2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修五教案：3-3-1 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域.doc

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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修五教案：3-3-1 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 3.3.1　二元一次不等式(組)與平面區(qū)域）（2課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 一、知識(shí)與技能 1.使學(xué)生了解并會(huì)用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域； 2.能畫出二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域. 二、過程與方法 1.培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想； 2.提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實(shí)際問題的能力； 3.本節(jié)新課講授分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進(jìn)行，目的是為了分散難點(diǎn)，層層遞進(jìn)，突出重點(diǎn)，只要學(xué)生對(duì)舊知識(shí)掌握較好，完全有可能由學(xué)生主動(dòng)去探求新知，得出結(jié)論. 三、情感態(tài)度與價(jià)值觀 1.通過本節(jié)教學(xué)著重培養(yǎng)學(xué)生掌握“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”，但同時(shí)也用“形”去研究“數(shù)”，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測(cè)、歸納等數(shù)學(xué)能力； 2.結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn) 會(huì)求二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域. 教學(xué)難點(diǎn) 如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體及課件 教學(xué)過程 第1課時(shí) 導(dǎo)入新課 師 在現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)中，我們會(huì)遇到各種不同的不等關(guān)系，需要用不同的數(shù)學(xué)模型來刻畫和研究它們.前面我們學(xué)習(xí)了一元二次不等式及其解法，這里我們將學(xué)習(xí)另一種不等關(guān)系的模型.先看一個(gè)實(shí)際例子. 一家銀行的信貸部計(jì)劃年初投入25 000 000元用于企業(yè)和個(gè)人貸款，希望這筆貸款資金至少可帶來30 000元的效益，其中從企業(yè)貸款中獲益12%，從個(gè)人貸款中獲益10%，那么，信貸部應(yīng)該如何分配資金呢？ 師 這個(gè)問題中存在一些不等關(guān)系，我們應(yīng)該用什么不等式模型來刻畫它們呢？ 生 設(shè)用于企業(yè)貸款的資金為x元，用于個(gè)人貸款的資金為y元，由資金總數(shù)為25 000 000元，得到x+y≤25 000 000.① 師 由于預(yù)計(jì)企業(yè)貸款創(chuàng)收12%，個(gè)人貸款創(chuàng)收10%.共創(chuàng)收30 000元以上，所以 (12%)x+(10%)y≥30 000，即12x+10y≥3 000 000.② 師 最后考慮到用于企業(yè)貸款和個(gè)人貸款的資金數(shù)額都不能是負(fù)數(shù)，于是 生 x≥0,y≥0.③ 師 將①②③合在一起，得到分配資金應(yīng)該滿足的條件： 師 我們把含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式（組）稱為二元一次不等式（組）. 滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)(x,y)，所有這樣的有序數(shù)對(duì)(x,y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集.有序數(shù)對(duì)可以看成直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo).于是，二元一次不等式（組）的解集就可以看成直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合. 師 我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，以二元一次方程x+y-1=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合{(x,y)|x+y-1=0}是經(jīng)過點(diǎn)（0，1）和（1，0）的一條直線l，那么，以二元一次不等式（即含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)都是1的不等式）x+y-1＞0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合A={(x,y)|x+y-1＞0}是什么圖形呢？ 推進(jìn)新課 ［合作探究］ 師 二元一次方程x＋y－1＝0有無數(shù)組解，每一組解是一對(duì)實(shí)數(shù)，它們?cè)谧鴺?biāo)平面上表示一個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)的集合組成點(diǎn)集{(x，y)|x＋y－1＝0}，它在坐標(biāo)平面上表示一條直線. 以二元一次不等式x＋y－1＞0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，也拼成一個(gè)點(diǎn)集.如x＝3，y＝2時(shí)，x＋y－1＞0，點(diǎn)(3， 2)的坐標(biāo)滿足不等式x＋y－1＞0.(3，2)是二元一次不等式x＋y－1＞0的解集中的一個(gè)元素.我們把二元一次不等式x＋y－1＞0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)拼成的點(diǎn)集記為{(x，y)|x＋y－1＞0}. 請(qǐng)同學(xué)們猜想一下，這個(gè)點(diǎn)集在坐標(biāo)平面上表示什么呢？ 生 x＋y－1＞0表示直線l：x＋y－1＝0右上方的所有點(diǎn)拼成的平面區(qū)域. 師 事實(shí)上，在平面直角坐標(biāo)系中，所有的點(diǎn)被直線x＋y－1＝0分為三類：在直線x＋y－1＝0上；在直線x＋y－1＝0右上方的平面區(qū)域內(nèi)；在直線x＋y－1＝0左下方的平面區(qū)域內(nèi).如(2，2)點(diǎn)的坐標(biāo)代入x＋y－1中，x＋y－1＞0，(2，2)點(diǎn)在直線x＋y－1＝0的右上方.(－1，2)點(diǎn)的坐標(biāo)代入x＋y－1中，x＋y－1＝0，(－1，2)點(diǎn)在直線x＋y－1＝0上.(1，－1)點(diǎn)的坐標(biāo)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0，(1，-1)點(diǎn)在直線x＋y－1＝0的左下方. 因此，我們猜想，對(duì)直線x＋y－1＝0右上方的點(diǎn)(x，y)，x＋y－1＞0成立；對(duì)直線x＋y－1＝0左下方的點(diǎn)(x，y)，x＋y－1＜0成立. 師 下面對(duì)這一猜想進(jìn)行一下推證. 在直線l：x＋y－1＝0上任取一點(diǎn)P(x 0，y 0)，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線y＝y(tǒng)0，這時(shí)這條平行線上在P點(diǎn)右側(cè)的任意一點(diǎn)都有x＞x 0，y＝y(tǒng)0兩式相加. x＋y＞x 0＋y 0，則x＋y－1＞x0＋y0－1,P點(diǎn)在直線x＋y－1＝0上，x0＋y 0－1＝0. 所以x＋y－1＞0. 因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)是直線x＋y－1＝0上的任意一點(diǎn)，所以對(duì)于直線x＋y－1＝0的右上方的任意點(diǎn)(x，y),x＋y－1＞0都成立. 同理，對(duì)于直線x＋y－1＝0左下方的任意點(diǎn)(x，y)，x＋y－1＜0都成立. 所以點(diǎn)集{(x，y)|x＋y－1＞0}是直線x＋y－1＝0右上方的平面區(qū)域，點(diǎn)集{(x，y)|x＋y－1＜0}是直線x＋y－1＝0左下方的平面區(qū)域. 師 一般來講，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0的某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域. 由于對(duì)在直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，實(shí)數(shù)Ax＋By＋C的符號(hào)相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x 0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、負(fù)就可判斷Ax＋By＋C＞0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.當(dāng)C≠0時(shí)，我們常把原點(diǎn)作為這個(gè)特殊點(diǎn)去進(jìn)行判斷.如把(0，0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0. 說明：x＋y－1＜0表示直線x＋y－1＝0左下方原點(diǎn)所在的區(qū)域，就是說不等式所表示的區(qū)域與原點(diǎn)在直線x＋y－1＝0的同一側(cè). 如果C＝0，直線過原點(diǎn)，原點(diǎn)坐標(biāo)代入無法進(jìn)行判斷，則可另選一個(gè)易計(jì)算的點(diǎn)去進(jìn)行判斷. 師 提醒同學(xué)們注意，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的區(qū)域，應(yīng)當(dāng)理解為{(x，y)|Ax＋By＋C＞0}∪{(x，y)|Ax＋By＋C＝0}.這個(gè)區(qū)域包括邊界直線，應(yīng)把邊界直線畫為實(shí)線. 師 另外同學(xué)們還應(yīng)當(dāng)明確有關(guān)區(qū)域的一些稱呼. （1）A為直線l右上方的平面區(qū)域　　　 (2)B為直線l左下方的平面區(qū)域 (3)C為直線l左上方的平面區(qū)域　　　 (4)D為直線l右下方的平面區(qū)域 ［教師精講］ 師 二元一次不等式ax+by+c＞0和ax+by+c＜0表示的平面區(qū)域. （1）結(jié)論：二元一次不等式ax+by+c＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線ax+by+c=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域. 把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線，若畫不等式ax+by+c≥0表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域包括邊界直線，則把邊界直線畫成實(shí)線. （2）判斷方法：由于對(duì)在直線ax+by+c=0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y)，把它的坐標(biāo)(x,y)代入ax+by+c，所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，故只需在這條直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0,y0)，以ax0+by0+c的正負(fù)情況便可判斷ax+by+c＞0表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當(dāng)c≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn). ［知識(shí)拓展］ 【例1】 畫出不等式2x＋y－6＞0表示的平面區(qū)域. 解:先畫直線2x＋y－6＝0(虛線)，把原點(diǎn)(0，0)代入2x＋y－6，得0－6＜0.因2x＋y－6＜0，說明原點(diǎn)不在要求的區(qū)域內(nèi)，不等式2x＋y－6＞0表示的平面區(qū)域與原點(diǎn)在直線2x＋y－6＝0的異側(cè)，即直線2x＋y－6＝0的右上部分的平面區(qū)域. 生 學(xué)生課堂練習(xí). (1)x－y＋1＜0. (2)2x＋3y－6＞0. (3)2x＋5y－10≥0. (4)4x－3y≤12. 【例2】 畫出不等式組表示的平面區(qū)域. x＋3y＋6≥0表示直線上及其右上方的點(diǎn)的集合. x－y＋2＜0表示直線左上方一側(cè)不包括邊界的點(diǎn)的集合. 在確定這兩個(gè)點(diǎn)集的交集時(shí)，要特別注意其邊界線是實(shí)線還是虛線，還有兩直線的交點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是空點(diǎn). 【例3】 畫出不等式組表示的平面區(qū)域. 師 不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分. 生 解：不等式x-y+5≥0表示直線x-y+5=0右上方的平面區(qū)域，x+y≥0表示直線x+y=0右上方的平面區(qū)域，x≤3左上方的平面區(qū)域，所以原不等式表示的平面區(qū)域如右圖中的陰影部分. 課堂練習(xí) 作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域. （1）x-y+1＜0; （2）2x+3y-6＞0; （3）2x+5y-10＞0; （4）4x-3y-12＜0; （5） 如下圖： ［合作探究］ 師 由上述討論及例題，可歸納出如何由二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的嗎？ 生 歸納如下： 1.在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的所有點(diǎn)被直線l:x+y-1=0分成三類： （1）直線l上：{(x,y)|x+y-1=0}； （2）直線l的上方：{(x,y)|x+y-1＞0}； （3）直線l的下方：{(x,y)|x+y-1＜0}. 對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo),代入x+y-1中，得到一個(gè)實(shí)數(shù)，此實(shí)數(shù)或等于0，或大于0，或小于0.觀察到所有大 于0的點(diǎn)都在直線l的右上方，所有小于0的點(diǎn)都在直線l的左下方，所有等于0的點(diǎn)在直線l上. 2.一般地， 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0的某一側(cè)的所有的點(diǎn)組成的平面區(qū)域.直線畫成虛線表示不包括邊界. 二元一次不等式Ax+By+C≥0表示的平面區(qū)域是直線Ax+By+C=0的某一側(cè)的所有的點(diǎn)組成的平面區(qū)域.直線應(yīng)畫成實(shí)線. 此時(shí)常常用“直線定界，特殊點(diǎn)定位”的方法.（當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，常常取原點(diǎn)；過原點(diǎn)時(shí)取坐標(biāo)軸上的點(diǎn)） ［方法引導(dǎo)］ 上述過程分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進(jìn)行，目的是分散難點(diǎn)，層層遞進(jìn)，突出重點(diǎn)，只要學(xué)生對(duì)舊知識(shí)掌握較好，完全可以由學(xué)生主動(dòng)去探求新知，得出結(jié)論. 課堂小結(jié) 1.在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的所有點(diǎn)被直線l分成三類： （1）直線l上； （2）直線l的上方； （3）直線l的下方. 2.二元一次不等式ax+by+c＞0和ax+by+c＜0表示的平面區(qū)域. 布置作業(yè) 1.不等式x-2y+6＞0表示的區(qū)域在x-2y+6=0的（　?。┆? A.右上方　　　　　B.右下方　　　　　C.左上方　　　　D.左下方 2.不等式3x+2y-6＜0表示的平面區(qū)域是（　　） 3.不等式組表示的平面區(qū)域是（　?。┆? 4.直線x+2y-1=0右上方的平面區(qū)域可用不等式___________表示. 5.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)是_______________. 6.畫出(x+2y-1)(x-y+3)≥0表示的區(qū)域. 答案： 1.B2.D　3.B　4.x+2y-1＞0　5.（－1，－1） 6. 第2課時(shí) 導(dǎo)入新課 師 前一節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了二元一次不等式（組）的一些基本概念，并且從一個(gè)具體的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的區(qū)域及確定的方法，總結(jié)一元二次不等式表示的區(qū)域的概念和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，得出二元一次不等式（組）與平面區(qū)域兩者之間的聯(lián)系，下面請(qǐng)同學(xué)回憶上述內(nèi)容. 生 一般來講，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0的某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域. 由于對(duì)在直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，實(shí)數(shù)Ax＋By＋C的符號(hào)相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y 0)，由Ax 0＋By0＋C的正、負(fù)就可判斷Ax＋By＋C＞0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.當(dāng)C≠0時(shí)，我們常把原點(diǎn)作為這個(gè)特殊點(diǎn)去進(jìn)行判斷. 如果C＝0，直線過原點(diǎn)，原點(diǎn)坐標(biāo)代入無法進(jìn)行判斷，則可另選一個(gè)易計(jì)算的點(diǎn)去進(jìn)行判斷. 推進(jìn)新課 ［例題剖析］ 師 【例1】 畫出不等式x+4y＜4表示的平面區(qū)域. 師 解：先畫直線x+4y-4＝0(虛線)，把原點(diǎn)(0，0)代入x+4y-4＝0－4＜0，因?yàn)閤+4y-4＜0，說明原點(diǎn)在要求的區(qū)域內(nèi)，不等式x+4y-4＜0表示的平面區(qū)域與原點(diǎn)在直線x+4y-4=0的一側(cè)，即直線x+4y-4=0的左下部分的平面區(qū)域. 師 在確定這兩個(gè)點(diǎn)集的交集時(shí)，要特別注意其邊界線是實(shí)線還是虛線，還有兩直線的交點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是空點(diǎn). 師 【例2】 用平面區(qū)域表示不等式組的解集. 師 分析：由于所求平面區(qū)域的點(diǎn)的坐標(biāo)要同時(shí)滿足兩個(gè)不等式，因此二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的交集，即各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的公共部分. 生 解：不等式y(tǒng)＜-3x+12表示直線y=-3x+12下方的區(qū)域；不等式x＜2y表示直線上方的區(qū)域.取兩個(gè)區(qū)域重疊的部分，下圖中的陰影部分就表示原不等式組的解集. 師【例3】 某人準(zhǔn)備投資1 200萬元興辦一所完全中學(xué).對(duì)教育市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后,他得到了下面的數(shù)據(jù)表格：(以班級(jí)為單位) 學(xué)段 班級(jí)學(xué)生數(shù) 配備教師數(shù) 硬件建設(shè)/萬元 教師年薪/萬元 初中 45 2 26/班 2/人 高中 40 3 54/班 2/人 分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件. 師 若設(shè)開設(shè)初中班x個(gè),高中班y個(gè),根據(jù)題意,總共招生班數(shù)應(yīng)限制在20~30之間,所以應(yīng)該有什么樣的限制? 生 20≤x+y≤30. 師 考慮到所投資金的限制,又應(yīng)該得到什么? 生 26x+54y+22x+23y≤1 200,即x+2y≤40.另外,開設(shè)的班數(shù)不能為負(fù),則x≥0,y≥0.把上面四個(gè)不等式合在一起,得到 師 用圖形表示這個(gè)限制條件,請(qǐng)同學(xué)完成. 生 得到圖中的平面區(qū)域(陰影部分). 師 例4　一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4噸，硝酸鹽18噸；生產(chǎn)1車皮乙種肥料的主要原料是磷酸鹽1噸，硝酸鹽15噸.現(xiàn)庫(kù)存磷酸鹽4噸，硝酸鹽66噸,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料.列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域. 師 若設(shè)x、y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù),則應(yīng)滿足什么樣的條件? 生 滿足以下條件 師 在直角坐標(biāo)系中完成不等式組(*)所表示的平面區(qū)域. 生 生 課堂練習(xí) (1) (2) ［方法引導(dǎo)］ 上述過程分為思考、嘗試、猜想、證明、歸納來進(jìn)行，目的是分散難點(diǎn)，層層遞進(jìn)，突出重點(diǎn)，只要學(xué)生對(duì)舊知識(shí)掌握較好，完全有可能由學(xué)生主動(dòng)去探求新知，得出正確解答. 課堂小結(jié) 1.處理實(shí)際問題，關(guān)鍵之處在于從題意中建立約束條件，實(shí)際上就是建立數(shù)學(xué)模型.這樣解題時(shí)，將所有的約束條件羅列出來，弄清約束條件，以理論指導(dǎo)實(shí)際生產(chǎn)需要. 2.在實(shí)際應(yīng)用中，由二元一次不等式組構(gòu)成了約束條件，確定線性約束條件的可行域的方法，與由二元一次不等式表示平面區(qū)域方法相同，即由不等式組表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域. 布置作業(yè) 課本第97頁(yè)練習(xí)4. 板書設(shè)計(jì) 第1課時(shí) 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域 例1 課堂小結(jié) 例3 例2 第2課時(shí) 二元一次不等式(組)與平面區(qū)域 例1 例3 例4 例2 教學(xué)反思 本節(jié)課先由師生共同分析日常生活中的實(shí)際問題來引出二元一次不等式（組）的一些基本概念，由一元一次不等式組的解集可以表示為數(shù)軸上的區(qū)間，引出問題：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形？再?gòu)囊粋€(gè)具體的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的區(qū)域及確定的方法，以此激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度.通過具體例題的分析和求解，在這些例題中設(shè)置思考項(xiàng)，讓學(xué)生探究，層層鋪設(shè)，以便讓學(xué)生深刻理解一元二次不等式表示的區(qū)域的概念，有利于二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的教學(xué).講述完一元二次不等式表示的區(qū)域和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域后，再回歸到先前的具體實(shí)例，總結(jié)一元二次不等式表示的區(qū)域的概念和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，得出二元一次不等式（組）與平面區(qū)域兩者之間的聯(lián)系，再輔以新的例題鞏固.整個(gè)教學(xué)過程，探究二元一次不等式（組）的概念，一元二次不等式表示的區(qū)域和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的聯(lián)系.得出一元二次不等式表示的區(qū)域和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的步驟和過程，并及時(shí)加以鞏固，同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.