝＝1，∴an＝n＋1(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)也滿(mǎn)足，故an＝n＋1.