九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第一章 特殊平行四邊形 2 矩形的性質(zhì)與判定（第3課時(shí)）矩形的性質(zhì)與判定的綜合練習(xí) 北師大版.doc

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1.2.3　矩形的性質(zhì)與判定的綜合 1．若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是矩形，則四邊形ABCD一定是(　 　) A．矩形 B．菱形 C．對(duì)角線互相垂直的四邊形 D．對(duì)角線相等的四邊形 2．如圖，在矩形ABCD中，BE，CE分別平分∠ABC和∠DCB，點(diǎn)E在AD上．①△ABE≌△DCE；②△ABE和△DCE都是等腰直角三角形；③AE＝DE；④△BCE是等腰三角形．以上結(jié)論正確的有(　 　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 3．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分別是∠BAC和∠BAC的外角的平分線，BE⊥AE. 求證：(1)DA⊥AE； (2)AC＝DE. 4．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形的周長(zhǎng)為16，則AE的長(zhǎng)是(　 　) A．3 B．4 C．5 D．7 5．[xx西城區(qū)二模]如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，連接OE. (1)求證：四邊形ABCD是矩形； (2)若AB＝2，求△OEC的面積． 6．如圖，在△ABC中，CE，CF分別平分∠ACB與它的鄰補(bǔ)角∠ACD，AE⊥CE于點(diǎn)E，AF⊥CF于點(diǎn)F，直線EF分別交AB，AC于M，N. (1)求證：四邊形AECF為矩形． (2)試猜想MN與BC的關(guān)系，并證明你的猜想． 參考答案 【分層作業(yè)】 1.　C　 2． D　 3．證明：(1)∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC． 又∵AE平分∠BAF， ∴∠BAE＝∠BAF. ∵∠BAC＋∠BAF＝180， ∴∠BAD＋∠BAE＝(∠BAC＋∠BAF)＝90， 即∠DAE＝90，故DA⊥AE. (2)∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90. ∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90. ∵∠DAE＝90，∴四邊形AEBD是矩形， ∴AB＝DE，∴AC＝DE. 4．　A　 【解析】 易證△AEF≌△DCE，∴AE＝CD．∵矩形的周長(zhǎng)為16，即2CD＋2AD＝16，∴CD＋AD＝8，∴AD－2＋AD＝8，∴AD＝5，∴AE＝AD－DE＝3. 5． 　　 答圖 解：(1)證明：∵AD∥BC， ∴∠ABC＋∠BAD＝180. ∵∠ABC＝90，∴∠BAD＝90， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90， ∴四邊形ABCD是矩形． (2)如答圖，作OF⊥BC于點(diǎn)F. ∵四邊形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC， ∴OF＝CD＝1. ∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90， ∴∠EDC＝45， ∴EC＝CD＝2， ∴△OEC的面積＝ECOF＝1. 6. 解：(1)證明：∵CE，CF分別平分∠ACB和∠ACD， ∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF， ∴∠ACE＋∠ACF＝(∠BCE＋∠ACE＋∠ACF＋∠DCF)＝180＝90. 又∵∠AEC＝∠AFC＝90， ∴四邊形AECF為矩形． (2)MN∥BC且MN＝BC．證明： ∵四邊形AECF為矩形，∴NE＝NC， ∴∠NEC＝∠ACE＝∠BCE，∴MN∥BC． 又∵AN＝CN，∴MN是△ABC的中位線， ∴MN＝BC且MN∥BC．