蘇教版高三數(shù)學復習課件7.2空間幾何體的表面積和體積.ppt

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第2課時空間幾何體的表面積和體積,了解球、柱體、錐體、臺體的表面積和體積的計算公式(不要求記憶公式),【命題預測】1．表面積在高考中出現(xiàn)的頻率較高，多以填空題出現(xiàn)，在計算題或解答題中出現(xiàn)時，往往與其他知識相結合，綜合性較強，難度適中．2．體積在高考中是熱點，也是難點，要求立體思維能力強，空間想象力豐富，常常結合三角函數(shù)、面積等知識綜合考查，題型靈活多樣．,【應試對策】1．棱柱、棱錐、棱臺的側面積公式是由側面展開圖得到的，不要死記硬背，計算時應根據(jù)側面展開圖的特點進行計算．注意區(qū)分所求的是側面積還是表面積，還要認清所求的幾何體是柱、錐，臺中的哪一類．對棱柱、棱錐和棱臺的側面積公式的內(nèi)在聯(lián)系必須明確，這樣有利于認識這三個幾何體的本質，也有利于區(qū)分這三個幾何體．,2．在求解空間幾何體的表面積等問題時，常將空間幾何體的表面展開，化曲為直，將空間圖形問題轉化為平面圖形問題，這是解決立體幾何問題的常用方法．研究柱、錐、臺表面積的關鍵是明確它們的平面展開圖的形狀．認識了側面展開圖的形狀，自己就可以得出側面積公式了．對于能用公式直接求柱、錐、臺體與球的表面積的問題，要結合它們的結構特點與平面幾何知識來解決．,3．求組合體的面積或體積，首先要弄清它是由哪些基本幾何體構成，然后將其轉化為這些簡單幾何體的表面積或體積之和．關于體積問題為簡單問題；一是利用分割、拼補的技巧化復雜問題為簡單問題；二是利用等積的技巧，利用體積作為中間量溝通有關元素之間的關系，從而完成計算．,【知識拓展】1．棱錐與平行于底面的截面的一個性質棱錐與平行于底面的截面所構成的小棱錐中，有如下比例性質：＝對應線段(如高、斜高、底面邊長等)的平方比．,1．直棱柱、正棱錐、正棱臺的概念，側面展開圖及側面積平面展開圖：一些簡單的多面體可以沿著多面體的某些棱將它剪開而成平面圖形，這個平面圖形叫做該多面體的平面展開圖，展開圖的面積稱為多面體的表面積(或全面積).,,,,直棱柱,正棱柱,正棱錐,,正棱臺,,ch,,,,2.旋轉體的表面積公式(1)圓柱的側面積S＝(其中r為底面半徑，l為母線長)．(2)圓錐的側面積S＝(其中r為底面半徑，l為母線長)．(3)圓臺的側面積公式S＝(其中r′，r為上、下底面半徑，l為母線長)．(4)球的表面積公式S＝(其中R為球半徑)．,2πrl,πrl,π(r＋r′)l,4πR2,3．幾何體的體積公式(1)柱體的體積公式V＝(其中S為底面面積，h為高)．(2)錐體的體積公式V＝(其中S為底面面積，h為高)．(3)臺體的體積公式V＝(其中S′，S為上、下底面面積，h為高)．(4)球的體積公式V＝(其中R為球半徑)．,Sh,探究：對于不規(guī)則的幾何體應如何求其體積？提示：對于求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補的方法，轉化成已知體積公式的幾何體進行解決．雖說在某些情況下，割補法優(yōu)于整體法，但是一般情況下，還是應該先對問題進行整體思考．,1．(2010栟茶中學學情分析)正方體中，連接相鄰兩個面的中心的連線可以構成一個美麗的幾何體．若正方體的邊長為1，則這個美麗的幾何體的體積為________．答案：,2．圓柱的側面展開圖是邊長為6π和4π的矩形，則圓柱的全面積為________．答案：6π(4π＋3)或8π(3π＋1),3．已知某球的體積大小等于其表面積大小，則此球的半徑是________．解析：設球的半徑為R，則πR3＝4πR2，∴R＝3.答案：3,4．(2010江蘇連云港市高考模擬)在一個密封的容積為1的透明正方體容器內(nèi)裝有部分液體．如果任意轉動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是________．答案：,1．多面體的展開圖：(1)直棱柱的側面展開圖是矩形．(2)正棱錐的側面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形．(3)正棱臺的側面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形．,2．旋轉體的展開圖：(1)圓柱的側面展開圖是矩形，矩形的長是底面圓周長，寬是圓柱的母線長．(2)圓錐的側面展開圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線長，弧長是圓錐的底面周長．(3)圓臺的側面展開圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長分別為圓臺的上、下底面周長．,【例1】如圖，已知圓柱的高為80cm，底面半徑為10cm，軸截面上有P、Q兩點，且PA=40cm，B1Q=30cm，若一只螞蟻沿著側面從P點爬到Q點，問螞蟻爬過的最短路徑是多少？思路點撥：把圓柱的側面展開，這樣就把求最短路徑轉化成了求展開圖上線段的長度．,解：將圓柱側面沿母線AA1展開，得到右圖的矩形．所以A1B1=2πr=πr=10π(cm)．作QS⊥AA1于點S，在Rt△PQS中，PS=80-40-30=10(cm)，QS=A1B1=10π(cm)∴PQ=(cm)即螞蟻爬過的最短路徑是10cm.,變式1：如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a>b>c>0.求沿著長方體的表面自A到C1的最短線路的長．解：將長方體相鄰兩個面展開有下列三種可能，如下圖所示．,1．多面體的表面積是各個面的面積之和．圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和．2．組合體的表面積應注意重合部分的處理．,【例2】(2009福建)如右圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60，AB=2，AD=4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求證：AB⊥DE；(2)求三棱錐E—ABD的側面積．證明：(1)在△ABD中，∵AB=2，AD=4，∠DAB=60，∴BD=∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD=BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面EBD.又∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE.,(2)解：由(1)知AB⊥BD，∵CD∥AB，∴CD⊥BD，從而DE⊥BD，在Rt△DBE中，∵DB=2，DE=DC=AB=2，∴S△BDE=DBDE=2.又∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE=BC=AD=4，∴S△ABE=ABBE=4，∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD，而AD?平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE=ADDE=4綜上，三棱錐E—ABD的側面積S=8+2.,如右圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長和側棱長均為a，且∠A1AC=∠A1AB=60.(1)求證：四邊形BCC1B1為矩形；(2)求三棱柱ABC—A1B1C1的側面積和體積．,變式2：,解：(1)證明：證法一：連結A1B、A1C，取BC的中點D，連結AD、A1D，由AB=AC=AA1，如右圖①，且∠A1AC=∠A1AB=60知△A1AB≌△A1AC，則A1B＝A1C，∴A1D⊥BC，又AD⊥BC.因此BC⊥平面A1AD，則BC⊥AA1，又BB1∥AA1，則BB1⊥BC，因此?BCC1B1是矩形．,證法二：如右圖②，取BC的中點D，作A1O⊥平面ABC由∠A1AB＝∠A1AC＝60知，垂足O∈AD.∵AB＝AC，則AD⊥BC，根據(jù)三垂線定理得AA1⊥BC，又BB1∥AA1，∴BB1⊥BC，即?BCC1B1為矩形．(2)如右圖②，作BE⊥AA1垂足為E，連結CE，∵∠EAB＝60，則E為AA1的中點，又△ABE≌△ACE，則CE⊥AA1，又BE＝CE＝AB＝a，則S側面積＝(BE＋CE＋BC)AA1＝(＋1)a2三棱柱的體積V＝S△BECAA1＝a3.,(1)計算多面體的體積，基礎仍是多面體中一些主要線段的關系，要求概念清楚，點、線、面的位置關系要明確，關鍵是正確地計算其底面面積和相應的高．(2)在計算多面體體積時要注意割補法和等積變換的應用．(3)計算旋轉體的體積關鍵是計算半徑和高度．,【例3】圓臺的上、下底面面積分別為4和16，中截面把圓臺分成兩部分，試求這兩部分的體積之比．思路點撥：中截面把圓臺分成兩個圓臺，分別求出兩個圓臺的體積即可得出比值．,解：設這兩部分的體積分別為V1，V2，圓臺的高為2h，上、下底面的面積之比為，∴上、下底面的半徑之比為，∴截得圓臺的大圓錐的高為4h，設截得圓臺的大圓錐被圓臺上底面截下的小圓錐的體積為V，則，∴V1＝V.,變式3：如圖所示，三棱臺ABC—A1B1C1中，AB∶A1B1=1∶2，則三棱錐A1—ABC，B—A1B1C，C—A1B1C1的體積之比為.解析：設棱臺的高為h，S△ABC=S，則S△A1B1C1=4S.答案：1∶2∶4,【規(guī)律方法總結】1．應注意各個公式的推導過程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺體中的直角梯形等特征圖形在公式推導中的作用．2．如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺，在求其側面積或全面積時，應對每一個側面的面積分別求解后再相加．,3．圓柱的側面展開圖是矩形，兩邊為底面周長和母線；圓錐的側面展開圖是扇形，弧長為底面周長，半徑為母線長；圓臺的側面展開圖是扇環(huán)，兩弧長為兩底面周長，腰為母線長．,4．常用的幾個思想方法(1)還臺為錐的思想：這是處理臺體時常用的思想方法．(2)割補法：求不規(guī)則圖形面積或幾何體體積時常用．(3)等積變換法：充分利用三棱錐的任意一個面都可作為底面的特點，靈活求解三棱錐的體積．(4)截面法：尤其是關于旋轉體及與旋轉體有關的組合體問題，常畫出軸截面進行分析求解.,【例4】如圖所示的△OAB繞x軸和y軸各旋轉一周，各自會產(chǎn)生怎樣的幾何體，分別計算其表面積.,【錯因分析】解本題易出現(xiàn)的主要錯誤有：(1)錯誤判斷幾何體的形狀，如繞x軸旋轉時漏掉了線段OB所產(chǎn)生的圓面，這樣計算時就少了這個圓的面積；(2)用錯旋轉體的面積計算公式，特別是圓臺的側面積公式，導致運算結果錯誤．,【答題模板】解：繞x軸旋轉一周形成的空間幾何體是一個上下底面半徑分別為2,3，高為3的圓臺，挖去了一個底面半徑為3，高為的3圓錐，如圖(1)所示，其表面積是圓臺的半徑為2的底面積、圓臺的側面積、圓錐的側面積之和．圓臺的母線長是，圓錐的母線長是3，故其表面積S1＝π22＋π(2＋3)＋π33＝(4＋5＋9)π；繞y軸旋轉一周所形成的空間幾何體是一個大圓錐挖去了一個小圓錐，,如圖(2)所示，此時大圓錐的底面半徑為3，母線長為3，小圓錐的底面半徑為3，母線長為，這個空間幾何體的表面積是這兩個圓錐的側面積之和，故S2＝π33＋π3＝(9＋3)π.,旋轉體的面積公式圓柱：S全＝2πr2＋2πrh(r為底面半徑，h為高或母線長)；圓錐：S全＝πr2πrl(r為底面半徑，l為母線長)；圓臺：S全＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r為下底半徑，r為上底半徑，l為母線長)；球：S球＝4πR2(R為球的半徑)．在解決面積計算問時，一要看準計算的是全面積還是側面積，二要準確地利用公式，防止出現(xiàn)誤用公式.,1．一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3，則此球的表面積為________．解析：由球與長方體的關系可知，球的直徑為長方體的對角線，即2R＝，從而S球＝4πR2＝14π.答案：14π,2．如圖所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為a的正三角形，側棱長等于b，一條側棱AA1和底面相鄰兩邊AB、AC都成45角，求這個三棱柱的側面積．解：求斜棱柱的側面積一般有兩種方法：一是定義法；一是公式法．,∵AA1和底面AB、AC成等角，且為45角，∴A1在底面ABC上的射影在∠BAC的平分線AG上，又△ABC為正三角形，∴AG⊥BC.∵A1A在底面ABC上的射影在AG上，∴BC⊥A1A.又A1A∥B1B，∴B1B⊥BC，即側面B1BCC1為矩形．∴SB1BCC1＝B1BBC＝ab.又側面A1ABB1和側面A1ACC1都是平行四邊形，且全等，∴SA1ABB1＝SA1ACC1＝A1AABsin45＝ab，∴S側＝(＋1)ab.,