2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計數(shù)原理和概率 第9課時 隨機變量的期望與方差練習(xí) 理.doc

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第9課時 隨機變量的期望與方差 第一次作業(yè) 1．隨機變量X的分布列為 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 則E(5X＋4)等于(　　) A．15　　　　　　　　　　 B．11 C．2.2 D．2.3 答案　A 解析　∵E(X)＝10.4＋20.3＋40.3＝2.2， ∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15. 2．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取2件，若X表示取到次品的個數(shù)，則E(X)等于(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　離散型隨機變量X服從N＝10，M＝3，n＝2的超幾何分布， ∴E(X)＝＝＝. 3．設(shè)投擲1顆骰子的點數(shù)為X，則(　　) A．E(X)＝3.5，D(X)＝3.52 B．E(X)＝3.5，D(X)＝ C．E(X)＝3.5，D(X)＝3.5 D．E(X)＝3.5，D(X)＝ 答案　B 4．某運動員投籃命中率為0.6，他重復(fù)投籃5次，若他命中一次得10分，沒命中不得分；命中次數(shù)為X，得分為Y，則E(X)，D(Y)分別為(　　) A．0.6，60 B．3，12 C．3，120 D．3，1.2 答案　C 解析　X～B(5，0.6)，Y＝10X，∴E(X)＝50.6＝3，D(X)＝50.60.4＝1.2.D(Y)＝100D(X)＝120. 5．(2018合肥一模)已知袋中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從中隨機取出3個球，其中每個白球計1分，每個紅球計2分，記X為取出3個球的總分值，則E(X)＝(　　) A. B. C．4 D. 答案　B 解析　由題意知，X的所有可能取值為3，4，5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3＋4＋5＝. 6．(2017人大附中月考)某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學(xué)，這個同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué)．若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對成語的概率是0.4，同學(xué)乙猜對成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對得1分，猜不對得0分，這兩個同學(xué)各猜1次，則他們的得分之和X的數(shù)學(xué)期望為(　　) A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1 答案　A 解析　由題意，X＝0，1，2，則P(X＝0)＝0.60.5＝0.3，P(X＝1)＝0.40.5＋0.60.5＝0.5，P(X＝2)＝0.40.5＝0.2，∴E(X)＝00.3＋10.5＋20.2＝0.9，故選A. 7．(2018山東濰坊模擬)已知甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標準件，X表示甲車床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙車床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)考察一段時間，X，Y的分布列分別是： X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 P 0.5 0.3 0.2 據(jù)此判定(　　) A．甲比乙質(zhì)量好 B．乙比甲質(zhì)量好 C．甲與乙質(zhì)量相同 D．無法判定 答案　A 解析　E(X)＝00.7＋10.1＋20.1＋30.1＝0.6，E(Y)＝00.5＋10.3＋20.2＝0.7.由于E(Y)>E(X)，故甲比乙質(zhì)量好． 8．(2018杭州模擬)體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)某學(xué)生每次發(fā)球成功的概率為p(01.75，則p的取值范圍是(　　) A．(0，) B．(，1) C．(0，) D．(，1) 答案　C 解析　由已知條件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，則E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0，1)，可得p∈(0，)． 9．(2018衡水中學(xué)調(diào)研卷)已知一次試驗成功的概率為p，進行100次獨立重復(fù)試驗，當成功次數(shù)的標準差的值最大時，p及標準差的最大值分別為(　　) A.，5 B.，25 C.，5 D.，25 答案　A 解析　記ξ為成功次數(shù)，由獨立重復(fù)試驗的方差公式可以得到D(ξ)＝np(1－p)≤n()2＝，當且僅當p＝1－p＝時等號成立，所以D(ξ)max＝100＝25，＝＝5. 10. (2017浙江)已知隨機變量ξi滿足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0D(ξ2) C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) 答案　A 解析　本題考查離散型隨機變量的期望和方差．由題意得E(ξ1)＝1p1＋0(1－p1)＝p1，E(ξ2)＝1p2＋0(1－p2)＝p2，則D(ξ1)＝(1－p1)2p1＋(0－p1)2(1－p1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝(1－p2)2p2＋(0－p2)2(1－p2)＝p2(1－p2)，又因為0，∴根據(jù)表中數(shù)據(jù)易知第8周的命中頻率最高． (2)由題意可知X～B(3，0.6)，則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝30.6＝1.8. (3)由1－(1－P0)n>0.99，即1－0.4n>0.99，得0.4n<0.01， ∴n>log0.40.01＝＝＝≈5.025， 故至少要用6枚這樣的炮彈同時對該目標發(fā)射一次，才能使目標被擊中的概率超過0.99. 4．(2018湖北潛江二模)現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表： 投資股市： 投資結(jié)果 獲利40% 不賠不賺 虧損20% 概率 購買基金： 投資結(jié)果 獲利20% 不賠不賺 虧損10% 概率 p q (1)當p＝時，求q的值； (2)已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求p的取值范圍； (3)丙要將家中閑置的10萬元錢進行投資，決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案中選擇一種，已知p＝，q＝，那么丙選擇哪種投資方案，才能使得一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大？結(jié)合結(jié)果并說明理由． 答案　(1)　(2)，所以p>. 又因為p＋＋q＝1，q≥0， 所以p≤，所以E(Y)，所以丙選擇“投資股市”，才能使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大． 5．(2017石家莊質(zhì)檢一)為了調(diào)查某地區(qū)成年人血液的一項指標，現(xiàn)隨機抽取了成年男性、女性各20人組成一個樣本，對他們的這項血液指標進行了檢測，得到了如下莖葉圖．根據(jù)醫(yī)學(xué)知識，我們認為此項指標大于40為偏高，反之即為正常． (1)依據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)研究此項血液指標與性別的關(guān)系，列出22列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為此項血液指標與性別有關(guān)系？ (2)以樣本估計總體，視樣本頻率為概率，現(xiàn)從本地區(qū)隨機抽取成年男性、女性各2人，求此項血液指標為正常的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 附：K2＝ 其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005 k0 5.024 6.635 7.879 答案　(1)不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為此項血液指標與性別有關(guān)系． (2)2.8 審題　本題主要考查莖葉圖、獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，以隨機抽樣為載體，通過樣本估計總體，考查識圖能力、數(shù)據(jù)獲取與處理能力、分析能力與運算能力． 解析　(1)由莖葉圖可得22列聯(lián)表： 正常 偏高 合計 男性 16 4 20 女性 12 8 20 合計 28 12 40 K2＝＝≈1.905<6.635， 所以不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為此項血液指標與性別有關(guān)系． (2)由樣本數(shù)據(jù)可知，男性正常的概率為，女性正常的概率為. 此項血液指標為正常的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，4， P(X＝0)＝(1－)2(1－)2＝， P(X＝1)＝C21(1－)(1－)2＋(1－)2C21(1－)＝， P(X＝2)＝()2(1－)2＋C21(1－)C21(1－)＋(1－)2()2＝， P(X＝3)＝C21(1－)()2＋()2C21(1－)＝， P(X＝4)＝()2()2＝， 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＝2.8，即此項血液指標為正常的人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為2.8. 1．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為(　　) A．32－2　　　　　　　　 B．2－4 C．32－10 D．2－8 答案　C 解析　∵E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，則P(X＝1)＝C121()11＝32－10. 2．某街頭小攤，在不下雨的日子一天可賺到100元，在下雨的日子每天要損失10元，若該地區(qū)每年下雨的日子約為130天，則此小攤每天獲利的期望值是(一年按365天計算)(　　) A．60.82元 B．68.02元 C．58.82元 D．60.28元 答案　A 解析　E(X)＝100＋(－10)≈60.82，∴選A. 3．甲、乙兩人獨立地從六門選修課程中任選三門進行學(xué)習(xí)，記兩人所選課程相同的門數(shù)為X，則E(X)為(　　) A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 答案　B 解析　X可取0，1，2，3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故E(X)＝0＋1＋2＋3＝1.5. 4．有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則E(X)＝________． 答案　 解析　次品件數(shù)X的可能取值為0，1，2，3， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0＋1＋2＋3＝＝. 5．某項游戲活動的獎勵分成一、二、三等獎且相應(yīng)獲獎概率是以a1為首項，公比為2的等比數(shù)列，相應(yīng)資金是以700元為首項，公差為－140元的等差數(shù)列，則參與該游戲獲得資金的期望為________元． 答案　500 解析　∵a1＋2a1＋4a1＝1，∴a1＝，E(X)＝700＋560＋420＝500元． 6．馬老師從課本上抄錄的一個隨機變量X的概率分布列如下表： x 1 2 3 P(X＝x) ？ ！ ？ 請小牛同學(xué)計算X的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同，據(jù)此，小牛給出了正確答案E(X)＝________． 答案　2 解析　令“？”為a，“！”為b，則2a＋b＝1. 又E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2. 7．一射擊測試每人射擊三次，每擊中目標一次記10分，沒有擊中記0分．某人每次擊中目標的概率為，則此人得分的數(shù)學(xué)期望與方差分別為________． 答案　20， 解析　記此人三次射擊擊中目標X次，得分為Y分，則X～B(3，)，Y＝10X，∴E(Y)＝10E(X)＝103＝20，D(Y)＝100D(X)＝1003＝. 8．已知書包中有兩本語文資料和一本數(shù)學(xué)資料，除內(nèi)容不同外其他均相同，現(xiàn)在有放回地抽取資料，每次抽取一本，記下科目后放回書包中．連續(xù)抽取三次，Y表示三次中語文資料被抽中的次數(shù)，若每本資料被抽取的概率相同．每次抽取相互獨立，則方差D(X)＝________． 答案　 解析　每次抽取時，取到語文資料的概率為，取到數(shù)學(xué)資料的概率為，所以取出語文資料的次數(shù)X服從二項分布，即X～B(3，)，所以D(X)＝3(1－)＝. 9．一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示． 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立．X表示在未來3天內(nèi)日銷售量不低于100個的天數(shù)，則E(X)＝________，方差D(X)＝________． 答案　1.8　0.72 解析　由題意知，日銷售量不低于100個的頻率為(0.006＋0.004＋0.002)50＝0.6，且X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝30.6＝1.8， 方差D(X)＝30.6(1－0.6)＝0.72. 10．(2018重慶育才中學(xué)入學(xué)考試)現(xiàn)有甲、乙兩個投資項目，對甲項目投資十萬元，據(jù)對市場120份樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計，年利潤分布如下表： 年利潤 1.2萬元 1.0萬元 0.9萬元 頻數(shù) 20 60 40 對乙項目投資十萬元，年利潤與產(chǎn)品質(zhì)量抽查的合格次數(shù)有關(guān)，在每次抽查中，產(chǎn)品合格的概率均為，在一年之內(nèi)要進行2次獨立的抽查，在這2次抽查中產(chǎn)品合格的次數(shù)與對應(yīng)的利潤如下表： 合格次數(shù) 2次 1次 0次 年利潤 1.3萬元 1.1萬元 0.6萬元 記隨機變量X，Y分別表示對甲、乙兩個項目各投資十萬元的利潤． (1)求X>Y的概率； (2)某商人打算對甲或乙項目投資十萬元，判斷哪 個項目更具有投資價值，并說明理由． 答案　(1)　(2)略 解析　(1)P(X＝1.2，Y＝1.1)＝C21＝＝，P(Y＝0.6)＝()2＝， ∴P(X>Y)＝P(X＝1.2，Y＝1.1)＋P(Y＝0.6)＝＋＝. (2)X的分布列為 X 1.2 1.0 0.9 P ∴E(X)＝1萬元． Y的分布列為 Y 1.3 1.1 0.6 P ∴E(Y)＝0.9萬元． ∵E(X)>E(Y)，且X>Y的概率與X0.7，則認定教育活動是有效的；在(2)的條件下，判斷該校不用調(diào)整安全教育方案． 講評　在實際問題中，若兩個隨機變量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)與E(ξ2)較為接近時，就需要用D(ξ1)與D(ξ2)來比較兩個隨機變量的穩(wěn)定程度．即一般地將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案． 17．(2018四川成都七中月考)調(diào)查表明，高三學(xué)生的幸福感與成績、作業(yè)量、人際關(guān)系的滿意度的指標有極強的相關(guān)性．現(xiàn)將這三項的滿意度指標分別記為x，y，z，并對它們進行量化：0表示不滿意，1表示基本滿意，2表示滿意，再用綜合指標w＝x＋y＋z的值評定高三學(xué)生的幸福感等級：若w≥4，則幸福感為一級；若2≤w≤3，則幸福感為二級；若0≤w≤1，則幸福感為三級．為了了解目前某高三學(xué)生群體的幸福感情況，研究人員隨機采訪了該群體的10名高三學(xué)生，得到如下結(jié)果： 人員編號 A1 A2 A3 A4 A5 (x，y，z) (1，1，2) (2，1，1) (2，2，2) (0，1，1) (1，2，1) 人員編號 A6 A7 A8 A9 A10 (x，y，z) (1，2，2) (1，1，1) (1，2，2) (1，0，0) (1，1，1) (1)在這10名被采訪者中任選兩人，求這兩人的成績滿意度指標相同的概率； (2)從幸福感等級是一級的被采訪者中任選一人，其綜合指標為a，從幸福感等級不是一級的被采訪者中任選一人，其綜合指標為b，記隨機變量X＝a－b，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望． 答案　(1)　(2) 解析　(1)記“在這10名被采訪者中任選兩人，這兩人的成績滿意度指標相同”為事件A. ∵成績滿意度指標為0的有1人，成績滿意度指標為1的有7人，成績滿意度指標為2的有2人，∴P(A)＝＝. (2)由統(tǒng)計結(jié)果知，幸福感等級是一級的被采訪者共有6人，幸福感等級不是一級的被采訪者共有4人，隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4，5. P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝. ∴X的分布列為 X 1 2 3 4 5 P ∴E(X)＝1＋2＋3＋4＋5＝. 18．(2018東北四校聯(lián)考)為調(diào)查大學(xué)生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)從某市大學(xué)生中隨機抽取300位同學(xué)進行調(diào)查，結(jié)果如下： 微信群數(shù)量 0至 5個 6至 10個 11至 15個 16至 20個 20 個以上 合計 頻數(shù) 0 90 90 x 15 300 頻率 0 0.3 0.3 y z 1 (1)求x，y，z的值