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2019版高中數(shù)學(xué) 第二章平面解析幾何初步 2.3 圓的方程 2.3.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程練習(xí) 新人教B版必修2.doc

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2.3.1　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1.以(-2,3)為圓心,與y軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　A　) (A)(x+2)2+(y-3)2=4 (B)(x-2)2+(y+3)2=4 (C)(x+2)2+(y-3)2=9 (D)(x+2)2+(y-3)2=25 解析:因?yàn)閳A心坐標(biāo)(-2,3),圓與y軸相切, 所以r=|-2|=2, 所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-3)2=4. 2.兩條直線y=x+2a,y=2x+a的交點(diǎn)P在圓(x-1)2+(y-1)2=4的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　A　) (A)(-,1) (B)(-∞,-)∪(1,+∞) (C)[-,1) (D)(-∞,-)∪[1,+∞) 解析:聯(lián)立解得P(a,3a). 因?yàn)辄c(diǎn)P在圓(x-1)2+(y-1)2=4的內(nèi)部. 所以(a-1)2+(3a-1)2<4.解得-0).若圓C上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90,則m的最大值為(　B　) (A)7 (B)6 (C)5 (D)4 解析:由題意知以AB為直徑的圓O與圓C有公共點(diǎn),且|OC|=5,于是m-1≤5≤1+m即4≤m≤6.故選B. 4.若直線x+y-3=0始終平分圓(x-a)2+(y-b)2=2的周長(zhǎng),則a+b等于(　A　) (A)3 (B)2 (C)5 (D)1 解析:由題可知,圓心(a,b)在直線x+y-3=0上, 所以a+b-3=0,即a+b=3. 5.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點(diǎn)M(0,)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為,則圓C的方程為　　　　　　　　　. 解析:設(shè)圓C的方程為(x-a)2+y2=r2, 則a2+5=r2, 且=, 解得a=2或a=-2(舍去), 所以r2=9. 所以圓的方程為(x-2)2+y2=9. 答案:(x-2)2+y2=9 6.已知圓C:(x-1)2+(y+2)2=25上一點(diǎn)M(x0,y0),則(x0-6)2+(y0+4)2的最小值為　　　　　　　. 解析:因?yàn)?x0-6)2+(y0+4)2表示點(diǎn)A(6,-4)與圓上動(dòng)點(diǎn)M(x0,y0)之間的距離的平方, 故|AM|最小,|AM|2也達(dá)到最小, 而|AM|的最小值為 |AC|-r=-5=-5, 所以|AM|2=54-10. 答案:54-10 7.(2017海口模擬)方程(x+y-1)=0所表示的曲線是圖中的　　　　. 解析:原方程等價(jià)于或x2+y2=4. 所以,當(dāng)x+y-1=0時(shí),只有有意義,等式才成立,即x2+y2≥4,此時(shí)它表示直線x+y-1=0上不在圓x2+y2=4內(nèi)的部分,故選④. 答案:④ 8.已知圓C經(jīng)過(guò)A(0,0),B(2,0),且圓心在第一象限,△ABC為直角三角形,則圓C的方程為(　C　) (A)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)+=2 (C)(x-1)2+(y-1)2=2 (D)(x-1)2+(y-2)2=5 解析:因?yàn)閳A心在弦的中垂線上,所有可設(shè)C(1,m),由于△ABC為等腰直角三角形,所以|AC|==, 因?yàn)閙>0,所以m=1,所以圓心坐標(biāo)為(1,1),圓的半徑為,所以圓C的方程為(x-1)2+(y-1)2=2,故選C. 9.過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線,將圓形區(qū)域{(x,y)|x2+y2≤9}分為兩部分,使這兩部分的面積之差最大,則該直線的方程為(　A　) (A)x+2y-5=0 (B)y-2=0 (C)2x-y=0 (D)x-1=0 解析:要使面積之差最大,必須使過(guò)點(diǎn)P的弦最小, 所以該直線與直線OP垂直,又kOP=2, 所以所求直線的斜率為-, 由點(diǎn)斜式可求得直線方程為x+2y-5=0,故選A. 10.過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線l與圓C:(x-1)2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)∠ACB最小時(shí),直線l的方程為　　　　　　. 解析:因?yàn)辄c(diǎn)P(2,1)在圓C的內(nèi)部, 所以當(dāng)且僅當(dāng)CP⊥l時(shí),∠ACB最小, 又CP的斜率為1,所以直線l的斜率為-1, 故l的方程為x+y-3=0. 答案:x+y-3=0 11.圓心在直線y=-4x上,并且與直線l:x+y-1=0相切于點(diǎn)P(3,-2)的圓的方程為　　　　　　　　. 解析:過(guò)點(diǎn)P且與直線l垂直的直線方程為y=x-5, 圓心為直線y=x-5與y=-4x的交點(diǎn), 易知圓心坐標(biāo)為(1,-4),故半徑r==2, 故所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8. 答案:(x-1)2+(y+4)2=8 12.如圖,已知圓M過(guò)點(diǎn)P(10,4),且與直線4x+3y-20=0相切于點(diǎn)A(2,4). (1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點(diǎn),且|BC|=|OA|,求直線l的方程. 解:(1)過(guò)點(diǎn)A(2,4)且與直線4x+3y-20=0垂直的直線方程為3x-4y+10=0, ① AP的垂直平分線方程為x=6, ② 由①②聯(lián)立得圓心M(6,7),半徑r=|AM|==5, 圓M的方程為(x-6)2+(y-7)2=25. (2)因?yàn)橹本€l∥OA,所以直線l的斜率為=2. 設(shè)直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0, 則圓心M到直線l的距離d==. 因?yàn)閨BC|=|OA|==2, 而|MC|2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=-15. 故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0. 13.已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=,試求k=的最值. 解:y=可化為x2+y2=3(y≥0),表示以原點(diǎn)O(0,0)為圓心,r=為半徑的上半圓,k=可看作半圓上的點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)P(-3,-1)連線的斜率,如圖所示.當(dāng)直線y+1=k(x+3)與半圓相切時(shí),由圓心到直線的距離等于半徑,得=, 化簡(jiǎn)得3k2-3k-1=0,k=,舍去負(fù)值, 得k=為所求k的最大值;當(dāng)直線y+1=k(x+3)過(guò)點(diǎn)B時(shí),k==為所求k的最小值. 綜上,k的最大值為,最小值為.

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