2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì)案例 1.1 回歸分析學(xué)案 北師大版選修1 -2.docx

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1.1回歸分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)建立線性回歸模型分析兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系.2.掌握建立線性回歸模型的步驟知識(shí)點(diǎn)線性回歸方程思考(1)什么叫回歸分析？(2)回歸分析中，利用線性回歸方程求出的函數(shù)值一定是真實(shí)值嗎？答案(1)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法(2)不一定是真實(shí)值，利用線性回歸方程求的值，在很多時(shí)候是個(gè)預(yù)報(bào)值，例如，人的體重與身高存在一定的線性關(guān)系，但體重除了受身高的影響外，還受其他因素的影響，如飲食、是否喜歡運(yùn)動(dòng)等梳理(1)平均值的符號(hào)表示假設(shè)樣本點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，在統(tǒng)計(jì)上，用表示一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均值，即i；用表示一組數(shù)據(jù)y1，y2，yn的平均值，即i.(2)參數(shù)a，b的求法b，ab.(3)樣本點(diǎn)的中心(，)，回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心1現(xiàn)實(shí)生活中的兩個(gè)變量要么是函數(shù)關(guān)系，要么是相關(guān)關(guān)系()2散點(diǎn)圖能準(zhǔn)確判定兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系()3回歸直線不一定過(guò)樣本中的點(diǎn)，但一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心()類型一概念的理解和判斷例1有下列說(shuō)法：線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法；利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示；通過(guò)回歸方程ybxa可以估計(jì)觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì)；因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒(méi)有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D4考點(diǎn)回歸分析題點(diǎn)回歸分析的概念和意義答案C解析反映的正是最小二乘法思想，正確；反映的是畫(huà)散點(diǎn)圖的作用，正確；反映的是回歸方程ybxa的作用，正確；不正確，在求回歸方程之前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系跟蹤訓(xùn)練1下列變量關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是()學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間與學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系；某家庭的收入與支出之間的關(guān)系；學(xué)生的身高與視力之間的關(guān)系；球的體積與半徑之間的關(guān)系A(chǔ)BCD考點(diǎn)回歸分析題點(diǎn)回歸分析的概念和意義答案A解析對(duì)，學(xué)習(xí)時(shí)間影響學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，但是學(xué)生學(xué)習(xí)的刻苦程度、學(xué)生的學(xué)習(xí)方法、教師的授課水平等其他因素也影響學(xué)生的成績(jī)，因此學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間與學(xué)習(xí)成績(jī)之間具有相關(guān)關(guān)系；對(duì)，家庭收入影響支出，但支出除受收入影響外，還受其他因素影響，故它們是相關(guān)關(guān)系；對(duì)，身高與視力之間互不影響，沒(méi)有任何關(guān)系；對(duì)，球的體積由半徑?jīng)Q定，是一種確定性關(guān)系，故它們是函數(shù)關(guān)系類型二回歸分析例2某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程ybxa；(3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程解(1)如圖：(2)iyi6283105126158，9，4，6282102122344，b0.7，ab40.792.3，故線性回歸方程為y0.7x2.3.(3)由(2)中線性回歸方程可知，當(dāng)x9時(shí)，y0.792.34，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4.反思與感悟(1)求線性回歸方程的基本步驟列出散點(diǎn)圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系計(jì)算：，iyi.代入公式求出ybxa中參數(shù)b，a的值寫(xiě)出線性回歸方程并對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出估計(jì)(2)需特別注意的是，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸方程才有實(shí)際意義，否則求出的回歸方程毫無(wú)意義跟蹤訓(xùn)練2已知某地區(qū)410歲女孩各自的平均身高數(shù)據(jù)如下：年齡x/歲45678910身高y/cm100106112116121124130求y對(duì)x的線性回歸方程(保留兩位小數(shù))考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程解制表i1234567xi45678910yi100106112116121124130xiyi400530672812968111613007，371，iyi5798b4.82，ab4.82781.83.所以線性回歸方程為y81.834.82x.例3某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是30元/臺(tái)的小商品，在市場(chǎng)試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)x(x取整數(shù))(元)與日銷售量y(臺(tái))之間有如下關(guān)系：x35404550y56412811(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖，并判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)求日銷售量y對(duì)銷售單價(jià)x的線性回歸方程；(3)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為P元，根據(jù)(2)寫(xiě)出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測(cè)當(dāng)銷售單價(jià)x為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤(rùn)考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)回歸直線方程的應(yīng)用解(1)散點(diǎn)圖如圖所示，從圖中可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此兩個(gè)變量線性相關(guān)(2)因?yàn)?35404550)42.5，(56412811)34.iyi35564041452850115410.3524024525027350.所以b3.ab34(3)42.5161.5.所以線性回歸方程為y161.53x.(3)依題意，有P(161.53x)(x30)3x2251.5x4845324845.所以當(dāng)x42時(shí)，P有最大值，約為426元即預(yù)測(cè)當(dāng)銷售單價(jià)為42元時(shí)，能獲得最大日銷售利潤(rùn)反思與感悟解答線性回歸題目的關(guān)鍵是首先通過(guò)散點(diǎn)圖來(lái)分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求線性回歸方程的公式求解線性回歸方程，在此基礎(chǔ)上，借助線性回歸方程對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析跟蹤訓(xùn)練3一臺(tái)機(jī)器由于使用時(shí)間較長(zhǎng)，生產(chǎn)的零件有一些會(huì)缺損，按不同轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的零件有缺損的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128每小時(shí)生產(chǎn)缺損零件數(shù)y(件)11985(1)作出散點(diǎn)圖；(2)如果y與x線性相關(guān)，求出線性回歸方程；(3)若在實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)的產(chǎn)品中有缺損的零件最多為10個(gè)，那么，機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍？考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)回歸直線方程的應(yīng)用解(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖(2)設(shè)線性回歸方程為：ybxa，并列表如下：i1234xi1614128yi11985xiyi176126964012.5，8.25，660，iyi438，所以b0.73，a8.250.7312.50.875，所以y0.73x0.875.(3)令0.73x0.87510，解得x0時(shí)，y0不合題意，所以C錯(cuò)2如圖四個(gè)散點(diǎn)圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個(gè)變量的是()ABCD考點(diǎn)回歸分析題點(diǎn)回歸分析的概念和意義答案B解析由圖易知兩個(gè)圖中樣本點(diǎn)在一條直線附近，因此適合用線性回歸模型3下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的回歸直線必過(guò)點(diǎn)()x1234y1357A.(2,3) B(1.5,4)C(2.5,4) D(2.5,5)考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)樣本點(diǎn)中心的應(yīng)用答案C解析回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)中心(，)，即(2.5,4)4面對(duì)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的消費(fèi)市場(chǎng)，眾多商家不斷擴(kuò)大自己的銷售市場(chǎng)，以降低生產(chǎn)成本某白酒釀造企業(yè)市場(chǎng)部對(duì)該企業(yè)9月份的產(chǎn)品銷量x(單位：千箱)與單位成本y(單位：元)的資料進(jìn)行線性回歸分析，結(jié)果如下：，71，79，iyi1481，則銷量每增加1000箱，單位成本下降_元考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案1.8182解析由題意知，b1.8182，a71(1.8182)77.36，y關(guān)與x的線性回歸方程為y1.8182x77.36，即銷量每增加1千箱，單位成本下降1.8182元5已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x0123y1357(1)分別計(jì)算：，x1y1x2y2x3y3x4y4，xxxx；(2)已知變量x與y線性相關(guān)，求出線性回歸方程考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程解(1)1.5，4，x1y1x2y2x3y3x4y40113253734，xxxx0212223214.(2)b2，ab421.51，故線性回歸方程為y2x1.回歸分析的步驟(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是自變量，哪個(gè)變量是因變量(2)畫(huà)出確定好的因變量關(guān)于自變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如果呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程ybxa)(4)按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)一、選擇題1對(duì)變量x，y由觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對(duì)變量u，v由觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖(2)，由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()A變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)考點(diǎn)回歸分析題點(diǎn)回歸分析的概念和意義答案C解析由題圖(1)可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，x與y負(fù)相關(guān)；由題圖(2)可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，u與v正相關(guān)2某醫(yī)學(xué)科研所對(duì)人體脂肪含量與年齡這兩個(gè)變量研究得到一組隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，運(yùn)用Excel軟件計(jì)算得y0.577x0.448(x為人的年齡，y為人體脂肪含量)對(duì)年齡為37歲的人來(lái)說(shuō)，下面說(shuō)法正確的是()A年齡為37歲的人體內(nèi)脂肪含量為20.90%B年齡為37歲的人體內(nèi)脂肪含量約為21.01%C年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量約為20.90%D年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量約為31.5%考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案C解析當(dāng)x37時(shí)，y0.577370.44820.90120.90，由此估計(jì)，年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量約為20.90%.3已知變量x和y滿足關(guān)系y0.1x1，變量y與z正相關(guān)，下列結(jié)論中正確的是()Ax與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)Bx與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)Cx與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)Dx與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)考點(diǎn)回歸分析題點(diǎn)回歸分析的概念和意義答案A解析由正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的定義知A正確4某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個(gè)月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量(單位：萬(wàn)盒)的數(shù)據(jù)如下表所示：x(月份)12345y(萬(wàn)盒)55668若x，y線性相關(guān)，線性回歸方程為y0.7xa，估計(jì)該制藥廠6月份生產(chǎn)甲膠囊產(chǎn)量約為()A8.0萬(wàn)盒B8.1萬(wàn)盒C8.9萬(wàn)盒D8.6萬(wàn)盒考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案B解析回歸直線一定過(guò)樣本點(diǎn)中心由已知數(shù)據(jù)可得3，6，代入回歸方程，可得a0.73.9，即線性回歸方程為y0.7x3.9.把x6代入，可近似得y8.1，故選B.5工人月工資y(單位：元)關(guān)于勞動(dòng)生產(chǎn)率x(單位：千元)的回歸方程為y65080x，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是()勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資約為730元；勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元，則工資提高80元；勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元，則工資提高730元；當(dāng)月工資為810元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率約為2000元A1B2C3D4考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案C解析代入方程計(jì)算可判斷正確6某化工廠為預(yù)測(cè)某產(chǎn)品的回收率y，而要研究它和原料有效成分含量之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對(duì)觀測(cè)值，計(jì)算得i52，i228，478，iyi1849，則y與x的線性回歸方程是()Ay11.472.62xBy11.472.62xCy2.6211.47xDy11.472.62x考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程答案A解析由題中數(shù)據(jù)，得6.5，28.5，b2.62，ab28.52.626.511.47，y對(duì)x的線性回歸方程是y2.62x11.47，故選A.7為研究變量x和y的線性相關(guān)性，甲、乙二人分別作了研究，利用線性回歸方法得到回歸直線l1和l2，兩人計(jì)算知相同，也相同，下列正確的是()Al1與l2一定重合Bl1與l2一定平行Cl1與l2相交于點(diǎn)(，)D無(wú)法判斷l(xiāng)1和l2是否相交考點(diǎn)回歸直線方程題點(diǎn)樣本點(diǎn)中心的應(yīng)用答案C解析因?yàn)閮蓚€(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是，所以兩組數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)中心都是(，)，因?yàn)榛貧w直線經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，所以l1和l2都過(guò)(，)二、填空題8某校小賣部為了了解奶茶銷售量y(杯)與氣溫x()之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天賣出的奶茶杯數(shù)與當(dāng)天的氣溫，得到下表中的數(shù)據(jù)，并根據(jù)該樣本數(shù)據(jù)用最小二乘法建立了線性回歸方程y2x60，則樣本數(shù)據(jù)中污損的數(shù)據(jù)y0應(yīng)為_(kāi).氣溫x()1131018杯數(shù)yy0343824考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案64解析由表中數(shù)據(jù)易知10，代入y2x60中，得y40.由40，得y064.9調(diào)查某移動(dòng)公司的三名推銷員，其工作年限與年推銷金額的數(shù)據(jù)如下表所示.推銷員編號(hào)123工作年限x(年)3510年推銷金額y(萬(wàn)元)234由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程ybxa中的b.若該公司第四名推銷員的工作年限為6年，則估計(jì)他的年推銷金額約為_(kāi)萬(wàn)元考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案3解析6，3，由回歸直線經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)中心可知，該推銷員年推銷金額約為3萬(wàn)元10某人對(duì)一地區(qū)人均工資x(千元)與該地區(qū)人均消費(fèi)y(千元)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)y與x有相關(guān)關(guān)系，并得到線性回歸方程y0.66x1.562.若該地區(qū)的人均消費(fèi)水平為7.675千元，則估計(jì)該地區(qū)的人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為_(kāi)(精確到0.1%)考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案82.9%解析當(dāng)y7.675時(shí)，x9.262，所以該地區(qū)的人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為100%82.9%.11某數(shù)學(xué)老師身高為176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm,170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為_(kāi)cm.考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案183.5解析記從爺爺起向下各代依次為1,2,3,4,5，用變量x表示，其中5代表孫子各代人的身高為變量y，則有x1234y173170176182計(jì)算知2.5，175.25.由回歸系數(shù)公式得b3.3，ab175.253.32.5167，線性回歸方程為y3.3x167，當(dāng)x5時(shí)，y3.35167183.5，故預(yù)測(cè)其孫子的身高為183.5cm.三、解答題12從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得i80，i20，iyi184，720.(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程ybxa；(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄附：b，ab.考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用解(1)由題意，n10，i80，i20，8，2.又102720108280，iyi10184108224，由此得b0.3，ab20.380.4，故所求線性回歸方程為y0.3x0.4.(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b0.30)，故x與y之間是正相關(guān)(3)將x7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄約為y0.370.41.7(千元)13隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng)設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如下表：年份20102011201220132014時(shí)間代號(hào)t12345儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567810(1)求y關(guān)于t的回歸方程ybta；(2)用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年(t10)的人民幣儲(chǔ)蓄存款附：回歸方程ybta中，b，ab.考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程解(1)列表計(jì)算如下：itiyittiyi11515226412337921448163255102550153655120此時(shí)n5，i3，i7.2.又lttn25553210，ltyiyin120537.212，從而b1.2，ab7.21.233.6，故所求回歸方程為y1.2t3.6.(2)將t10代入回歸方程，可預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年的人民幣儲(chǔ)蓄存款為y1.2103.615.6(千億元)四、探究與拓展14某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求線性回歸方程ybxa，其中b20，ab；(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤(rùn)銷售收入成本)解(1)8.5，(908483807568)80.b20，ab，a80208.5250，線性回歸方程為y20x250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，則Lx(20x250)4(20x250)202361.25，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為元，才使工廠獲得的利潤(rùn)最大