七年級數(shù)學(xué)下冊 培優(yōu)新幫手 專題21 從不同的方向看試題 （新版）新人教版.doc

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21　從不同的方向看 閱讀與思考 20世紀(jì)初，偉大的法國建筑家列柯爾伯齊曾說：“我想，到目前為止，我們從沒有生活在這樣的幾何時(shí)期，周圍的一切都是幾何學(xué)．” 生活中蘊(yùn)含著豐富的幾何圖形，圓的月亮，平的湖面，直的樹干，造型奇特的建筑，不斷移動、反轉(zhuǎn)、放大縮小的電視畫面……圖形有的是立體的，有的是平面的，立體圖形與平面圖形之間的聯(lián)系，從以下方面得以體現(xiàn)： 1．立體圖形的展開與折疊； 2．從各個(gè)角度觀察立體圖形； 3．用平面去截立體圖形． 觀察歸納、操作實(shí)驗(yàn)、展開想象、推理論證是探索圖形世界的基本方法． 例題與求解 【例1】如圖是一個(gè)正方體表面展開圖，如果正方體相對的面上標(biāo)注的值相等，那么＝＿＿＿＿． （四川省中考試題） 解題思路：展開與折疊是兩個(gè)步驟相反的過程，從折疊還原成正方體入手． 【例2】如圖，是由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體的三種視圖，那么搭成這個(gè)幾何體所用的小立方塊的個(gè)數(shù)是（　?。? 主視圖 左視圖 俯視圖 A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè) （四川省成都中考試題） 解題思路：根據(jù)三視圖和幾何體的關(guān)系，分別確定該幾何體的列數(shù)和每一列的層數(shù)． 【例3】由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖如圖． （1）請你畫出這個(gè)幾何體的一種左視圖； （2）若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為，求的值． 俯視圖 主視圖 （貴州省貴陽市課改實(shí)驗(yàn)區(qū)中考試題） 解題思路：本例可以在“腦子”中想象完成，也可以用實(shí)物擺一擺．從操作實(shí)驗(yàn)入手，從俯視圖可推斷左視圖只能有兩列，由主視圖分析出俯視圖每一列小正方形的塊數(shù)情況是解本例的關(guān)鍵，而有序思考、分類討論，則可避免重復(fù)與遺漏． 【例4】如圖是由若干個(gè)正方體形狀木塊堆成的，平放于桌面上．其中，上面正方體的下底面四個(gè)頂點(diǎn)恰是下面相鄰正方體的上底面各邊的中點(diǎn)，如果最下面的正方體的棱長為1，且這些正方體露在外面的面積和超過8，那么正方體的個(gè)數(shù)至少是多少？按此規(guī)律堆下去，這些正方體露在外面的面積和的最大值是多少？ （江蘇省常州市中考試題） 解題思路：所有正方體側(cè)面面積和再加上所有正方體上面露出的面積和，就是所求的面積．從簡單入手，歸納規(guī)律． 【例5】把一個(gè)正方體分割成49個(gè)小正方體（小正方體大小可以不等），請畫圖表示． （江城國際數(shù)學(xué)競賽試題） 解題思路：本例是一道圖形分割問題，解答本例需要較強(qiáng)的空間想象能力和推理論證能力，需要把圖形性質(zhì)與計(jì)算恰當(dāng)結(jié)合． 【例6】建立模型　18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題． （1）根據(jù)上面的多面體模型，完成表格中的空格： 多面體 頂點(diǎn)數(shù)（V） 面數(shù)（F） 棱數(shù)（E） 四面體 4 4 長方體 8 6 12 正八面體 8 12 正十二面體 20 12 30 你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是＿＿＿＿． （2）—個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8，且有30條棱，則這個(gè)多面體的面數(shù)是＿＿＿． （3）某個(gè)玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱．設(shè)該多面體外表面三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)，八邊形的個(gè)數(shù)為個(gè)，求的值． 解題思路：對于（1），通過觀察、歸納發(fā)現(xiàn)V，F(xiàn)，E之間的關(guān)系，并遷移應(yīng)用于解決（2），（3）． 模型應(yīng)用 如圖，有一種足球是由數(shù)塊黑白相間的牛皮縫制而成，黑皮為正五邊形，白皮為正六邊形，且邊長都相等，求正五邊形、正六邊形個(gè)數(shù)． （浙江省寧波市中考試題改編） 能力訓(xùn)練 A級 1．如圖是正方體的展開圖，則原正方體相對兩個(gè)面上的數(shù)字之和的最小值是＿＿＿． （山東省菏澤市中考試題） 第1題 主視圖 左視圖 俯視圖 第2題 左視圖 左視圖 第3題圖 2．由幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的視圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是＿＿＿＿． （湖北省武漢市中考試題） 3．—個(gè)長方體的左視圖、俯視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則其主視圖的面積為＿＿＿＿． （山東省煙臺市中考試題） 4．如圖，下列幾何體是由棱長為1的小立方體按一定規(guī)律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色），則第個(gè)幾何體中只有兩個(gè)面涂色的小立方體共有＿＿ 圖① 圖② 圖③ （山東省青島市中考試題） 5．一個(gè)畫家有14個(gè)邊長為1m的正方體，他在地面上把它們擺成如圖的形式，然后他把露出的表面都涂上顏色，那么被涂顏色的總面積為（　?。? A．19m2 B．41m2 C．33m2 D．34m2 （山東省煙臺市中考試題） 6．一個(gè)幾何體由一些大小相同的小正方體組成，如圖是它的主視圖和俯視圖，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 主視圖 俯視圖 （河北省中考試題） 7．從棱長為2的正方體毛坯的一角，挖去一個(gè)棱長為1的小正方體，得到一個(gè)如圖所示的零件，則這個(gè)零件的表面積是（　?。? A．20 B．22 C．24 D．26 （河北省中考試題） 8．我國古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計(jì)算方法．“牟合方蓋”是由兩個(gè)圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體．圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的主視圖是（　?。? 牟合方蓋 甲 主視方向 乙 （xx年溫州市中考試題） 9．5個(gè)棱長為1的正方體組成如圖的幾何體． （1）該幾何體的體積是＿＿＿＿（立方單位），表面積是＿＿＿＿（平方單位）； （2）畫出該幾何體的主視圖和左視圖． 正面 （廣州市中考試題） 10．用同樣大小的正方體木塊搭建的幾何體，從正面看到的平面圖形如圖①所示，從上面看到的平面圖形如圖②所示． （1）如果搭建的幾何體由9個(gè)小正方體木塊構(gòu)成，試畫出從左面看這個(gè)幾何體所得到的所有可能的平面圖形． （2）這樣的幾何體最多可由幾塊小正方體構(gòu)成？并在所用木塊最多的情況下，畫出從左面看到的所有可能的平面圖形． 圖① 圖② （“創(chuàng)新杯”邀請賽試題） B級 1．如圖，是一個(gè)正方體表面展開圖，請?jiān)趫D中空格內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使這個(gè)正方體相對兩個(gè)面上標(biāo)注的數(shù)值相等． （《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題） 2．如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖，若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為，則的所有可能的取值之和為＿＿＿＿． 主視圖 俯視圖 （江蘇省江陰市中考試題） 3．如圖是一個(gè)立方體的主視圖、左視圖和俯視圖，圖中單位為厘米，則立體圖形的體積為＿＿＿＿立方厘米． 主視圖 左視圖 左視圖 （“華羅庚金杯賽”試題） 4．若干個(gè)正方體形狀的積木擺成如圖所示的塔形，平放于桌面上，上面正方體的下底四個(gè)頂點(diǎn)是下面相鄰正方體的上底各邊中點(diǎn)，最下面的正方體棱長為1，如果塔形露在外面的面積超過7，則正方體的個(gè)數(shù)至少是（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 （江蘇省常州市中考試題） 5．由若干個(gè)單位立方體組成一個(gè)較大的立方體，然后把這個(gè)大立方體的某些面涂上油漆，油漆干后，把大立方體拆開成單位立方體，發(fā)現(xiàn)有45個(gè)單位立方體上任何一面都沒有漆，那么大立方體被涂過油漆的面數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 （“創(chuàng)新杯”邀請賽試題） 6．小明把棱長為4的正方體分割成了29個(gè)棱長為整數(shù)的小正方體，則其中棱長為1的小正方體的個(gè)數(shù)是（　?。? A．22 B．23 C．24 D．25 （浙江省競賽試題） 7．墻角處有若干大小相同的小正方體堆成如圖所示的立體圖形，如果你打算搬走其中部分小正方體（不考慮操作技術(shù)的限制），但希望搬完后從正面、從上面、從右面用平行光線照射時(shí)，在墻面及地面上的影子不變，那么你最多可以搬走多少個(gè)小正方體？ 上面 右面 （水平線） 正面 （江蘇省競賽試題） 8．一個(gè)長方體紙盒的長、寬、高分別是，，（＞＞）厘米．如圖，將它展開成平面圖，那么這個(gè)平面圖的周長最小是多少厘米？最大是多少厘米？ ① ② ⑦ ⑥ ④ ⑤ ③ （江蘇省競賽試題） 9．王老師將底面半徑為20厘米、高為35厘米的圓柱形容器中的果汁全部倒入如圖所示的杯子中，若杯口直徑為20厘米，杯底直徑為10厘米，杯高為12厘米，杯身長13厘米，問果汁可以倒?jié)M多少杯？ （世界數(shù)學(xué)團(tuán)體錦標(biāo)賽試題） 10．一個(gè)邊長為5厘米的正方體，它是由125個(gè)邊長為1厘米的小正方體組成的．.P為上底面ABCD的中心，如果挖去（如圖）的陰影部分為四棱錐，剩下的部分還包括多少個(gè)完整的棱長是1厘米的小正方體？ （深圳市“啟智杯”數(shù)學(xué)思維能力競賽試題） 專題21 從不同的方向看 例1　14　提示：2x＝8，y＝10，x＋y＝14． 例2　D 例3 (1)左視圖有以下5種情形： (2)n＝8，9，10，11． 例4正方體個(gè)數(shù)至少為4個(gè)．正方體露在外面的面積和的最大值為9． 提示:最下面正方體1個(gè)面的面積是1，側(cè)面露出的面積和是4，每相鄰兩個(gè)正方體中上面的1個(gè)正方體每個(gè)面的面積都正好是其下面正方體1個(gè)面面積的，所有正方體側(cè)面面積之和加上所有正方體的上面露出的面積和(正好是最下面正方體上底面的面積1)即是這些正方體露在外面的面積和．如：2個(gè)正方體露出的面積和是4＋＋1＝7，3個(gè)正方體露出的面積和是4＋＋＋1＝8，4個(gè)正方體露出的面積和是4＋＋＋＋1＝8，5個(gè)正方體露出的面積和是4＋＋＋＋＋1＝8，6個(gè)正方體露出的面積和是4＋＋＋＋＋＋1＝8，…… 故隨著小正方體木塊的增加，其外露的面積之和都不會超過9． 例5為方便起見，設(shè)正方體的棱長為6個(gè)單位，首先不能切出棱長為5的立方體，否則不可能分割成49個(gè)小正方體． 設(shè)切出棱長為1的正方體有a個(gè)，棱長為2的正方體有b個(gè)，如果能切出1個(gè)棱長為4的正方體，則有，解之得b＝14．不合題意，所以切不出棱長為4的正方體． 設(shè)切出棱長為1的正方體有a個(gè)，棱長為2的正方體有b個(gè)，棱長為3的正方體有c個(gè)， 則，解得a＝36，b＝9，c＝4， 故可分割棱長分別為1，2，3的正方體各有36個(gè)，9個(gè)，4個(gè)，分法如圖所示． 例6(1)6 6 V＋F－E＝2 (2)20 (3)這個(gè)多面體的面數(shù)為x＋y，棱數(shù)為＝36條．根據(jù)V＋F－E＝2，可得24＋(x＋y)－36＝2，∴x＋y＝24． 模型應(yīng)用 設(shè)足球表面的正五邊形有x個(gè)，正六邊形有y個(gè)，總面數(shù)F為x＋y個(gè)．因?yàn)橐粭l棱連著兩個(gè)面，所以球表面的棱數(shù)E為(5x＋6y)，又因?yàn)橐粋€(gè)頂點(diǎn)上有三條棱，一條棱上有兩個(gè)頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)數(shù)V＝(5x＋6y)＝(5x＋6y)． 由歐拉公式V＋F－E＝2得(x＋y)＋(5x＋6y)－(5x＋6y)＝2,解得x＝12． 所以正五邊形只要12個(gè)． 又根據(jù)每個(gè)正五邊形周圍連著5個(gè)正六邊形，每個(gè)正六邊形又連著3個(gè)正五邊形，所以六邊形個(gè)數(shù)＝20，即需20個(gè)正六邊形． A級 1．6 2．5 3．8 4．4(2n－1) 5．C 6．B 7．C 8．B 9(1)5 22 (2)略 10．(1) (2)11塊． B級 1．上空格填，下空格填2 2．38 3．2π 4．B 5．D提示:設(shè)大立方體的棱長為n，n>3，若n＝6，即使6個(gè)面都油漆過，未油漆的單位立方體也有43＝64個(gè)>45，故n＝4或5．除掉已漆的單位立方體后，剩下未漆的構(gòu)成一個(gè)長方體，設(shè)其長、寬、高分別為a，b，c，abc＝45，只能是335＝45，故n＝5． 6．C提示:若分割出棱長為3的正方體，則棱長為3的正方體只能有1個(gè)，余下的均是棱長為1的正方體，共37個(gè)不滿足要求．設(shè)棱長為2的正方體有x個(gè)，棱長為1的正方體有y個(gè)，則，得． 7．有不同的搬法．為保證“影子不變”，可依如下原則操作：在每一行和每一列中，除保留一摞最高的不動以外，該行(列)的其余各摞都搬成只剩最下面的一個(gè)小正方體．如圖所示，20個(gè)方格中的數(shù)字，表示5行6列共20摞中在搬完以后最終留下的正方體個(gè)數(shù)．照這樣，各行可搬個(gè)數(shù)累計(jì)為27，即最多可搬走27個(gè)小正方體． 8．要使平面展開圖的周長最小，剪開的七條棱長就要盡量小，因此要先剪開四條髙(因?yàn)閏最小)，再剪開一條長a厘米的棱(否則，不能展開成平面圖)，最后再剪開兩條寬b厘米的棱(如圖中所表示的①?⑦這七條棱)．由此可得圖甲，這時(shí)最小周長是c8＋b4＋a2＝2a＋4b＋8c厘米． 圖甲 圖乙 要使平面展開圖的周長最大，剪開的七條棱長就要盡量大，因此要先剪開四條最長的棱(長a)，再剪開兩條次長的棱(寬b)，最后剪開一條最短的棱(高c)，即得圖乙，這時(shí)最大周長是a8＋b4＋c2＝8a＋4b＋2c厘米． 9．如圖，由題意知AB＝12，CD＝13，AC＝12，BD＝13，過點(diǎn)D作DE垂直于AB于點(diǎn)E，則DE＝12，于是Rt△BDE中BE＝5． 延長AC，BD交于F，則由CD:AB＝5:10＝1:2知CF=12，AF=24 于是一個(gè)杯子的容積等于兩個(gè)圓錐的體積之差，即 而大容器內(nèi)果汁的體積是所以果汁可以倒?jié)M杯。 10． 剩下的部分：從上往下，第一層有個(gè)；第二層有個(gè)；第三層有個(gè)；第四層、第五層有0個(gè)，故共有56個(gè)完整的棱長是1厘米的小正方體。