2019高考數(shù)學一輪復習 第10章 概率、統(tǒng)計和統(tǒng)計案例 第1講 隨機事件的概率與古典概型分層演練 文.doc

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第1講 隨機事件的概率與古典概型 一、選擇題 1．設事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，則A，B之間的關系一定為(　　) A．兩個任意事件　　　　　　　 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．對立事件 解析：選B．因為P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之間的關系一定為互斥事件．故選B． 2．某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產情況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽檢一件是正品(甲級)的概率為(　　) A．0．95 B．0．97 C．0．92 D．0．08 解析：選C．記抽檢的產品是甲級品為事件A，是乙級品為事件B，是丙級品為事件C，這三個事件彼此互斥，因而所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0．92． 3．從3個紅球、2個白球中隨機取出2個球，則取出的2個球不全是紅球的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：選C．“取出的2個球全是紅球”記為事件A，則P(A)＝．因為“取出的2個球不全是紅球”為事件A的對立事件，所以其概率為P(A)＝1－P(A)＝1－＝． 4．“微信搶紅包”自2015年以來異?；鸨?，在某個微信群某次進行的搶紅包活動中，若所發(fā)紅包的總金額為9元，被隨機分配為1．49元，1．31元，2．19 元，3．40元，0．61元，共5份，供甲、乙等5人搶，每人只能搶一次， 則甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：選B．設事件A為“甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元”，甲、乙兩人搶到紅包的所有結果為{1．49，1．31}，{1．49，2．19}，{1．49，3．40}，{1．49，0．61}，{1．31，2．19}，{1．31，3．40}，{1．31，0．61}，{2．19，3．40}，{2．19，0．61}，{3．40，0．61}，共10種情況．其中事件A的結果一共有4種情況，根據古典概型概率計算公式，得P(A)＝＝，即甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率是．故選B． 5．在正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則構成的四邊形是梯形的概率為(　　) A． B． C． D． 解析：選B．如圖， 在正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選擇4個頂點，共有15種選法，其中構成的四邊形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6種情況，故構成的四邊形是梯形的概率P＝＝． 6．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一點，O為坐標原點，則直線OA與y＝x2＋1有交點的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：選C．易知過點(0，0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4個，由古典概型知概率為＝． 二、填空題 7．某城市2017年的空氣質量狀況如下表所示： 污染指數(shù)T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質量為優(yōu)；50＜T≤100時，空氣質量為良；100＜T≤150時，空氣質量為輕微污染，則該城市2017年空氣質量達到良或優(yōu)的概率為________． 解析：由題意可知2017年空氣質量達到良或優(yōu)的概率為P＝＋＋＝． 答案： 8．口袋內裝有一些除顏色不同之外其他均相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，若紅球有21個，則黑球有________個． 解析：摸到黑球的概率為1－0．42－0．28＝0．3．設黑球有n個，則＝，故n＝15． 答案：15 9．從2名男生和2名女生中，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率為________． 解析：將2名男生記為A1，A2，2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1，A2A1共12種情況，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2這4種情況，則其發(fā)生的概率為＝． 答案： 10．現(xiàn)有7名數(shù)理化成績優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學成績優(yōu)秀，B1，B2的物理成績優(yōu)秀，C1，C2的化學成績優(yōu)秀．從中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名，組成一個小組代表學校參加競賽，則A1和B1不全被選中的概率為________． 解析：從這7人中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名，所有可能的結果組成的12個基本事件為：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)． 設“A1和B1不全被選中”為事件N，則其對立事件表示“A1和B1全被選中”，由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P()＝＝，由對立事件的概率計算公式得P(N)＝1－P()＝1－＝． 答案： 三、解答題 11．如圖，從A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調查，調查結果如下： 所用時間(分鐘) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 選擇L1的人數(shù) 6 12 18 12 12 選擇L2的人數(shù) 0 4 16 16 4 (1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率； (2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率； (3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑． 解：(1)由已知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 所以用頻率估計相應的概率為44100＝0．44． (2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人， 故由調查結果得頻率為 所用時間 (分鐘) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的頻率 0．1 0．2 0．3 0．2 0．2 L2的頻率 0 0．1 0．4 0．4 0．1 (3)設A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0．1＋0．2＋0．3＝0．6， P(A2)＝0．1＋0．4＝0．5， 因為P(A1)＞P(A2)，所以甲應選擇L1 ． 同理，P(B1)＝0．1＋0．2＋0．3＋0．2＝0．8， P(B2)＝0．1＋0．4＋0．4＝0．9， 因為P(B1)＜P(B2)，所以乙應選擇L2． 12．根據我國頒布的《環(huán)境空氣質量指數(shù)(AQI)技術規(guī)定》：空氣質量指數(shù)劃分為0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六級，對應空氣質量指數(shù)的六個級別，指數(shù)越大，級別越高，說明污染越嚴重，對人體健康的影響也越明顯．專家建議：當空氣質量指數(shù)小于等于150時，可以進行戶外運動；空氣質量指數(shù)為151及以上時，不適合進行旅游等戶外活動，下表是濟南市2017年10月上旬的空氣質量指數(shù)情況： 時間 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 AQI 149 143 251 254 138 55 69 102 243 269 (1)求10月上旬市民不適合進行戶外活動的概率； (2)一外地游客在10月上旬來濟南旅游，想連續(xù)游玩兩天，求適合連續(xù)旅游兩天的概率． 解：(1)該試驗的基本事件空間Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，基本事件總數(shù)n＝10． 設事件A為“市民不適合進行戶外活動”，則A＝{3，4，9，10}，包含基本事件數(shù)m＝4．所以P(A)＝＝， 即10月上旬市民不適合進行戶外活動的概率為． (2)該試驗的基本事件空間Ω＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)}，基本事件總數(shù)n＝9， 設事件B為“適合連續(xù)旅游兩天的日期”， 則B＝{(1，2)，(5，6)，(6，7)，(7，8)}，包含基本事件數(shù)m＝4， 所以P(B)＝，所以適合連續(xù)旅游兩天的概率為． 1．某超市隨機選取1 000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“”表示未購買． 　　　商品 顧客人數(shù)　　　　 甲 乙 丙 丁 100 √  √ √ 217  √  √ 200 √ √ √  300 √  √  85 √    98  √   (1)估計顧客同時購買乙和丙的概率； (2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率； (3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？ 解：(1)從統(tǒng)計表可以看出，在這1 000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為＝0．2． (2)從統(tǒng)計表可以看出，在這1 000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為＝0．3． (3)與(1)同理，可得： 顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為＝0．2， 顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為＝0．6， 顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為＝0．1， 所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大． 2．以青蒿素類藥物為主的聯(lián)合療法已經成為世界衛(wèi)生組織推薦的抗瘧疾標準療法，目前，國內青蒿人工種植發(fā)展迅速，調查表明，人工種植的青蒿的長勢與海拔高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標有極強的相關性，現(xiàn)將這三項的指標分別記為x，y，z，并對它們進行量化：0表示不合格，1表示臨界合格，2表示合格，再用綜合指標ω＝x＋y＋z評定人工種植的青蒿的長勢等級：若ω≥4，則長勢為一級；若2≤ω≤3，則長勢為二級；若0≤ω≤1，則長勢為三級．為了了解目前人工種植的青蒿的長勢情況，研究人員隨機抽取了10個青蒿人工種植地，得到如下結果： 種植地編號 A1 A2 A3 A4 A5 (x，y，z) (0，1，0) (1，2，1) (2，1，1) (2，2，2) (0，1，1) 種植地編號 A6 A7 A8 A9 A10 (x，y，z) (1，1，2) (2，1，2) (2，0，1) (2，2，1) (0，2，1) (1)若該地有青蒿人工種植地180個，試估計這些種植地中長勢等級為三級的個數(shù)； (2)從長勢等級為一級的青蒿人工種植地中隨機抽取2個，求這2個人工種植地的綜合指標ω均為4的概率． 解：(1)計算10個青蒿人工種植地的綜合指標，可得下表： 編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 綜合指標 1 4 4 6 2 4 5 3 5 3 由上表可知，長勢等級為三級的種植地只有A1一個，其頻率為，用樣本的頻率估計總體的頻率，可估計這些種植地中長勢等級為三級的個數(shù)約為180＝18． (2)由(1)可知，長勢等級是一級的青蒿人工種植地有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6個，從中隨機抽取2個，所有的可能結果為(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A6)，(A2，A7)，(A2，A9)，(A3，A4)，(A3，A6)，(A3，A7)，(A3，A9)，(A4，A6)，(A4，A7)，(A4，A9)，(A6，A7)，(A6，A9)，(A7，A9)，共計15個，綜合指標ω＝4的有A2，A3，A6，共3個，則符合題意的可能結果為(A2，A3)，(A2，A6)，(A3，A6)，共3個，故所求概率P＝＝．