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第二章 圓錐曲線及方程
綜合檢測
一、選擇題
1.已知橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點恰好為一個正方形的四個頂點,則該橢圓的離心率為( ).
A.13 B.12 C.33 D.22
【解析】依題意橢圓的焦距和短軸長相等,故b=c,
∴a2-c2=c2,∴e=22.
【答案】D
2.若橢圓x29+y2m2=1與雙曲線x2m2-y23=1有相同的焦點,則m的值是( ).
A.3 B.3 C.-3 D.不存在
【解析】顯然雙曲線焦點在x軸上,
故9-m2=m2+3,所以m2=3,即m=3.
【答案】A
3.若橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,則雙曲線x2a2-y2b2=1的離心率為( ).
A.54 B.52 C.32 D.54
【解析】由題意知e2=c2a2=a2-b2a2=322=34,得b2a2=14,而雙曲線的離心率e2=c2a2=a2+b2a2=1+14=54,故e=52.
【答案】B
4.已知直線y=x-3與拋物線y2=4x交于A,B兩點,過A,B兩點向拋物線的準線作垂線,垂足為P,Q,則梯形APQB的面積為( ).
A.48 B.56 C.64 D.72
【解析】聯(lián)立方程組y2=4x,y=x-3,解得點A(1,-2),B(9,6).
∵拋物線準線為x=-1,∴|AP|=2,|BQ|=10,|PQ|=8.
故S梯形APQB=(2+10)82=48.
【答案】A
5.設離心率為e的雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,直線l過焦點F,且斜率為k,則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是( ).
A.k2-e2>1 B.k2-e2<1
C.e2-k2>1 D.e2-k2<1
【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義,可知直線的斜率k只需滿足-ba
1.
【答案】C
6.已知點N(3,0),圓(x+2)2+y2=16的圓心為M,設A為圓上任一點,線段AN的垂直平分線交直線MA于點P,則動點P的軌跡是( ).
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
【解析】由中垂線的性質可知|AP|=|NP|,
因為|AP|=|MP|+|AM|,所以|NP|=|MP|+|AM|,
即|NP|-|MP|=|AM|,
所以動點P的軌跡是雙曲線.
【答案】C
7.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線過點(2,3),且雙曲線的一個焦點在拋物線y2=47x的準線上,則雙曲線的方程為( ).
A.x221-y228=1 B.x228-y221=1
C.x23-y24=1 D.x24-y23=1
【解析】雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=bax,因為點(2,3)在漸近線上,所以ba=32.又雙曲線的一個焦點在拋物線y2=47x的準線方程x=-7上,所以c=7,由此可解得a=2,b=3,所以雙曲線的方程為x24-y23=1,故選D.
【答案】D
8.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的斜率為2,且右焦點與拋物線y2=43x的焦點重合,則該雙曲線的離心率等于( ).
A.2 B.3 C.2 D.23
【解析】由題意知拋物線的焦點為(3,0),即c=3.雙曲線的漸近線方程為y=bax,即ba=2,得b=2a,所以b2=2a2=c2-a2,故c2=3a2,即e2=3,得e=3.
【答案】B
9.過點M(-2,0)的直線m與橢圓x22+y2=1交于P1,P2兩點,線段P1P2的中點為P,設直線m的斜率為k1(k1≠0),直線OP的斜率為k2,則k1k2的值為( ).
A.2 B.-2 C.12 D.-12
【解析】已知直線m與橢圓交于P1,P2兩點,從而設點P1(x1,y1),P2(x2,y2),可知點Px1+x22,y1+y22,即k2=y1+y2x1+x2,設直線m:y=k1(x+2),聯(lián)立橢圓方程得x22+y2=1,y=k1(x+2)?(2k12+1)x2+8k12x+8k12-2=0,可得x1+x2=-8k122k12+1,所以y1+y2=k1(x1+x2)+4k1=4k12k12+1,則k2=-12k1,即k1k2=-12.
【答案】D
10.如圖,某人造衛(wèi)星的運行軌道是以地球中心F2為一個焦點的橢圓,設近地點A(離地面最近的點)距地面m千米,遠地點B(離地面最遠的點)距地面n千米,地球半徑為r千米,且點F2,A,B在同一直線上,則該衛(wèi)星運行軌道的短半軸長為( ).(單位:千米)
A.2mn B.2(m+r)(n+r)
C.mn D.(m+r)(n+r)
【解析】由圖可知|AF2|=m+r=a-c,|BF2|=n+r=a+c?b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=(m+r)(n+r),故選D.
【答案】D
11.我們把焦點相同,且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”.已知F1,F2是一對相關曲線的焦點,P是它們在第一象限的交點,當∠F1PF2=60時,這一對相關曲線中雙曲線的離心率是( ).
A.3 B.2 C.233 D.2
【解析】設橢圓的半長軸為a1,橢圓的離心率為e1,則e1=ca1,a1=ce1.雙曲線的實半軸長為a,雙曲線的離心率為e,e=ca,a=ce.|PF1|=x,|PF2|=y,(x>y>0),則由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos 60=x2+y2-xy,當點P看作是橢圓上的點時,有4c2=(x+y)2-3xy=4a12-3xy,當點P看作是雙曲線上的點時,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,兩式聯(lián)立消去xy得4c2=a12+3a2,即4c2=ce12+3ce2,所以1e12+31e2=4.又1e1=e,所以e2+3e2=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3,所以e=3,即雙曲線的離心率為3,故選A.
【答案】A
12.若橢圓C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和橢圓C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的焦點相同,且a1>a2.給出如下四個結論:
①橢圓C1和橢圓C2一定沒有公共點;
②a1a2>b1b2;
③a12-a22=b12-b22;
④a1-a2b1+b2,故a1-a2y,由e2=3e1,得a2=a13.
由橢圓定義及勾股定理,得x+y=2a1,x-y=2a2,x2+y2=4c2,解得e1=53.
【答案】53
15.如圖,橢圓的中心在坐標原點,F為左焦點,A,B分別為長軸、短軸上的一個頂點,當FB⊥AB時,此類橢圓稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推出“黃金雙曲線”的離心率為.
【解析】由題意可類比出“黃金雙曲線”的圖形大致如右圖.由圖可知(a+c)2=(b2+c2)+(b2+a2),把b2=c2-a2代替,整理得c2-ac-a2=0,即e2-e-1=0,解得e=152,故e=1+52.
【答案】1+52
16.已知A(1,1)為橢圓x29+y25=1內(nèi)一點,F1為橢圓左焦點,P為橢圓上一動點,則|PF1|+|PA|的最大值為 ,最小值為 .
【解析】由x29+y25=1可知,a=3,b=5,c=2,左焦點F1(-2,0),右焦點F2(2,0).由橢圓的定義知,|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|,
∴|PF1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|.
如圖,由||PA|-|PF2||≤|AF2|=(2-1)2+(0-1)2=2,得-2≤|PA|-|PF2|≤ 2.
當點P在AF2的延長線上的P2處時,取右“=”;
當點P在AF2的反向延長線的P1處時,取左“=”,
即|PA|-|PF2|的最大值、最小值分別為2、-2.
于是|PF1|+|PA|的最大值是6+2,最小值是6-2.
【答案】6+2 6-2
三、解答題
17.已知點P52,-32,F1 (-2,0),F2 (2,0).
(1)求以F1,F2為焦點且過點P的橢圓的標準方程;
(2)求以F1,F2為焦點且過點P的雙曲線的標準方程.
【解析】(1)由于橢圓焦點在x軸上,故可設所求橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
由橢圓的定義知,
2a=52+22+-322+52-22+-322=3210+1210=210.
∴a2=10,又∵c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6,
∴橢圓的標準方程為x210+y26=1.
(2)由于雙曲線焦點在x軸上,故可設所求雙曲線的標準方程為x2a12-y2b12=1(a1>0,b1>0),由雙曲線的定義知,
2a1=52+22+-322-52-22+-322=3210-1210=10,
∴a12=52,b12=c12-a12=4-52=32,
故所求雙曲線的標準方程為2x25-2y23=1.
18.如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(2+1),一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,設P為該雙曲線上異于頂點的任意一點,直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A,B和C,D.
(1)求橢圓和雙曲線的標準方程;
(2)設直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2=1.
【解析】(1)設橢圓的半焦距為c,由題意知ca=22,2a+2c=4(2+1),得a=22,c=2.
又a2=b2+c2,所以b=2.
故橢圓的標準方程為x28+y24=1.
由題意,設等軸雙曲線的標準方程為x2m2-y2m2=1(m>0).
因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點,所以m=2.
故雙曲線的標準方程為x24-y24=1.
(2)設點P(x0,y0),則k1=y0x0+2,k2=y0x0-2.
因為點P在雙曲線x2-y2=4上,所以x02-y02=4.
故k1k2=y0x0+2y0x0-2=y02x02-4=1,即k1k2=1.
19.設O為坐標原點,動點M在橢圓C:x22+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足NP=2 NM.
(1)求點P的軌跡方程.
(2)設點Q在直線x=-3上,且OPPQ=1.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
【解析】(1)設P(x,y),M(x0,y0),
則N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).
由NP=2 NM得x0=x,y0=22y.
因為M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.
因此點P的軌跡方程為x2+y2=2.
(2)由題意知F(-1,0).設Q(-3,t),P(m,n),
則OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),
OQPF=3+3m-tn,
OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).
由OPPQ=1得-3m-m2+tn-n2=1,
又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.
所以OQPF=0,即OQ⊥PF.
又過點P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
20.設A,B為曲線C:y=x24上兩點,A與B的橫坐標之和為4.
(1)求直線AB的斜率;
(2)設M為曲線C上一點,C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.
【解析】(1)設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1≠x2,y1=x124,y2=x224,又x1+x2=4,
所以直線AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.
(2)由y=x24,得y=x2.
設M(x3,y3),由題設知x32=1,解得x3=2,所以M(2,1).
設直線AB的方程為y=x+m,
故線段AB的中點為N(2,2+m),所以|MN|=|m+1|.
將y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.
由Δ=16(m+1)>0,即m>-1,得x1,2=22m+1.
所以|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).
由AM⊥BM得|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7或m=-1(舍去).
所以直線AB的方程為y=x+7.
21.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F,A為短軸的一個端點,且|OA|=|OF|=2(其中O為坐標原點).
(1)求橢圓的方程.
(2)若C,D分別是橢圓長軸的左、右端點,動點M滿足MD⊥CD,連接CM交橢圓于點P,問:x軸上是否存在異于點C的定點Q,使得以MP為直徑的圓恒過直線DP,MQ的交點?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,說明理由.
【解析】(1)由已知得b=c=2,∴a2=b2+c2=4,故所求橢圓方程為x24+y22=1.
(2)由(1)知,點C(-2,0),D(2,0),
由題意可設直線CM:y=k(x+2),P(x1,y1),M(2,4k).
由x24+y22=1,y=k(x+2),整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0,
方程顯然有兩個解,-2x1=8k2-41+2k2,得x1=2-4k21+2k2,y1=4k1+2k2,所以點P2-4k21+2k2,4k1+2k2.設點Q(x0,0)(x0≠0),
若存在滿足題設的點Q,則MQ⊥DP,由MQDP=0,及MQ=(x0-2,-4k),DP=2-4k21+2k2-2,4k1+2k2,
整理可得8k2x01+2k2=0恒成立,所以x0=0.
故存在定點Q(0,0)滿足題設要求.
22.在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,直線y=x被橢圓C截得的線段長為4105.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過原點的直線與橢圓C交于A,B兩點(A,B不是橢圓C的頂點). 點D在橢圓C上,且AD⊥AB,直線BD與x軸,y軸分別交于M,N兩點.
①設直線BD,AM的斜率分別為k1,k2,證明:存在常數(shù)λ使得k1=λk2,并求出λ的值;
②求△OMN面積的最大值.
【解析】(1)由題意知a2-b2a=32,可得a2=4b2,
則橢圓C的方程可簡化為x2+4y2=a2.
將y=x代入可得x=5a5,
因此225a5=4105,可得a=2,因此b=1,
所以橢圓C的方程為x24+y2=1.
(2)①設點A(x1,y1)(x1y1≠0),D(x2,y2),則B(-x1,-y1).
因為直線AB的斜率kAB=y1x1,
又AB⊥AD,所以直線AD的斜率k=-x1y1.
設直線AD的方程為y=kx+m,由題意知k≠0,m≠0.
由y=kx+m,x24+y2=1,可得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0.
所以x1+x2=-8mk1+4k2,
因此y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+4k2.
由題意知x1≠-x2,所以k1=y1+y2x1+x2=-14k=y14x1.
所以直線BD的方程為y+y1=y14x1(x+x1).
令y=0,得x=3x1,即點M(3x1,0),
可得k2=-y12x1.
所以k1=-12k2,即λ=-12.
因此存在常數(shù)λ=-12使得結論成立.
②直線BD的方程為y+y1=y14x1(x+x1),
令x=0,得y=-34y1,
則點N0,-34y1.
由①知M(3x1,0),可得△OMN的面積
S=123|x1|34|y1|=98|x1||y1|.
因為|x1||y1|≤x124+y12=1,
當且僅當|x1|2=|y1|=22時等號成立,此時S取得最大值98,
所以△OMN面積的最大值為98.
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