2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算練習(xí) 文.doc

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3.1　導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 考綱解讀 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 要求 高考示例 ?？碱}型 預(yù)測(cè)熱度 1.導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景 2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 Ⅱ 2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,14; 2017天津,10; 2016山東,10; 2015課標(biāo)Ⅰ,14; 2015課標(biāo)Ⅱ,16 選擇題、 填空題 ★★★ 2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 1.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=1x,y=x2,y=x3,y=x的導(dǎo)數(shù) 2.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù) Ⅲ 2016天津,10; 2015天津,11 選擇題、 解答題 分析解讀 本部分主要是對(duì)導(dǎo)數(shù)概念及其運(yùn)算的考查,以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式和運(yùn)算法則為基礎(chǔ),以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為重點(diǎn). 1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義最常見(jiàn)的是求過(guò)曲線上某點(diǎn)的切線的斜率、方程、斜率與傾斜角的關(guān)系、切點(diǎn)的坐標(biāo),或以平行、垂直直線的斜率間的關(guān)系為載體求字母的取值等. 2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是每年必考的內(nèi)容,一般不單獨(dú)考查,而在考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時(shí)與單調(diào)性、極值與最值結(jié)合出題考查. 3.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為5分左右,屬于容易題. 五年高考 考點(diǎn)一　導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義 1.(2016山東,10,5分)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則稱(chēng)y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是(　　) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 答案　A　 2.(2014陜西,10,5分)如圖,修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分,則該函數(shù)的解析式為(　　) A.y=12x3-12x2-x B.y=12x3+12x2-3x C.y=14x3-x D.y=14x3+12x2-2x 答案　A　 3.(2017天津,10,5分)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-ln x的圖象在點(diǎn)(1, f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為　　　　. 答案　1 4.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,14,5分)曲線y=x2+1x在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為　　　　　　. 答案　x-y+1=0 5.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,16,5分)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí), f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是　　　　. 答案　y=2x 6.(2015課標(biāo)Ⅰ,14,5分)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖象在點(diǎn)(1, f(1))處的切線過(guò)點(diǎn)(2,7),則a=　　　　. 答案　1 7.(2015課標(biāo)Ⅱ,16,5分)已知曲線y=x+ln x在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=　　　　. 答案　8 8.(2014江西,11,5分)若曲線y=xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是　　　　. 答案　(e,e) 教師用書(shū)專(zhuān)用(9—15) 9.(2014廣東,11,5分)曲線y=-5ex+3在點(diǎn)(0,-2)處的切線方程為　　　　　　　. 答案　5x+y+2=0 10.(2013江西,11,5分)若曲線y=xα+1(α∈R)在點(diǎn)(1,2)處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則α=　　　　. 答案　2 11.(2013廣東,12,5分)若曲線y=ax2-ln x在點(diǎn)(1,a)處的切線平行于x軸,則a=　　　　. 答案　12 12.(2015山東,20,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)ln x,g(x)=x2ex.已知曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1))處的切線與直線2x-y=0平行. (1)求a的值; (2)是否存在自然數(shù)k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由; (3)設(shè)函數(shù)m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的較小值),求m(x)的最大值. 解析　(1)由題意知,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1))處的切線斜率為2, 所以f (1)=2, 又f (x)=ln x+ax+1,所以a=1. (2)k=1時(shí),方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根. 設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-x2ex, 當(dāng)x∈(0,1]時(shí),h(x)<0. 又h(2)=3ln 2-4e2=ln 8-4e2>1-1=0, 所以存在x0∈(1,2), 使得h(x0)=0. 因?yàn)閔(x)=ln x+1x+1+x(x-2)ex, 所以當(dāng)x∈(1,2)時(shí),h(x)>1-1e>0, 當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),h(x)>0, 所以當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h(x)單調(diào)遞增. 所以k=1時(shí),方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根. (3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根x0, 且x∈(0,x0)時(shí), f(x)g(x), 所以m(x)=(x+1)lnx,　x∈(0,x0],x2ex,x∈(x0,+∞). 當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),若x∈(0,1],m(x)≤0; 若x∈(1,x0),由m(x)=ln x+1x+1>0, 可知00,m(x)單調(diào)遞增; x∈(2,+∞)時(shí),m(x)<0,m(x)單調(diào)遞減, 可知m(x)≤m(2)=4e2,且m(x0)0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增, 當(dāng)a<0時(shí),令g(x)=ax2+(2a+2)x+a, Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1). ①當(dāng)a=-12時(shí),Δ=0, f (x)=-12(x-1)2x(x+1)2≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. ②當(dāng)a<-12時(shí),Δ<0,g(x)<0, f (x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. ③當(dāng)-120, 設(shè)x1,x2(x10, 所以x∈(0,x1)時(shí),g(x)<0,f (x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減, x∈(x1,x2)時(shí),g(x)>0,f (x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增, x∈(x2,+∞)時(shí),g(x)<0,f (x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 綜上可得: 當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)a≤-12時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)-120且g(1)<0,即-30,所以g(x)分別在區(qū)間[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1個(gè)零點(diǎn).由于g(x)在區(qū)間(-∞,0)和(1,+∞)上單調(diào),所以g(x)分別在區(qū)間(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1個(gè)零點(diǎn). 綜上可知,當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切時(shí),t的取值范圍是(-3,-1). (3)過(guò)點(diǎn)A(-1,2)存在3條直線與曲線y=f(x)相切; 過(guò)點(diǎn)B(2,10)存在2條直線與曲線y=f(x)相切; 過(guò)點(diǎn)C(0,2)存在1條直線與曲線y=f(x)相切. 15.(2013北京,18,13分)已知函數(shù)f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(a, f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值; (2)若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn),求b的取值范圍. 解析　由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f (x)=x(2+cos x). (1)因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(a,f(a))處與直線y=b相切,所以f (a)=a(2+cos a)=0,b=f(a). 解得a=0,b=f(0)=1. (2)令f (x)=0,得x=0. f(x)與f (x)的情況如下: x (-∞,0) 0 (0,+∞) f (x) - 0 + f(x) ↘ 1 ↗ 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(0)=1是f(x)的最小值. 當(dāng)b≤1時(shí),曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個(gè)交點(diǎn); 當(dāng)b>1時(shí),f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b, f(0)=11時(shí)曲線y=f(x)與直線y=b有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn). 綜上可知,如果曲線y=f(x)與直線y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn),那么b的取值范圍是(1,+∞). 考點(diǎn)二　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 1.(2016天津,10,5分)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex, f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f (0)的值為　　　　. 答案　3 2.(2015天津,11,5分)已知函數(shù)f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a為實(shí)數(shù), f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f (1)=3,則a的值為　　　　. 答案　3 三年模擬 A組　2016—2018年模擬基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一　導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義 1.(2018廣東佛山一中期中考試,11)已知f(x)=(x+a)ex的圖象在x=-1與x=1處的切線互相垂直,則a=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案　A　 2.(2017四川名校一模,6)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖, f (x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則下列數(shù)值排序正確的是(　　) A.00,2ax+2+a,x≤0,且f(-1)=f(1),則當(dāng)x>0時(shí),f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的極小值為　　　　. 答案　2 5.(2017天津紅橋期中聯(lián)考,16)若曲線f(x)=ax5+ln x存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　. 答案　(-∞,0) 三、解答題(每小題10分,共30分) 6.(2018廣東惠州一調(diào),21)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+1x. (1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程; (2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)-1x≥a(x2-1)x恒成立,求a的取值范圍. 解析　(1)根據(jù)題意可得,f(e)=2e,f (x)=-lnxx2, 所以f (e)=-ln ee2=-1e2, 所以曲線在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程為y-2e=-1e2(x-e),即x+e2y-3e=0. (2)根據(jù)題意可得,f(x)-1x-a(x2-1)x=lnx-a(x2-1)x≥0在x≥1時(shí)恒成立, 令g(x)=ln x-a(x2-1)(x≥1),所以g(x)=1x-2ax, 當(dāng)a≤0時(shí),g(x)>0,所以函數(shù)y=g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(1)=0, 所以不等式f(x)-1x≥a(x2-1)x成立,故a≤0符合題意; 當(dāng)a>0時(shí),令1x-2ax=0,解得x=12a(舍負(fù)),令12a=1,解得a=12, ①當(dāng)01,所以在1,12a上,g(x)>0,在12a,+∞上,g(x)<0, 所以函數(shù)y=g(x)在1,12a上單調(diào)遞增,在12a,+∞上單調(diào)遞減, g1a=ln1a-a1a2-1=-ln a-1a+a,令h(a)=-ln a-1a+a,則h(a)=-1a+1a2+1=a2-a+1a2,易知h(a)>0恒成立,又00時(shí),f(x)>0恒成立,求a的取值范圍. 解析　(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex-x2-2x-1,f(-1)=1e, 所以切點(diǎn)坐標(biāo)為-1,1e, f (x)=ex-2x-2,所以f (-1)=1e, 故曲線y=f(x)在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線方程為y-1e=1e[x-(-1)],即y=1ex+2e. (2)對(duì)f(x)=ex-ax2-2ax-1求導(dǎo)得f (x)=ex-2ax-2a, 令g(x)=f (x)=ex-2ax-2a(x>0),則g(x)=ex-2a(x>0). ①當(dāng)2a≤1,即a≤12時(shí),g(x)=ex-2a>1-2a≥0, 所以g(x)=f (x)=ex-2ax-2a在(0,+∞)上為增函數(shù), 所以g(x)>g(0)=1-2a≥0,則f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù), 所以f(x)>f(0)=1-0-0-1=0,故a≤12時(shí)符合題意. ②當(dāng)2a>1,即a>12時(shí),令g(x)=ex-2a=0,得x=ln 2a>0,當(dāng)x變化時(shí),g(x),g(x)的變化情況如下表, x (0,ln 2a) ln 2a (ln 2a,+∞) g(x) - 0 + g(x) 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 當(dāng)x∈(0,ln 2a)時(shí),g(x)0,在(ln 2,+∞)上,g(x)<0, ∴g(x)在(-∞,ln 2)上單調(diào)遞增,在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞減, ∴g(x)max=g(ln 2)=ln 2-1, ∴a≥ln 2-1, ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[ln 2-1,+∞). C組　2016—2018年模擬方法題組 方法1　求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法 1.(2018河南許昌、平頂山聯(lián)考,3)已知f(x)是偶函數(shù),在(-∞,0)上滿足xf (x)>0恒成立,則下列不等式成立的是(　　) A.f(-3)

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