外文翻譯中文版--反應(yīng)注射成型過程中熔體流動前沿的PETROV-GALERKIN有限元分析

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反應(yīng)注射 成型過程中 熔體 流動 前沿 的 摘要 : 在這篇 論文 里 我們 將描述 一種 在反應(yīng)注射成型技術(shù) 模具 充模 過程中用來 分析 熔體前沿 的 前進(jìn)還有 相關(guān)速度、壓力、轉(zhuǎn)化 和溫度 的概率函數(shù) 的數(shù)值 分析 方法。在 反應(yīng) 注射成型過程中，能量方程式中 的 對流 項 是主要的影響因素 。 因此，這種數(shù)值 分析 法 耦合利 用 消除偽振蕩 和 提高 計算的 準(zhǔn)確 度 。這種數(shù)值 分析 法的 另一個 特點 是 同時 通過運用表面參數(shù)化方法分析一些主要變量來 確定 流動 前沿 的位置 。 數(shù)值 分析的 結(jié)果與實驗 報告的 數(shù)據(jù)有很好的 一 致 性 。在 熔體 前沿 區(qū) 域 ， 用這種數(shù)值 分析 法 獲得的準(zhǔn)確 度 的提高 對 于 預(yù)計 在 反應(yīng) 注射成型中纖維的 走 向和 發(fā)泡 的 情況 是有幫助的 , 因為它們主要由 熔體 前沿 區(qū)域決定。 1、 緒論 反應(yīng)注射 成型 技術(shù) 廣泛應(yīng)用于 汽車 工 業(yè)制造外表儀表盤 。 在這種制法中 ,一種預(yù)聚的異氰酸酯和另一種多元醇 /胺的混合物被混合在一起 ,被 注射進(jìn) 模 具 ,然后 發(fā)生 聚合反應(yīng) 。 模具 充模 的 階段 ， 在 不斷 前進(jìn) 的 熔體前沿區(qū)域，噴泉效應(yīng) 在測定 液體 成分 的 停留時間和 最終產(chǎn)品 中 控制纖維 走 向 方面 扮演 了 重要角色 [1]體 流動 前沿 的方法 ,但是 會 產(chǎn)生 一個 具 有 挑戰(zhàn)性的 問 題 。 不斷轉(zhuǎn)化的流 體 區(qū)域與不斷前進(jìn)的 熔體前沿區(qū)域 在每個時間段都 需要 更新 數(shù)字 網(wǎng)格 和 預(yù)計 移動 的 邊界 。 材料的低熱傳導(dǎo)率 ,在 反應(yīng)注射 成型過程中 高 的 流動速率 和 快速的放熱 反應(yīng) 構(gòu) 成了對流 項 占 優(yōu) 的能量運輸方程式 ,它 需要特殊的數(shù)值處理 。 此外 ,內(nèi)壁附近的移動接觸線需要合適的邊界條件 ，這種邊界條件不會造成數(shù)值 的 不穩(wěn)定。 一種 混合 了 反應(yīng)注射 成型過程 中 所有這些 錯綜復(fù)雜特點的數(shù)值 分析 法 對于 熔體前沿 區(qū)域 的 準(zhǔn)確預(yù)測是 必 要的。 先前的研究既沒有使關(guān)于 熔體前沿 區(qū)域 的設(shè)想簡化 [2也 沒有將他們的 結(jié)果 同實驗相比較 [5， 6]。 在這篇文章中 ,我們將詳細(xì)介紹一種 數(shù)值 分析 法 ,這種方法 可以 處理 上面提到的錯綜復(fù)雜的問題 ； 我們還將 描述相關(guān)的成果 ， 以 數(shù)值 分析 法 為重點 (根據(jù)我們先前的工作成果 [7],主要 是 關(guān)于控制方程式和一些 結(jié) 果 的詳細(xì)討論 )。 這種 數(shù)值 分析 法無論是對流動前沿 的 模型還是對于 在 熔體 區(qū) 域 的 速率 概率函數(shù) 都 沒有做任何 先驗的假設(shè)。 我們使用 一種 被稱作 自由表面參數(shù) 化 的 方法 ，在這種方法中流動前沿 的 模型 與 其他領(lǐng)域的變量 被 同時 考慮 ，比如壓力、速率 和 轉(zhuǎn)化 率等 ， 通過 將 流動前沿 的表面 運動 邊界條件 合為一體 作為 控制方程式 之一 。 眾所周知 ， 傳統(tǒng) 的 限元 方法 在對流 占優(yōu)的 傳輸問題上會 產(chǎn)生數(shù)值的不穩(wěn)定。 雖然 造成的 偽振蕩一般可以 通過 精制 網(wǎng)格 來 消除， 但是，對于這里所 描述的瞬態(tài)問題， 精制網(wǎng)格 是種不切實際 而 且昂貴的 方法 。其他 可供選擇的 方法包括各種各樣的上風(fēng)法 [9特征 法 [6,13,14]， 還有 小 二乘法 。雖然保守的方法 ， 比如 特征 法和 小 二乘法 更準(zhǔn)確， 但是一種 簡單 的 風(fēng)法更易于實施也更有效 ， 特別是 針 對這個研究中發(fā)現(xiàn)的 瞬態(tài) 的問題。 因此， 這 種 方法在這里是適用的， 是 繼 9]之后 ，可以 消除 數(shù)值的 不穩(wěn)定 卻 不需要 求助 于 特別的 精制網(wǎng)格方法 ?？刂品匠淌皆诘诙糠謱⒆龊啙嵉年愂?，數(shù)值方法將在第三部分做詳細(xì)描述。在 一個 二維矩形 模具 里 ， 在 反應(yīng)注射 成型過程中 充模 階段 得到的 典型的結(jié)果 將 在第四部分 得到陳述。 得到的 結(jié)果還 將 和 實驗 報告的數(shù)據(jù) 、 還有用傳統(tǒng) 的 限元方法得到的數(shù)值結(jié)果 做了比較。 2、 控制方程式 反應(yīng)注射 成型過程中 的聚合反應(yīng)的總 的運動 速度表達(dá)式為 在這里 氰酸酯濃度， 度， 定氣體常量， 應(yīng)的數(shù)量級， 應(yīng)的活 化 量， 率常量。粘性取決于 轉(zhuǎn)化 率 和溫度， 模型 為 [2]。 在這個公式中 的轉(zhuǎn) 化率 ， 表示凝膠 點 轉(zhuǎn) 化 率 ， 和 對于恒定的熱特性 、 反應(yīng)混合物的密度 以及 可以忽略的分子擴(kuò)散，無量綱的控制方程式為 ： 連續(xù)性方程 為 動量守恒方程 為 分子 平衡方程 為 能量 守恒方程 為 在 這里 ， 表示 速度矢量， 表示 剪切速率 ， t 表示 時間， p 表示壓力， 表示無量綱的 比率 常量，定義 式 為指數(shù)函數(shù) 。方程式是無量綱的 ，使 用 平均速率 ，模具厚度的一半 H，溫度 ，模具入口的粘性 。所有的無量綱組和他們的定義在表 1 中列出。 無量綱 變量 的邊界條件為 1 在內(nèi)壁： （無滑動） ， 2 在中間 平面： 3，在入口處 ： 完全反應(yīng)流 體速度 ， 4，在接觸線 ： （完全滑動） 5，在 流動前沿 上 ： （力平衡）， （運動狀態(tài)） 表 1，控制方程式中的無量綱組， 為反應(yīng)熱， 為絕熱溫度的上升，脂最初濃度 在這里 ， 和 表示 速度矢量 的分量， n 表示 單位法向向量， 剪切應(yīng)力 ， h 表示 熔體流動前沿 的位置矢量， 表示 模具內(nèi)壁無量綱溫度。將邊界條件考慮到在數(shù)值分析中的具體細(xì)節(jié)將在下一部分做詳細(xì)解釋 。 3、 數(shù)值分析 在有限元分析 公 式中 未知 的 速度 、 溫度 、 和轉(zhuǎn)化擴(kuò) 展 為四次 基 的函數(shù) ，壓力 擴(kuò)展 為雙線 基 的函數(shù) ， 流動前沿模型 的 高 擴(kuò)展 為二次 基 函數(shù)： 在這里 ， 和 為等參變量變換式 的坐標(biāo)值，定義為 在 等參變量域（ ）。在 這里， 和分別 對應(yīng) 為速度值，壓力值，自由表面結(jié)點數(shù) 。變量的 未知結(jié)點系數(shù)和每個結(jié)點的 x 坐標(biāo)值取決于時間。值得 注意 的是四次 成分 （ v， p） 不滿足著名的 定性條件 [18， 19]， 因此， 這 會 造成 整體的 質(zhì)量平衡，但是不能保證局部的 元素 水平的質(zhì)量平衡。雖然一些 符合 定性條件的 經(jīng)過 綜合考慮 的 速度和壓力因素的組合已經(jīng) 被 發(fā)現(xiàn) [20， 21]， 但是， 他們的插值法模型在 有限元分析法 中 卻 是無效的。上述的 四次 基 成分 （ v，p） 沒有表現(xiàn)出 偽 壓力模態(tài) [22， 23]，并且被廣泛使用在有限數(shù)值穩(wěn)定性問題上。除此以 外 ， 法 有望增強(qiáng)數(shù)值的穩(wěn)定性 [24]。 所有結(jié)點 Y 坐標(biāo) 值 是固定的，而 X 坐標(biāo) 值 與自由表面的位置成比例。 熔體流動前沿 是 沿著 X 方向， 流動前沿 向前移動 ，然后流體膨脹。當(dāng)沿著 X 方向 成分的長度 超過到預(yù)先確定的值時 ， 通過在 流動前沿 方向上 將每個成分分割成相同大小的兩個 成分， 進(jìn)而生成 網(wǎng)格 。結(jié)點變量的插值法是簡單的，而且對于四次 基 的元素可以很快的計算。 在傳統(tǒng)的 限元 公式 中，他們的基 函數(shù) 在計算 流動前沿 區(qū) 域 的 殘值 控制方程時 是 作為 加權(quán) 函數(shù)。但是這種方法是不健全的。我們都知道當(dāng)式用于解決 對流占優(yōu)的 方程 式 時，會造成數(shù)值的不穩(wěn)定和 偽振蕩 。在 反應(yīng)注射 成型 過程 中 早期引入的能量方程式 中 對流 占主導(dǎo)地位。 一種 可供選擇的 方法 為 用 精制網(wǎng)格來消除偽振蕩 。但是，這種方法對于 含有大量未知因素 瞬態(tài)問題是不切實際的 ，比如此處已經(jīng)解決的一個 。其他可供選擇的方法 為 修改 加權(quán)函數(shù) ， 通過 引進(jìn)一個人為 耗散 系數(shù)。公式可以方便的改寫為更高階的 方程式 。 加權(quán)函數(shù) 公式為 在這里 ， 人為 耗散 系數(shù)通過公式 引進(jìn)， 取決于局部速度區(qū)域和 與各自的控制方程式相結(jié)合的 恰 當(dāng)?shù)?擴(kuò)散系數(shù) D。 的函數(shù)形式 以一維的 對流 25]， 函數(shù) 表達(dá)為 在這里， 表示 局部元素 的 ， 表示 元素 的 大小，為 三次多相式 。指數(shù) 與頂點結(jié)點數(shù)相一致， 與元素的重心結(jié)點數(shù)相一致。 標(biāo)準(zhǔn)的一維對流 例如 [25， 9] 在一個二維問題中，方程式 （ 10）和（ 11） 中張量的乘積提供了 在方程式（ 9）中描述過的加權(quán)函數(shù)中 公式 。 局部 三個結(jié)點為一組 計算，并且 以二維元素的相關(guān)邊界的平均速度為基礎(chǔ) [9]。 共 有六個這樣的組（三個在 X 方向，三個在 Y 方向），因此，有十二個上風(fēng)法參數(shù) 。 的計算包括線性距離，這種線性距離 基本上忽略 了 元素曲線的邊 界 。但是， 它 是個 很 好的 粗略估計的 方法 ， 因為在我們研究的問題上 使用此方法時 流動前沿 很少被損壞。 擴(kuò)散系數(shù) 在能量方程式中為 ，在動量方程式中為 。 權(quán)殘 值 方程式為 ， 在這里， V 是流動 領(lǐng)域， S 為流動邊界。邊界條件出現(xiàn)的能量和動量方程式中因為發(fā)散定理適用于較高階 方程式 。 殘差 和 分別相 當(dāng)變量 和 。 權(quán)函數(shù)僅用于動量和能量方程式 ， 因為在這些方程式中 有 對流 項 的出現(xiàn)。在對上面的方程式用九點 積分法求積分前，方程式被映射在 等參變量 域 （詳細(xì)的根據(jù) [26]）， 并且 邊界條件是適用的。 在內(nèi)壁的 必要邊界條件 V，和 T，模具入口的 V， T 和 X，在中間平面（對稱軸） 的 在方程式中替代邊界條件是適用的。自然邊界條件 ，即在中間平面的對稱性條件， 在接觸點完全滑動（零摩擦）的情況 下，在自由表面零作 用力，在替換殘 值 方程式中的邊界條件是適用的。 流動前沿 的動態(tài)邊界條件 被 包含在控制方程式中 ，目的是 用來預(yù)計 流動前沿 的位置。能量方程式的弱形式 通過求邊界條件的值 被 擴(kuò)展 為 流動前沿 的邊界，而不是強(qiáng)加任何未知的必要的或自然的邊界條件 [27]。 這種 “ 自由邊界條件 ” 正如 預(yù)示的那樣 ， 至少對于各種各樣類型的蠕動流， 在全部可能的選擇中 ， 將 起作用的能量減到最小，而且 這些自由邊界條件 在一些應(yīng)用中已經(jīng) 被 成功使用，包括那些含有高雷諾數(shù)的應(yīng)用 。 空間的離散化將 由 時間 決定 的方程式 （ 12） — （ 16）簡化為普通的微分方程， 在這里， 表示 所有結(jié)點未知量的矢量，比如壓力，沿著 X 和 Y 方向的速度，溫度， 轉(zhuǎn)化 ，和 流動前沿 的位置。矩陣 M 是質(zhì)量矩陣， R 表示殘余矢量。對時間的導(dǎo)數(shù)用一種標(biāo)準(zhǔn)的 一階 的方法離散。 值得注意的是瞬態(tài)導(dǎo)數(shù) 需要 根據(jù) 移動 的 網(wǎng)格 調(diào)整 ，根據(jù) 在這里， 左邊表示變量根據(jù)時間的局部變化，右邊 第一個 表示變量根據(jù)時間的總的變化，同時右邊的第二個變量表示 由于移動有限元柵格 所引起 的傳導(dǎo)性的變化。 當(dāng)方程式 [19]替換進(jìn)方程式 [18]時 ， 我們可以獲得 方程式的非線性的代數(shù)系統(tǒng)。這些方程式 可以通過 牛頓 迭代 法解決。因為在這些 方程式中 流動前沿 的位置是未知量，我們在根據(jù) 流動前沿 位置獲得殘 值 方程式的導(dǎo)數(shù) 的時候必須小心 ，因為等參 變 量 映射 的 雅可比矩陣 也取決于這些位置。直線方程式用 直接的數(shù)值 方法解決 [29]。 網(wǎng)格 在每次 迭代 時 都 要 用 新發(fā)現(xiàn)的 流動前沿 的 位置值 來更新 ， 這些位置值 同時也由其他變量限定。在牛頓疊代 法中 ， 前 一 個時間段的結(jié)果 是 作為下一個時間段 迭代 的 初始值 。 計算在一臺 000 機(jī)器上進(jìn)行。 在所有的計算中， 一個無量綱的時間段為 同時 沿著橫向方向的 七種 成分（在內(nèi)壁附近有更好的 網(wǎng)格分布 ）對于 給出不依賴 精制網(wǎng)格 和時間段大小的 解法 是足夠的。沿著 X 方向的 一種 成分的最初長度為 成分 的長度超過 網(wǎng)格重新 生 成 。 4， 結(jié)果 流動前沿 的 頂端軸向速度 應(yīng)該 與 流動前沿 的平均速度相等。在我們所有的計算中，無量綱的軸向速度 等于 許 有 誤差。在數(shù)值計算時， 反應(yīng)速率可以 設(shè)定 為零。如果模具溫度與物質(zhì)的溫度相同，結(jié)果模擬 的 應(yīng)該是 等溫注射成型過程。這個 模擬中 流動前沿 的 模型 與 早期 報道的關(guān)于牛頓液體的注射成型 研究 的 模型 是 相同 的 。 通過將結(jié)果與矩形模具的入口處實驗壓力上升的數(shù)值 [2]相比較， 數(shù)值結(jié)果進(jìn)一步 被證實 。 和 在他們的報告 中描述了 兩種聚氨基甲 酸脂注射成型系統(tǒng)的流動 特性 和熱特性。 根據(jù)他們 的 三個 實驗，這些實驗包含了這些在不同的 充模 時間的注射成型系統(tǒng)， 我們演示了三種數(shù)值實驗 （詳細(xì)的根據(jù) 試驗中 數(shù)值運行 時 充模 的時間是相同的，矩形模具的高寬 比保持 在 25， 以便于節(jié)約計算時間。 當(dāng)高寬比與平均速度成比例增加，同時保持 充模 時間為常數(shù) 時 ，速度 、 溫度和轉(zhuǎn)化在數(shù)值結(jié)果 上變化小 于 5%。預(yù)計壓力上升數(shù)據(jù)根據(jù)實驗調(diào)查 研究選擇 適當(dāng)?shù)母邔挶壤L制 在圖中 。 在矩形模具入口處 實際 測量的 壓力上升值 和預(yù)計的壓力上升 值 的對比表示在 圖 1 中 。值得注意的是 開始的兩 個實驗 中 粘性的上升是邊 緣的 ， 因為 充模 的 時間遠(yuǎn)小于凝膠時間。因此，模具入口處壓力的上升是線性的且能代表 模具充滿 的長度。但是，注射速度在第三個實驗中慢的多。因此，在 充模的 過程中粘 度 的上升是 充分 的， 而且壓力上升的曲線也不是線性的。在所有的這些情況中，預(yù)計的 結(jié)果 和實驗的數(shù)據(jù) 都 有了很好的 一致 性 。實際上，預(yù)計 值 比實驗 #3 中的值 能 更好使用我們的模型， 因為 在實驗 #3 中， 充模 的 過程 發(fā)生了 大范圍的 反應(yīng) 。這些 較 好的一致 性 或許是 由于 流動前沿 的準(zhǔn)確模擬，還有，在 較 厚的模型里熱傳輸 的模擬 沒有做任何的簡化假定。 表 2：數(shù)值實驗摘要，在這里， 表示最大的轉(zhuǎn)化率 ， 表示最高溫度，表示 模具 充模 結(jié)束時的最低溫度 實驗 圖 1、用符號代表的 實驗 數(shù)據(jù)與用直線代表的預(yù)計值的比較 方法和傳統(tǒng)的 法準(zhǔn)確性 的比較在圖 2。在這張圖中， 當(dāng) 流動前沿 到達(dá)模具底部時，沿著 流動前沿 方向在不同的橫截位置 ， 兩個公式的溫度特性被繪制在圖中。當(dāng)用傳統(tǒng)的 式獲得溫度特性時，在 流動前沿 附近 所有的橫截位置 都 發(fā)現(xiàn)了嚴(yán)重的 偽振蕩 。當(dāng) 用 完全相同的 精制網(wǎng)格 時 ， 這些振 蕩 消失。因此，在 反應(yīng)注射 成型 中 流 動前沿 的計算 準(zhǔn)確 性 方面 法 更具有明顯的 優(yōu)越性。 圖 2、對于實驗 #3， 在流動前沿的 不同的橫截位置，用 個公式獲得的溫度特性 的比較 。 最后，根據(jù)實驗 #1 和 #3，在 充模 結(jié)束時 的 熔體前沿 代表性的結(jié)果用圖表 表示在圖 3 中。當(dāng)物 料 在模具里前進(jìn) 時 ，最高溫度從內(nèi)壁移到中間，由于反應(yīng)中的熱量的漸進(jìn) ， 它不能被傳導(dǎo)消除。轉(zhuǎn)化 率 跟隨溫度特性 變化 。但是，粘性 主要 取決于轉(zhuǎn)化 過程 ， 因為 靠近內(nèi)壁的溫度的 上升沒有足夠 快 到 能夠補(bǔ)償由于更 快反應(yīng)造成的粘性上升。因此， 在 靠近內(nèi)壁 處 流體 存在更多的阻力。這種 噴泉效應(yīng) 在實驗 #3 熔體 前沿 的 剖面處 是明顯的。同先前的猜想 作 對比 [2， 4]，這些 流動前沿是不平整的， 它們 可以 從實驗觀察資料中得到的 [1]。 圖 3， 在實驗 #1 和 3 中 充模 結(jié)束前的 流動前沿模型 的預(yù)計 5，結(jié)論 在反應(yīng)注射成型過程中 ， 熔體前沿區(qū)域的準(zhǔn)確預(yù)計在纖維的走向和發(fā)泡情況預(yù)測方面起著主要作用。 在 這個模型中 綜合了以下 三個重要特性 ， 準(zhǔn)確性 從而 得到了 提高。 法 而不是傳統(tǒng)的 法，這樣可以避免在能量方程式 中 由于對流項占優(yōu) 造成 的 偽振蕩 。 由表面的 運動 邊界條件 合并為一體 作為一個 控制方程式 ， 因此， 通過用自由表面參數(shù) 化方法同時分析其他變量來確定流動熔體模型。 通過將 數(shù)值結(jié)果 同實驗壓力上升數(shù)值比較 ，證明他們的結(jié)果 是正確的 。結(jié)果同實驗 有 很好的一致 性 ，甚至接近于凝膠點。 在 法中 在 靠近 熔體前沿區(qū) 域 發(fā) 現(xiàn) 了 偽 振 蕩 ， 但 可 以 用 法 消除 ， 因此法 在 反應(yīng)注射 成型準(zhǔn)確預(yù)計 方面 更有優(yōu)越性 。