九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 期中期末串講 第82講 二次函數(shù)(二)課后練習(xí) （新版）蘇科版.doc

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第82講 期中期末串講—二次函數(shù)(二) 題一： 已知關(guān)于x的一元二次方程kx2+(3k+1)x+2k+1=0． (1)求證：該方程必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根； (2)若該方程只有整數(shù)根，求k的整數(shù)值； (3)在(2)的條件下，在平面直角坐標(biāo)系中，若二次函數(shù)y=(k+1)x2+3x+m與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B(A在B左側(cè))，并且滿足OA=2OB，求m的非負(fù)整數(shù)值． 題二： 已知：關(guān)于x的一元二次方程mx2－(3m－2)x+2m－2=0． (1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍； (2)在(1)的條件下，求證：無論m取何值，拋物線y=mx2－(3m－2)x+2m－2總過x軸上的一個(gè)固定點(diǎn)； (3)若m為正整數(shù)，且關(guān)于x的一元二次方程mx2－(3m－2)x+2m－2=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，把拋物線y=mx2－(3m－2)x+2m－2向右平移4個(gè)單位長度，求平移后的拋物線的解析式． 題三： 我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖所示，點(diǎn)A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－3)，AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為(1，0)，半圓半徑為2． (1)請(qǐng)你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍； (2)你能求出經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看； (3)開動(dòng)腦筋想一想，相信你能求出經(jīng)過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式． 題四： 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上的兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線成為“蛋線”．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，)，點(diǎn)M是拋物線C2：y=mx2－2mx－3m(m＜0)的頂點(diǎn)． (1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)“蛋線”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由； (3)當(dāng)△BDM為直角三角形時(shí)，求m的值． 第80講 期中期末串講—二次函數(shù)(二) 題一： 見詳解． 詳解：(1)△=b2－4ac=(3k+1)2－4k(2k+1)=(k+1)2≥0，∴該方程必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根； (2)x==，即，， ∵方程只有整數(shù)根，∴應(yīng)為整數(shù)，即應(yīng)為整數(shù)， ∵k為整數(shù)，∴k=1； (3)根據(jù)題意，k+1≠0，即k≠－1， ∴k=1，此時(shí)，二次函數(shù)為y=2x2+3x+m， ∵二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B(A在B左側(cè))， ∴△=b2－4ac=32－42m=9－8m＞0，m＜， ∵m為非負(fù)整數(shù)，∴m=0，1， 當(dāng)m=0時(shí)，二次函數(shù)為y=2x2+3x，此時(shí)A(，0)，B(0，0)，不滿足OA=2OB； 當(dāng)m=1時(shí)，二次函數(shù)為y=2x2+3x+1，此時(shí)A(－1，0)，B(，0)，滿足OA=2OB， ∴m=1． 題二： 見詳解． 詳解：(1)∵關(guān)于x的一元二次方程mx2－(3m－2)x+2m－2=0， 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴△=[－(3m－2)]2－4m(2m－2)=m2－4m+4=(m－2)2＞0， ∴m≠0且m≠2， 答：m的取值范圍是m≠0且m≠2． (2)令y=0得，mx2－(3m－2)x+2m－2=0，∴x1=1，， ∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，(，0)， ∴無論m取何值，拋物線y=mx2－(3m－2)x+2m－2總過x軸上的定點(diǎn)(1，0)， 即無論m取何值，拋物線y=mx2－(3m－2)x+2m－2總過x軸上的一個(gè)固定點(diǎn)； (3)∵x=1是整數(shù)，∴只需是整數(shù)， ∵m是正整數(shù)，且m≠0，m≠2，∴m=1， 當(dāng)m=1時(shí)，拋物線的解析式為y=x2－x， 把它的圖象向右平移4個(gè)單位長度，即y=(x－4)2－(x－4)， ∴y=x2－9x+20， 答：平移后的拋物線的解析式為y=x2－9x+20． 題三： 見詳解． 詳解：(1)根據(jù)題意，可得A(－1，0)，B(3，0)， 則設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x－3)(a≠0)， 又∵點(diǎn)D(0，－3)在拋物線上，∴a(0+1)(0－3)=－3，解得a=1， ∴y=x2－2x－3，自變量范圍－1≤x≤3； (2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C“蛋圓”的切線CE交x軸于點(diǎn)E，連接CM， 在Rt△MOC中，OM=1，CM=2，∴∠CMO=60，OC=， 在Rt△MCE中，MC=2，∠CMO=60，∴ME= 4， ∴點(diǎn)C、E的坐標(biāo)分別為(0，)，(－3，0)， ∴切線CE的解析式為； (3)設(shè)過點(diǎn)D(0，－3)，“蛋圓”切線的解析式為y=kx－3(k≠0)， 由題意，可知方程組只有一組解， 即kx－3=x2－2x－3有兩個(gè)相等實(shí)根，∴k=－2， ∴過點(diǎn)D“蛋圓”切線的解析式y(tǒng)=－2x－3． 題四： 見詳解． 詳解：(1)y=mx2－2mx－3m=m(x－3)(x+1)， ∵m≠0，∴當(dāng)y=0時(shí)，x1=－1，x2=3，∴A(－1，0)，B(3，0)； (2)設(shè)C1：y=ax2+bx+c，將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得： ，解得，故C1的解析式為y=x2－x－． 如圖，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交BC于Q， 由B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式為y=x－， 設(shè)P(x，x2－x－)，則Q(x，x－)， ∴PQ=x－－(x2－x－)=－x2+x， ∴△PBC的面積為=(－x2+x)3=－(x－)2+， 當(dāng)x=時(shí)，△PBC的面積有最大值，最大值為， 則()2－－=－，∴P(，－)； (3)y=mx2－2mx－3m=m(x－1)2－4m，頂點(diǎn)M坐標(biāo)(1，－4m)， 當(dāng)x=0時(shí)，y=－3m，∴D(0，－3m)，B(3，0)， ∴DM2=(0－1)2+(－3m+4m)2=m2+1， MB2=(3－1)2+(0+4m)2=16m2+4， BD2=(3－0)2+(0+3m)2=9m2+9， 當(dāng)△BDM為直角三角形時(shí)，有DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2， ①DM2+BD2=MB2時(shí)有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=－1，∵m＜0，∴m=1(舍去)； ②DM2+MB2=BD2時(shí)，有m2+1+16m2+4=9m2+9，解得m=－，m=(舍去)． 綜上，m=－1或－時(shí)，△BDM為直角三角形．