2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 立體幾何 第8課時(shí) 空間向量的應(yīng)用(二) 空間的角與距離練習(xí) 理.doc

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第8課時(shí) 空間向量的應(yīng)用(二) 空間的角與距離 1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中點(diǎn)，則sin〈，〉的值等于(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　B 解析　分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸建系， 令A(yù)D＝1， ∴＝(1，1，1)，＝(1，－，0)． ∴cos〈，〉＝＝. ∴sin〈，〉＝. 2．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA1＝2AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)BE與CD1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)AA1＝2AB＝2，則B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)． ∴＝(0，－1，1)，＝(0，－1，2)． ∴cos〈，〉＝＝. 3．若直線(xiàn)l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120，則直線(xiàn)l與平面α所成的角等于(　　) A．120 B．60 C．30 D．150 答案　C 解析　設(shè)直線(xiàn)l與平面α所成的角為θ，則sinθ＝|cos120|＝，又0≤θ≤90.∴θ＝30. 4．(2018天津模擬)已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，則直線(xiàn)BC1與平面DBB1D1所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由題意，連接A1C1，交B1D1于點(diǎn)O，連接BO.∵在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，∴C1O⊥B1D1.易得C1O⊥平面DBB1D1，∴∠C1BO即為直線(xiàn)BC1與平面DBB1D1所成的角． 在Rt△OBC1中，OC1＝2，BC1＝2，∴直線(xiàn)BC1與平面DBB1D1所成角的正弦值為，故選C. 5.(2018遼寧沈陽(yáng)和平區(qū)模擬)如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝4，則直線(xiàn)BB1與平面ACD1所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系． 則A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，＝(－2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(0，0，4)． 設(shè)平面ACD1的法向量為n＝(x，y，z)，則 即取x＝2，則y＝2，z＝1，故n＝(2，2，1)是平面ACD1的一個(gè)法向量． 設(shè)直線(xiàn)BB1與平面ACD1所成的角是θ，則sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.故選A. 6．若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)AD與平面B1DC所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　間接法：由正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，依據(jù)題設(shè)條件，可知B1D⊥平面ACD，∴B1D⊥DC，故△B1DC為直角三角形． 設(shè)棱長(zhǎng)為1，則有AD＝，B1D＝，DC＝，∴S△B1DC＝＝. 設(shè)A到平面B1DC的距離為h，則有VA－B1DC＝VB1－ADC， ∴hS△B1DC＝B1DS△ADC. ∴h＝，∴h＝. 設(shè)直線(xiàn)AD與平面B1DC所成的角為θ，則sinθ＝＝. 向量法： 如圖，取AC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)各棱長(zhǎng)為2， 則有A(0，－1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(，0，2)． 設(shè)n＝(x，y，z)為平面B1CD的法向量， 則有??n＝(0，2，1)． ∴sin〈，n〉＝＝. 7．(2018山東師大附中模擬，理)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝，AB＝，PA＝，DA⊥AB，點(diǎn)Q在PB上，且滿(mǎn)足PQ∶QB＝1∶3，則直線(xiàn)CQ與平面PAC所成角的正弦值為_(kāi)_______． 答案　 解析　方法一：如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH∥CB交PC于點(diǎn)H. ∵DA⊥AB，DC∥AB，∴在Rt△ADC中，AC＝＝. ∵PA⊥平面ABCD，∴在Rt△PAC中，PC＝＝. 取AB的中點(diǎn)M，連接CM，∵DC∥AB，CM＝AD＝， ∴在Rt△CMB中，CB＝＝， 又PB2＝PA2＋AB2＝16，∴PC2＋CB2＝PB2，∴CB⊥PC. ∵QH∥BC，∴QH⊥PC.① ∵PA⊥CB，∴PA⊥QH.② 由①②可得，QH⊥平面PAC，∴∠QCH是直線(xiàn)CQ與平面PAC所成的角． ∵QH＝BC＝，HC＝PC＝，∴CQ＝＝，∴sin∠QCH＝＝. 方法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP所在的直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，P(0，0，)，C(，，0)，B(0，，0)， ∵PQ＝PB，∴Q(0，，)，可知平面PAC的一個(gè)法向量為m＝(－1，1，0)，又＝(－，－，)， ∴|cos〈m，〉|＝＝，故直線(xiàn)CQ與平面PAC所成角的正弦值為. 8．(2018上海八校聯(lián)考)如圖所示為一名曰“塹堵”的幾何體，已知AE⊥底面BCFE，DF∥AE，DF＝AE＝1，CE＝，四邊形ABCD是正方形． (1)《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑，判斷四面體EABC是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每一個(gè)面的直角，并證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． (2)記AB與平面AEC所成的角為θ，求cos2θ的值． 答案　(1)略　(2) 解析　(1)∵AE⊥底面BCFE，EC，EB，BC都在底面BCFE上，∴AE⊥EC，AE⊥EB，AE⊥BC.∵四邊形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE.又∵BE?平面ABE，∴BC⊥BE，∴四面體EABC是鱉臑，∠AEB，∠AEC，∠CBE，∠ABC為直角． (2)∵AE＝1，CE＝，AE⊥EC， ∴AC＝2，又ABCD為正方形． ∴BC＝2，∴BE＝. 作BO⊥EC于O，則BO⊥平面AEC，連接OA，則OA為AB在面AEC上的射影．∴θ＝∠BAO，由等面積法得BEBC＝ECOB. ∴OB＝，sinθ＝＝，cos2θ＝1－2sin2θ＝. 提示　本題也可用向量法求解． 9.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ，理)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)． (1)證明：MN∥平面PAB； (2)求直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正弦值． 答案　(1)略　(2) 解析　(1)由已知得AM＝AD＝2. 取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN. 由N為PC的中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝BC＝2. 又AD∥BC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT. 因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB. (2)取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，從而AE⊥AD，且AE＝＝＝. 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz.由題意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N(，1，2)，＝(0，2，－4)，＝(，1，－2)，＝(，1，2)． 設(shè)n＝(x，y，z)為平面PMN的法向量，則即 可取n＝(0，2，1)． 于是|cos〈n，〉|＝＝. 所以直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正弦值為. 10．如圖所示，在四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120，AB＝AA1＝2A1B1＝2. (1)若M為CD中點(diǎn)，求證：AM⊥平面AA1B1B； (2)求直線(xiàn)DD1與平面A1BD所成角的正弦值． 答案　(1)略　(2) 解析　(1)四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120，連接AC，如圖，則△ACD為等邊三角形， 又M為CD中點(diǎn)，∴AM⊥CD，由CD∥AB，得AM⊥AB， ∵AA1⊥底面ABCD，AM?平面ABCD，∴AM⊥AA1， 又AB∩AA1＝A， ∴AM⊥平面AA1B1B. (2)∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120，AB＝AA1＝2A1B1＝2，∴DM＝1，AM＝，∴∠AMD＝∠BAM＝90，又AA1⊥底面ABCD， ∴以AB，AM，AA1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz， 則A1(0，0，2)，B(2，0，0)，D(－1，，0)，D1(－，，2)， ∴＝(，－，2)，＝(－3，，0)，＝(2，0，－2)， 設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)， 則??y＝x＝z，令x＝1，則n＝(1，，1)， ∴直線(xiàn)DD1與平面A1BD所成角θ的正弦值為 sinθ＝|cos〈n，〉|＝||＝. 11.(2018山西太原一模)如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3. (1)證明：平面ACF⊥平面BEFD； (2)若二面角A－EF－C是直二面角，求直線(xiàn)AE與平面ABCD所成角的正切值． 答案　(1)略　(2) 解析　(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. ∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC， ∵BD∩BE＝B，∴AC⊥平面BEFD， ∴平面ACF⊥平面BEFD. (2)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，由(1)得AC⊥BD，分別以O(shè)A，OB為x軸和y軸，過(guò)點(diǎn)O作垂直于平面ABCD的直線(xiàn)為z，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz， ∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD， ∴BD2＝EF2－(DF－BE)2＝8，∴BD＝2. 設(shè)OA＝a(a>0)，則A(a，0，0)，C(－a，0，0)，E(0，，1)，F(xiàn)(0，－，2)，∴＝(0，－2，1)，＝(－a，，1)，＝(a，，1)． 設(shè)m＝(x1，y1，z1)是平面AEF的法向量，則即 令z1＝2，∴m＝(，1，2)是平面AEF的一個(gè)法向量， 設(shè)n＝(x2，y2，z2)是平面CEF的法向量， 則即令z2＝2， ∴n＝(－，1，2)是平面CEF的一個(gè)法向量， ∵二面角A－EF－C是直二面角，∴mn＝－＋9＝0，∴a＝. ∵BE⊥平面ABCD，∴∠BAE是直線(xiàn)AE與平面ABCD所成的角， ∵AB＝＝2，∴tan∠BAE＝＝. 故直線(xiàn)AE與平面ABCD所成角的正切值為. 1.(2017山西臨汾一模)如圖所示，點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，則PB與AC所成的角是(　　) A．90 ．60 C．45 ．30 答案　B 解析　將其還原成正方體ABCD－PQRS，顯然PB∥SC，△ACS為正三角形，∴∠ACS＝60. 2.(2018成都一診)如圖，正四棱錐P－ABCD的體積為2，底面積為6，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則直線(xiàn)BE與平面PAC所成的角為(　　) A．60 B．30 C．45 D．90 答案　A 解析　如圖，正四棱錐P－ABCD中，根據(jù)底面積為6可得，BC＝.連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接PO，則PO為正四棱錐P－ABCD的高，根據(jù)體積公式可得，PO＝1.因?yàn)镻O⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，連接EO，則∠BEO為直線(xiàn)BE與平面PAC所成的角．在Rt△POA中，因?yàn)镻O＝1，OA＝，所以PA＝2，OE＝PA＝1，在Rt△BOE中，因?yàn)锽O＝，所以tan∠BEO＝＝，即∠BEO＝60. 3.如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中點(diǎn)，則GB與平面AGC所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)GB與平面AGC所成的角為θ. 如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 則A(0，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，2a)，G(a，a，0)，＝(a，a，0)，＝(0，2a，2a)，＝(a，－a，0)，設(shè)平面AGC的法向量為n1＝(x1，y1，1)，由???n1＝(1，－1，1)．sinθ＝＝＝. 4．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接C1O，過(guò)C作CH⊥C1O于點(diǎn)H. ∵???CH⊥平面C1BD， ∴∠HDC為CD與平面BDC1所成的角． 5．(2018黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，點(diǎn)D在棱BB1上，若BD＝3，則AD與平面AA1C1C所成角的正切值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　取AC的中點(diǎn)E，連接BE，如圖所示，可得＝(＋)＝，即52cosθ＝42(θ為與的夾角)，∴cosθ＝，sinθ＝，tanθ＝，又BE⊥平面AA1C1C，∴所求角的正切值為. 6．(2016北京東城質(zhì)量調(diào)研)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90，側(cè)棱AA1＝2，D，E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.則A1B與平面ABD所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線(xiàn)為x軸，CB所在直線(xiàn)為y軸，CC1所在直線(xiàn)為z軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)CA＝CB＝a，則A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)，∴E(，，1)，G(，，)，＝(，，)，＝(0，－a，1)， ∵點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G， ∴⊥平面ABD，∴＝0，解得a＝2. ∴＝(，，)，＝(2，－2，2)，∵⊥平面ABD，∴為平面ABD的一個(gè)法向量． ∵cos<，>＝＝＝，∴A1B與平面ABD所成的角的余弦值為. 7．(2018太原模擬)在三棱錐A－BCD中，底面BCD為邊長(zhǎng)是2的正三角形，頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為△BCD的中心，若E為BC的中點(diǎn)，且直線(xiàn)AE與底面BCD所成角的正切值為2，則三棱錐A－BCD外接球的表面積為(　　) A．3π B．4π C．5π D．6π 答案　D 解析　∵頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為△BCD的中心，而且△BCD是正三角形，∴三棱錐A－BCD是正三棱錐，∴AB＝AC＝AD.令底面△BCD的重心(即中心)為P，∵△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，DE是BC邊上的高，∴DE＝，PE＝，DP＝.∵直線(xiàn)AE與底面BCD所成角的正切值為2，即tan∠AEP＝2，∴AP＝，∵AE2＝AP2＋EP2，∴AD＝2，于是AB＝AC＝AD＝BC＝CD＝DB＝2，∴三棱錐A－BCD為正四面體．構(gòu)造正方體，由面上的對(duì)角線(xiàn)構(gòu)成正四面體，故正方體的棱長(zhǎng)為，∴正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，∴外接球的半徑為，∴外接球的表面積為4π()2＝6π. 8．(2018江西臨海上一中一模)已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1.點(diǎn)E是棱A1B1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)AE與平面BDD1B1所成角的正弦值是________． 答案　 解析　取AB的中點(diǎn)為F，連接B1F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BD，垂足為G，連接B1G，由正方體性質(zhì)知BB1⊥FG，BD∩BB1＝B，BD?平面BDD1B1，BB1?平面BDD1B1，所以FG⊥平面BDD1B1，故∠FB1G為FB1與平面BDD1B1所成的角，所以FG＝，B1F＝，所以sin∠FB1G＝＝.又因?yàn)锳E∥B1F，所以直線(xiàn)AE與平面BDD1B1所成角的正弦值是. 9．(2014福建，理)在平面四邊形ABCD中．AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示． (1)求證：AB⊥CD； (2)若M為AD中點(diǎn)，求直線(xiàn)AD與平面MBC所成角的正弦值． 答案　(1)略　(2) 解析　(1)∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD， ∴AB⊥平面BCD. 又CD?平面BCD，∴AB⊥CD. (2)過(guò)點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD，如圖所示． 由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD，BD?平面BCD， ∴AB⊥BE，AB⊥BD. 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系． 依題意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M， 則＝(1，1，0)，＝，＝(0，1，－1)． 設(shè)平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)， 則即取z0＝1，得平面MBC的一個(gè)法向量n＝(1，－1，1)． 設(shè)直線(xiàn)AD與平面MBC所成角為θ， 則sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝， 即直線(xiàn)AD與平面MBC所成角的正弦值為. 10．(2017浙江)如圖，已知四棱錐P－ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E為PD的中點(diǎn)． (1)證明：CE∥平面PAB； (2)求直線(xiàn)CE與平面PBC所成角的正弦值． 解析　(1)如圖，設(shè)PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B. 因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，PA中點(diǎn)，所以EF∥AD且EF＝AD， 又因?yàn)锽C∥AD，BC＝AD，所以EF∥BC且EF＝BC， 即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥BF，因此CE∥平面PAB. (2)分別取BC，AD的中點(diǎn)為M，N.連接PN交EF于點(diǎn)Q，連接MQ. 因?yàn)镋，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點(diǎn)，所以Q為EF中點(diǎn)，在平行四邊形BCEF中，MQ∥CE. 由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD. 由DC⊥AD，N是AD的中點(diǎn)得BN⊥AD. 所以AD⊥平面PBN， 由BC∥AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN. 過(guò)點(diǎn)Q作PB的垂線(xiàn)，垂足為H，連接MH. MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線(xiàn)CE與平面PBC所成的角． 設(shè)CD＝1. 在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝得CE＝， 在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝得QH＝， 在Rt△MQH中，QH＝，MQ＝， 所以sin∠QMH＝， 所以，直線(xiàn)CE與平面PBC所成角的正弦值是.