2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 專題突破三 空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

《2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 專題突破三 空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 專題突破三 空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx（22頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

專題突破三空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略利用空間向量的方法解決立體幾何問題，關(guān)鍵是依托圖形建立空間直角坐標(biāo)系，將其他向量用坐標(biāo)表示，通過向量運(yùn)算，判定或證明空間元素的位置關(guān)系，以及空間角、空間距離問題的探求所以如何建立空間直角坐標(biāo)系顯得非常重要，下面簡述空間建系的四種方法，希望同學(xué)們面對空間幾何問題能做到有的放矢，化解自如一、利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱例1已知直四棱柱中，AA12，底面ABCD是直角梯形，DAB為直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，試求異面直線BC1與DC所成角的余弦值考點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角題點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角解如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，所以(2，3,2)，(0，1,0)所以cos，.故異面直線BC1與DC所成角的余弦值為.點(diǎn)評本例以直四棱柱為背景，求異面直線所成角求解關(guān)鍵是從直四棱柱圖形中的共點(diǎn)的三條棱互相垂直關(guān)系處著手，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，再求兩異面直線的方向向量的夾角即可跟蹤訓(xùn)練1如圖，平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD90，且PAAD2，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點(diǎn)，求異面直線EF與BD所成角的余弦值考點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角題點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角解因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，PAAD，平面PAD平面ABCDAD，所以，PA平面ABCD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則E(0,0,1)，F(xiàn)(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)(1,2，1)，(2,2,0)，故cos，.即異面直線EF與BD所成角的余弦值為.二、利用線面垂直關(guān)系例2如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB平面BB1C1C，E為棱C1C的中點(diǎn)，已知AB，BB12，BC1，BCC1.試建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出圖中所有點(diǎn)的坐標(biāo)考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)向量的坐標(biāo)解過點(diǎn)B作BP垂直BB1交C1C于點(diǎn)P，因?yàn)锳B平面BB1C1C，所以ABBP，ABBB1，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BP，BB1，BA所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz.又BPBB1，BB1ABB，且BB1，AB平面ABB1A1，所以BP平面ABB1A1，因?yàn)锳B，BB12，BC1，BCC1，所以CP，C1P，BP，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，C1，E，A1(0,2，)，P.點(diǎn)評空間直角坐標(biāo)系的建立，要盡量地使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣建成的坐標(biāo)系，既能迅速寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，又由于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)含有0，也為后續(xù)的運(yùn)算帶來了方便本題已知條件中的垂直關(guān)系“AB平面BB1C1C”，可作為建系的突破口跟蹤訓(xùn)練2如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值考點(diǎn)向量法求直線與平面所成的角題點(diǎn)向量法求直線與平面所成的角解取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由ABAC得AEBC，從而AEAD，AE.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.由題意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，.設(shè)n(x，y，z)為平面PMN的法向量，則即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.設(shè)AN與平面PMN所成的角為，則sin，直線AN與平面PMN所成的角的正弦值為.三、利用面面垂直關(guān)系例3如圖1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD2，ABC60，E是BC的中點(diǎn)將ABE沿AE折起，使平面BAE平面AEC(如圖2)，連接BC，BD.求平面ABE與平面BCD所成的銳角的大小考點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角題點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角解取AE中點(diǎn)M，連接BM，DM.因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中點(diǎn)，所以ABE與ADE都是等邊三角形，所以BMAE，DMAE.又平面BAE平面AEC，平面BAE平面AECAE，所以BM平面AEC，所以BMMD.以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ME，MD，MB所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Mxyz，如圖，則B(0,0，)，C(2，0)，D(0，0)，M(0,0,0)，所以(2,0,0)，(0，)，(0，0)，設(shè)平面BCD的法向量為m(x，y，z)，由取y1，得m(0,1,1)，又因平面ABE的一個(gè)法向量(0，0)，所以cosm，所以平面ABE與平面BCD所成的銳角為45.點(diǎn)評本題求解關(guān)鍵是利用面面垂直關(guān)系，先證在兩平面內(nèi)共點(diǎn)的三線垂直，再構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，然后分別求出兩個(gè)平面的法向量，求出兩法向量夾角的余弦值，即可得所求的兩平面所成的銳角的大小用法向量的夾角求二面角時(shí)應(yīng)注意：平面的法向量有兩個(gè)相反的方向，取的方向不同求出來的角度就不同，所以最后還應(yīng)該根據(jù)這個(gè)二面角的實(shí)際形態(tài)確定其大小跟蹤訓(xùn)練3在四棱錐VABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD.(1)證明：AB平面VAD；(2)求二面角AVDB的平面角的余弦值考點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角題點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角(1)證明取AD的中點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意知，VO底面ABCD，則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)AD2，則A(1,0,0)，D(1，0,0)，B(1,2,0)，V(0,0，)易得(0,2,0)，(1,0，)(0,2,0)(1,0，)0，即ABVA.又ABAD，ADVAA，AB平面VAD.(2)解易得(1,0，)設(shè)E為DV的中點(diǎn)，連接EA，EB，則E，.(1,0，)0，即EBDV.又EADV，AEB為所求二面角的平面角，cos，.故所求二面角的平面角的余弦值為.四、利用底面的中心與高所在的直線，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系例4如圖所示，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求證：平面O1DC平面ABCD；(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE2EA1，問點(diǎn)F在何處時(shí)，EFAD?考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直(1)證明如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)OA1，OA1a.則A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0，a)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，O1(1,0，a)則(1，1，a)，(0,0，a)設(shè)m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分別是平面O1DC和平面ABCD的法向量由得令x11，則m(1,1,0)，而n(0,0，a)，故mn0，即平面O1DC與平面ABCD的法向量垂直，故平面O1DC平面ABCD.(2)解由(1)可知，(1,0，a)，(1，1,0)設(shè)，則(，0)，故點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，1，0)，.EFAD0，而10，解得.故當(dāng)F為BC的三等分點(diǎn)(靠近B)時(shí)，有EFAD.點(diǎn)評依托于平行六面體的高所在直線與底面正方形的兩對角線便可建立空間直角坐標(biāo)系跟蹤訓(xùn)練4已知正四棱錐VABCD中，E為VC的中點(diǎn)，正四棱錐的底面邊長為2a，高為h.(1)求DEB的余弦值；(2)若BEVC，求DEB的余弦值考點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角題點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角解(1)如圖所示，以V在底面ABCD內(nèi)的正投影O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其中OxBC，OyAB.由AB2a，OVh，知B(a，a,0)，C(a，a,0)，D(a，a,0)，V(0,0，h)，E.，cos，.即cosDEB.(2)BEVC，0，即(a，a，h)0，a20，ha.此時(shí)cos，即cosDEB.1.如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，則EF和CD所成的角為_答案45解析以D為原點(diǎn)，分別以射線DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz如圖所示，設(shè)正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，(0,1,0)，cos，135，異面直線EF和CD所成的角是45.2在底面為直角梯形的四棱錐SABCD中，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，則平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值為_考點(diǎn)向量法求二面角題點(diǎn)向量法求二面角答案解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AS所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，平面SAB的一個(gè)法向量，并求得平面SCD的一個(gè)法向量n，則cos，n.即所求銳二面角的余弦值為.3.在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB2，AA12，D是AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，且OC平面ABB1A1.(1)證明：BCAB1；(2)若OCOA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值考點(diǎn)題點(diǎn)(1)證明由題意知tanABD，tanAB1B，又ABD，AB1B為三角形的內(nèi)角，故ABDAB1B，則AB1BBAB1ABDBAB1，所以AOB，即AB1BD.又CO平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，所以AB1CO，因?yàn)锽DCOO，BD，CO平面CBD，所以AB1平面CBD，又BC平面CBD，所以AB1BC.(2)解如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D，OB1，OC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A，B，C，D，設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則即令y1，則z1，x，平面ABC的一個(gè)法向量n.設(shè)直線CD與平面ABC所成角為，則sin|cos，n|.一、選擇題1在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(1,1，)，D1(0,0，)，所以(1,0，)，(1,1，)，因?yàn)閏os，.2.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，M，E，F(xiàn)分別為PQ，AB，BC的中點(diǎn)，則異面直線EM與AF所成角的余弦值是()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析由題設(shè)易知，AB，AD，AQ兩兩垂直以A為原點(diǎn)，AB，AD，AQ所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為2，則A(0,0,0)，E(1,0,0)，M(0,1,2)，F(xiàn)(2,1,0)，(1,1,2)，(2,1,0)，cos，則異面直線EM與AF所成角的余弦值為.3在正方體ABCDA1B1C1D1中，BD與平面A1C1D所成角的正弦值是()A.B.C.D1考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長為2，則A1(2,0,0)，C1(0,2,0)，D(0,0,2)，B(2,2,2)，且n(1,1,1)是平面A1C1D的一個(gè)法向量，因?yàn)?2,2,0)，所以cosn，.設(shè)DB與平面A1C1D所成的角為，則sincosn，.4在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，則AB1與C1B所成角的大小為()A60B75C105D90考點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角題點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角答案D解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BB11，則A(0,0,1)，B1，C1(0，0)，B.，10，即AB1與C1B所成角的大小為90.5(2018貴州貴陽高二檢測)如圖，四棱錐PABCD中，PB平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3，點(diǎn)E在棱PA上，且PE2EA，則平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為()A.B.C.D.考點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角題點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角答案B解析如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC，BA，BP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0,0,3)，D(3,3,0)，E(0,2,1)，(0,2,1)，(3,3,0)設(shè)平面BED的法向量為n(x，y，z)，則取z1，得n.又平面ABE的法向量為m(1,0,0)，cosn，m.平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為.6.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1，ABC60，則二面角AA1CB的余弦值是()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析由題意知ABAC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A1(0,0，)設(shè)平面A1BC的法向量為n(x，y，z)，則n0，n0.又因?yàn)?1，0)，(0，)，所以令y1，則n(，1,1)取m(1,0,0)為平面AA1C的一個(gè)法向量，所以cosm，n.所以二面角AA1CB的余弦值為.二、填空題7.如圖所示，在四面體ABCD中，CACBCDBD2，ABAD，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為_考點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角題點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角答案解析取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC.由題意知OA，OC，BD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，所以(1,0，1)，(1，0)，cos，因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，所以AB與CD所成角的余弦值是.8.如圖，已知四棱錐PABCD的底面是菱形，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，OA4，OB3，OP4，OP底面ABCD.設(shè)點(diǎn)M滿足(0)，當(dāng)時(shí)，直線PA與平面BDM所成角的正弦值是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則(4,0，4)，(0,6,0)，(4,3,0)當(dāng)時(shí)，得M，所以.設(shè)平面DBM的法向量為n(x，y，z)，則解得y0，令x2，則z1，所以n(2,0,1)因?yàn)閏os，n，所以直線PA與平面BDM所成角的正弦值為.9(2018山西太原高二檢測)已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PAPD，平面ABCD平面PAD，M是PC的中點(diǎn)，O是AD的中點(diǎn)，則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是_考點(diǎn)向量法求直線與平面所成的角題點(diǎn)向量法求直線與平面所成的角答案解析如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則B(1,2,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，M.設(shè)平面PCO的法向量為n(x，y，z)，則取n(2,1,0)因此直線BM與平面PCO所成角的正弦值是|cos，n|.10.如圖，四棱錐FABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC2，BD.若CF平面ABCD，CF2，則二面角BAFD的大小為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析過點(diǎn)A作AE平面ABCD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)于是B，D，F(xiàn)(0,2,2)設(shè)平面ABF的法向量為n1(x，y，z)，則由得令z1，得所以n1(，1,1)同理，可求得平面ADF的一個(gè)法向量為n2(，1,1)由n1n20，知平面ABF與平面ADF垂直，所以二面角BAFD的大小為.11.如圖，在棱長為2的正方體AC1中，點(diǎn)P，Q分別在棱BC，CD上，B1QD1P，且PQ.若P，Q分別為BC，CD的中點(diǎn)，則二面角C1PQA的余弦值是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則P(2,1,0)，Q(1,2,0)，C1(2,2,2)設(shè)平面C1PQ的法向量為n(a，b，c)因?yàn)?1,1,0)，(0,1,2)，又nn0，所以令c1，則ab2，所以n(2,2，1)因?yàn)閗(0,0,2)為平面APQ的一個(gè)法向量，所以cosn，k.因?yàn)槎娼菫殁g角，所以所求余弦值為.12已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為a，則AC1與側(cè)面ABB1A1所成角的大小為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案30解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AA1所在直線為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，(0，a,0)，(0,0，a)，.設(shè)側(cè)面ABB1A1的法向量為n(x，y，z)，n0且n0.yz0.故n(x,0,0)cos，n，|cos，n|.又直線與平面所成的角在0，90范圍內(nèi)，AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30.三、解答題13.如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值考點(diǎn)向量法求直線與平面所成的角題點(diǎn)向量法求直線與平面所成的角解如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OBOC，OO1OC，OO1OB，以，為基底，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)锳BAA12，所以A(0，1，0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)(1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以P，從而，(0,2,2)，故|cos，|.因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為.(2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以Q，因此，(0,2,2)，(0,0,2)設(shè)n(x，y，z)為平面AQC1的一個(gè)法向量，則即不妨取n(，1,1)設(shè)直線CC1與平面AQC1所成的角為，則sin|cos，n|.所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為.14.如圖，在四棱錐EABCD中，平面EAD平面ABCD，DCAB，BCCD，EAED，AB4，BCCDEAED2.(1)證明：BD平面AED；(2)求平面ADE和平面CDE所成角(銳角)的余弦值考點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角題點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角(1)證明因?yàn)锽CCD，BCCD2，所以BD2.又因?yàn)镋AED，EAED2，所以AD2.又因?yàn)锳B4，由勾股定理知BDAD.又因?yàn)槠矫鍱AD平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面AED.(2)解如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OE，則OEAD.因?yàn)槠矫鍱AD平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD，所以O(shè)E平面ABCD.取AB的中點(diǎn)F，連接OF，則OFBD.因?yàn)锽DAD，所以O(shè)FAD.以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則D(，0,0)，C(2，0)，E(0,0，)，(，0)，(，0，)設(shè)平面CDE的法向量為n1(x，y，z)，則所以令x1，可得平面CDE的一個(gè)法向量n1(1,1，1)又平面ADE的一個(gè)法向量為n2(0,1,0)因此|cosn1，n2|.所以平面ADE和平面CDE所成角(銳角)的余弦值為.15.如圖，在四棱錐PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90.(1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM平面PBE，并說明理由；(2)若二面角PCDA的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)在梯形ABCD中，AB與CD不平行延長AB，DC，相交于點(diǎn)M(M平面PAB)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)理由如下：由已知得，BCED，且BCED.所以四邊形BCDE是平行四邊形從而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(2)由已知得，CDPA，CDAD，PAADA，PA，AD平面PAD，所以CD平面PAD.又PD平面PAD，所以CDPD.從而PDA是二面角PCDA的平面角所以PDA45.由PAAB，PACD，ABCDM，AB，CD平面ABCD，可得PA平面ABCD.設(shè)BC1，則在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2)，設(shè)平面PCE的法向量為n(x，y，z)，由得取x2，得n(2，2,1)設(shè)直線PA與平面PCE所成角為，則sin.所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.