2019高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教B版選修2-2.doc

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2.3數(shù)學(xué)歸納法1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單命題2理解數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的作用，進(jìn)一步規(guī)范書寫的語言結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)歸納法一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題，如果(1)當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；(2)在假設(shè)當(dāng)nk(kN，且kn0)時(shí)命題成立的前提下，推出當(dāng)n_時(shí)命題也成立，那么可以斷定，這個(gè)命題對n取第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)成立數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與自然數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法，它是一種完全歸納法，是對不完全歸納法的完善證明分兩步，其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納奠基”；第二步解決的是延續(xù)性問題，又稱“歸納遞推”運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)兩個(gè)步驟缺一不可；(2)在第一步中，n的初始值不一定從1取起，也不一定只取一個(gè)數(shù)(有時(shí)需取nn0，n01等)，證明應(yīng)視具體情況而定；(3)第二步中，證明nk1時(shí)命題成立，必須使用歸納假設(shè)，否則就會打破數(shù)學(xué)歸納法步驟間的嚴(yán)密邏輯關(guān)系，造成推理無效；(4)證明nk1時(shí)命題成立，要明確求證的目標(biāo)形式，一般要湊出歸納假設(shè)里給出的形式，以便使用歸納假設(shè)，然后再去湊出當(dāng)nk1時(shí)的結(jié)論，這樣就能有效減少論證的盲目性【做一做】對于不等式n1(nN)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)，不等式成立，即k1，則當(dāng)nk1時(shí)，(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立上述證法()A過程全部正確Bn1時(shí)驗(yàn)證不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確1利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)有哪些注意事項(xiàng)？剖析：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題的關(guān)鍵在第二步，即nk1時(shí)命題為什么成立？nk1時(shí)命題成立是利用假設(shè)nk時(shí)命題成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出來的，而不是直接代入，否則nk1時(shí)命題成立也成假設(shè)了，命題并沒有得到證明(2)用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都能用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問題具體分析2運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤有哪些？剖析：(1)對項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤，特別是尋找nk與nk1的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯(cuò)(2)沒有利用歸納假設(shè)：歸納假設(shè)是必須要用的假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了(3)關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明nk1時(shí)結(jié)論也成立”是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題中最重要的環(huán)節(jié)，對推導(dǎo)的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式【例題1】用數(shù)學(xué)歸納法證明1.分析：左邊式子的特點(diǎn)為：各項(xiàng)分母依次為1,2，3，2n，右邊式子的特點(diǎn)為：分母由n1開始，依次增大1，一直到2n，共n項(xiàng)反思：理解等式的特點(diǎn)：在等式左邊，當(dāng)n取一個(gè)值時(shí)，對應(yīng)兩項(xiàng)，即；在等式右邊，當(dāng)n取一個(gè)值時(shí)，對應(yīng)一項(xiàng)無論n取何值，應(yīng)保證等式左邊有2n項(xiàng)，而等式右邊有n項(xiàng)，然后再按數(shù)學(xué)歸納法的步驟要求給出證明題型二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例題2】已知a0，b0，n1，nN，用數(shù)學(xué)歸納法證明：n.反思：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，往往通過拼湊項(xiàng)或拆項(xiàng)用上歸納假設(shè)，再應(yīng)用放縮法或其他證明不等式的方法證得nk1時(shí)命題成立題型三 歸納猜想證明【例題3】某數(shù)列的第一項(xiàng)為1，并且對所有的自然數(shù)n2，數(shù)列的前n項(xiàng)之積為n2.(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)；(2)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明分析：根據(jù)數(shù)列前五項(xiàng)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號變化的關(guān)系，歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律同時(shí)還要特別注意第一項(xiàng)與其他各項(xiàng)的差異，必要時(shí)可分段表示證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可用數(shù)學(xué)歸納法反思：先計(jì)算出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，用不完全歸納法猜想得到通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法給予證明，這是解數(shù)列問題的常見思路題型四 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)兩步缺一不可，且在證明由nk到nk1命題成立時(shí)必須用上歸納假設(shè)，否則證明過程就是錯(cuò)誤的【例題4】用數(shù)學(xué)歸納法證明：.錯(cuò)證：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，那么當(dāng)nk1時(shí)，直接使用裂項(xiàng)相減法求得，即當(dāng)nk1時(shí)等式成立由(1)和(2)，可知等式對一切nN都成立1用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)，從“nk到nk1”左端需增乘的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C D2平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k)，則增加一條直線后，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為()Af(k)k Bf(k)1Cf(k)k1 Dkf(k)3利用數(shù)學(xué)歸納法證明1(nN，且n2)時(shí)，第二步由nk到nk1時(shí)不等式左端的變化是()A增加了這一項(xiàng)B增加了和兩項(xiàng)C增加了和兩項(xiàng)，同時(shí)減少了這一項(xiàng)D以上都不對4用數(shù)學(xué)歸納法證明“若f(n)1，則nf(1)f(2)f(n1)nf(n)(nN，且n2)”時(shí)，第一步要證的式子是_5在數(shù)列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差數(shù)列，則S2，S3，S4分別為_，由此猜想Sn_.答案：基礎(chǔ)知識梳理k1【做一做】D因?yàn)閺膎k到nk1的證明過程中沒有用到歸納假設(shè)，故從nk到nk1的推理不正確典型例題領(lǐng)悟【例題1】證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1右邊，等式成立(2)假設(shè)nk時(shí)等式成立，即1.則當(dāng)nk1時(shí)，左邊1右邊當(dāng)nk1時(shí)等式也成立由(1)和(2)，知等式對任意nN都成立【例題2】證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊，右邊()2，左邊右邊20，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時(shí)，不等式成立，即k，因?yàn)閍0，b0，k1，kN，所以(ak1bk1)(akbabk)(ab)(akbk)0，于是ak1bk1akbabk.當(dāng)nk1時(shí)，k1k，當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)和(2)，知對于a0，b0，n1，nN，不等式n恒成立【例題3】解：(1)已知a11，由題意，得a1a222，a222.a1a2a332，a3.同理，可得a4，a5.因此該數(shù)列的前五項(xiàng)為1,4，.(2)觀察這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)，猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為an下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n2時(shí)，an.當(dāng)n2時(shí)，a222，等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)，結(jié)論成立，即ak.a1a2ak1(k1)2，a1a2ak1akak1(k1)2，ak1.當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立根據(jù)和，可知當(dāng)n2時(shí)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an.an【例題4】錯(cuò)因分析：由nk到nk1時(shí)等式的證明沒有用歸納假設(shè)，是典型的套用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽證正確證法：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，成立那么當(dāng)nk1時(shí)，當(dāng)nk1時(shí)，等式成立由(1)和(2)，可得對一切nN等式都成立隨堂練習(xí)鞏固1Bnk時(shí)，左邊(k1)(k2)(kk)，而nk1時(shí)，左邊(k1)1(k1)2(k1)(k1)(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(kk)(2k1)2A第k1條直線與原來k條直線相交，最多有k個(gè)交點(diǎn)3C不等式左端共有n1項(xiàng)，且分母是首項(xiàng)為n，公差為1，末項(xiàng)為2n的等差數(shù)列，當(dāng)nk時(shí)，左端為；當(dāng)nk1時(shí)，左端為，對比兩式，可得結(jié)論42f(1)2f(2)起點(diǎn)n02，觀察等式左邊最后一項(xiàng)，將n2代入即可5，由題意，得2Sn1Sn2S1，且S1a11，令式子中的n分別取1,2,3，可得S2，S3，S4，從而猜想Sn.