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第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
綜合檢測
一、選擇題
1.物體運(yùn)動的速度關(guān)于時間的方程為v=14t4-3,則t=5時的瞬時加速度為( ).
A.5 B.25 C.125 D.625
【解析】v=t3,當(dāng)t=5時,v=125.
【答案】C
2.已知函數(shù)f(x)=12x3+ax+4,則“a>0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的( ).
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
【解析】f(x)=32x2+a,當(dāng)a≥0時,f(x)≥0恒成立,故“a>0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.
【答案】A
3.曲線y=-1x在點(diǎn)12,-2處的切線方程為( ).
A.y=4x B.y=4x-4
C.y=4x+4 D.y=2x-4
【解析】∵y=1x2,∴y|x=12=4,即k=4,∴切線方程為y+2=4x-12,即y=4x-4.
【答案】B
4.函數(shù)y=3x-x3的單調(diào)遞增區(qū)間是( ).
A.(0,+∞) B.(-∞,-1)
C.(-1,1) D.(1,+∞)
【解析】y=3-3x2=-3(x+1)(x-1),令y>0,解得-1
0,在(0,+∞)上,f(x)的符號變化規(guī)律是負(fù)→正→負(fù),故選A.
【答案】A
6.設(shè)曲線f(x)=1+cosxsinx在點(diǎn)π2,1處的切線與直線x-ay+1=0平行,則實(shí)數(shù)a等于( ).
A.-1 B.12 C.-2 D.2
【解析】f(x)=(1+cosx)sinx-(1+cosx)(sinx)sin2x
=-1-cosxsin2x,所以fπ2=-1.
由題意知-1=1a,解得a=-1.
【答案】A
7.若直線l1:x+ay-1=0與l2:4x-2y+3=0垂直,則積分-aa (x3+sin x-5)dx的值為( ).
A.6+2sin 2 B.-6-2cos 2
C.20 D.-20
【解析】由l1⊥l2,得4-2a=0,即a=2,∴原式=-aa (x3+sin x-5)dx=-22 (x3+sin x)dx+-22 (-5)dx=0-20=-20.
【答案】D
8.函數(shù)y=xcos x-sin x在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)( ).
A.π2,3π2 B.(π,2π)
C.3π3,5π2 D.(2π,3π)
【解析】y=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),則在此區(qū)間內(nèi)y≥0.
當(dāng)x∈(π,2π)時,y≥0恒成立.
【答案】B
9.函數(shù)f(x)=x3+ax-2在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).
A.[3,+∞) B.[-3,+∞)
C.(-3,+∞) D.(-∞,-3)
【解析】∵f(x)=x3+ax-2在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴f(x)=3x2+a≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,
即a≥-3x2在x∈[1,+∞)上恒成立.
又g(x)=-3x2在[1,+∞]上的最大值為g(1)=-3,
∴a≥-3,故選B.
【答案】B
10.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=2,且f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)在R上恒有f(x)<1,則不等式f(x)1.
【答案】A
11.f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf(x)+f(x)≤0,對任意正數(shù)a、b,若a1時,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)-12)(單位:N)的作用下,沿與力F相同的方向從x=0處運(yùn)動到x=4(單位:m)處,則力F(x)所做的功為 J.
【解析】W=04F(x)dx=0210dx+24 (3x+4)dx=10x02+32x2+4x24=46 J.
【答案】46
14.已知f(x)=2x3-6x2+3,對任意的x∈[-2,2]都有f(x)≤a成立,則a的取值范圍為 .
【解析】由f(x)=6x2-12x=0,得x=0或x=2.
∴當(dāng)x∈[-2,0)時,f(x)>0,f(x)為增函數(shù);
當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)<0,f(x)為減函數(shù),
∴f(x)在[-2,2]上取得最大值f(0)=3.
又f(x)≤a恒成立,∴a≥3.
【答案】[3,+∞)
15.拋物線y=-x2+4x-3及其在點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0)處的切線所圍成的圖形面積為 .
【解析】由y=-2x+4,得在點(diǎn)A,B處切線的斜率分別為2和-2.
則兩直線方程分別為y=2x-2和y=-2x+6.
由y=2x-2,y=-2x+6,得x=2,y=2,記兩條直線的交點(diǎn)為點(diǎn)C(2,2).
所以S=S△ABC-13 (-x2+4x-3)dx
=1222--13x3+2x2-3x13=2-43=23.
【答案】23
16.有下列命題:
①x=0是函數(shù)f(x)=x3的極值點(diǎn);
②函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有極值點(diǎn)的充要條件是b2-3ac>0;
③奇函數(shù)f(x)=mx3+(m-1)x2+48(m-2)x+n在區(qū)間(-4,4)上單調(diào)遞減.
其中假命題的序號是 .
【解析】①中,函數(shù)f(x)=x3在R上單調(diào)遞增,沒有極值點(diǎn),①錯;
②中,f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),函數(shù)f(x)有極值點(diǎn)的充要條件是f(x)=0有兩個不相等的實(shí)根,所以Δ=4b2-12ac>0,也即b2-3ac>0,②正確;
③中,f(x)是奇函數(shù),則f(0)=0?n=0.又由f(-x)=-f(x),得(m-1)x2=0,因此m=1,所以f(x)=x3-48x.當(dāng)x∈(-4,4)時,f(x)=3x2-48=3(x+4)(x-4)<0,故f(x)在x∈(-4,4)上單調(diào)遞減,③正確.
【答案】①
三、解答題
17.已知f(x)是一次函數(shù),x2f(x)-(2x-1)f(x)=1.求f(x)的解析式.
【解析】由f(x)為一次函數(shù),知f(x)為二次函數(shù).
設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f(x)=2ax+b.
把f(x),f(x)代入方程x2f(x)-(2x-1)f(x)=1,得x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,
即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.
要使方程對任意x恒成立,則需有a=b,b=2c,c-1=0,解得a=2,b=2,c=1,
故f(x)=2x2+2x+1.
18.已知直線l:y=4x+a和曲線C:f(x)=x3-2x2+3相切.求實(shí)數(shù)a的值和切點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0,y0).
因?yàn)閒(x)=3x2-4x,k=4,所以3x02-4x0=4,
解得x0=-23或x0=2.
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為-23,4927或(2,3).
當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為-23,4927時,由4927=4-23+a,解得a=12127.
當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)時,由3=42+a,解得a=-5.
綜上所述,當(dāng)a=12127時,切點(diǎn)坐標(biāo)為-23,4927;當(dāng)a=-5時,切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).
19.已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+1)x+2aln x(a>0).
(1)當(dāng)a=1時,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若f(x)≤0在區(qū)間[1,e]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)∵a=1,∴f(x)=x2-4x+2ln x,
∴f(x)=2x2-4x+2x(x>0),f(1)=-3,f(1)=0,
∴切線方程為y=-3.
(2)f(x)=2x2-2(a+1)x+2ax=2(x-1)(x-a)x(x>0),令f(x)=0得x1=a,x2=1,
若00,當(dāng)x∈(a,1)時,f(x)<0,∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,1);若a=1,則f(x)=2(x-1)2x≥0,∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);若a>1,則當(dāng)x∈(0,1)或(a,+∞)時,f(x)>0,當(dāng)x∈(1,a)時,f(x)<0,∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,a).
(3)由(2)可知,f(x)在區(qū)間[1,e]上只可能有極小值點(diǎn),
∴f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)取到,
∴f(1)=1-2(a+1)≤0且f(e)=e2-2(a+1)e+2a≤0,解得a≥e2-2e2e-2.
20.某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩墩相距m米,余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算,一個橋墩的工程費(fèi)用為256萬元,距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+x)x萬元.記余下工程的費(fèi)用為y萬元.假設(shè)橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點(diǎn),且不考慮其他因素.
(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)當(dāng)m=640米時,需新建多少個橋墩才能使y最小?
【解析】(1)設(shè)需要新建n個橋墩,則(n+1)x=m,即n=mx-1,
所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256mx-1+(2+x)m=256mx+mx+2m-256.
(2)由(1)知,f(x)=-256mx2+12mx-12=m2x2(x32-512).
令f(x)=0,得x32=512,所以x=64,
當(dāng)00,故f(x)在區(qū)間(64,640)上為增函數(shù).
所以f(x)在x=64時取得最小值,此時,n=mx-1=64064-1=9,
故需新建9個橋墩才能使y最小.
21.已知函數(shù)f(x)=ln x+ax+1,a為常數(shù).
(1)若a=92,求函數(shù)f(x)在[1,e]上的值域.(e為自然對數(shù)的底數(shù),e≈2.72)
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+x在[1,2]上為單調(diào)遞減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)由題意f(x)=1x-a(x+1)2,
當(dāng)a=92時,f(x)=1x-92(x+1)2=(x-2)(2x-1)2x(x+1)2.
∵x∈[1,e],∴f(x)在[1,2)上為減函數(shù),在[2,e]上為增函數(shù),
又f(2)=ln 2+32,f(1)=94,f(e)=1+92e+2,比較可得f(1)>f(e),
∴f(x)的值域?yàn)閘n2+32,94.
(2)由題意得g(x)=1x-a(x+1)2+1≤0在[1,2]上恒成立,
∴a≥(x+1)2x+(x+1)2=x2+3x+1x+3恒成立,
設(shè)h(x)=x2+3x+1x+3(1≤x≤2),
∵當(dāng)1≤x≤2時,h(x)=2x+3-1x2>0恒成立,
∴h(x)max=h(2)=272,∴a≥272,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是272,+∞.
22.已知函數(shù)f(x)=ax+ln x.
(1)若f(x)的一條切線是y=-x+3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-1在e-1,e上有兩個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)顯然x>0,f(x)=-ax2+1x.
設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則f(x0)=-1,即-ax02+1x0=-1?a=x02+x0.
∴y0=f(x0)=ax0+ln x0=x0+1+ln x0,又y0=-x0+3.
∴l(xiāng)n x0=-2x0+2,解得x0=1,故a=2.
由f(x)=-2x2+1x=x-2x2=0,得x=2.
因此當(dāng)02時,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間是(2,+∞).
(2)由題意得g(x)=f(x)=-ax2+1x=x-ax2(x>0),
當(dāng)a≤0時,g(x)>0,g(x)在e-1,e上單調(diào)遞增,因此不可能有兩個零點(diǎn);當(dāng)a>0時,易得g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,a),單調(diào)遞增區(qū)間是(a,+∞).
g(x)=f(x)-1=0在e-1,e上有兩解?e-1
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