2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修三教案：2-3 變量間的相關(guān)關(guān)系.doc

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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修三教案：2-3 變量間的相關(guān)關(guān)系 項目 內(nèi)容 課題 2.3 變量間的相關(guān)關(guān)系 （共 2 課時） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系. 2.明確事物間的相互聯(lián)系.認(rèn)識現(xiàn)實生活中變量間除了存在確定的關(guān)系外,仍存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系,并利用散點圖直觀體會這種相關(guān)關(guān)系. 3.經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程．知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程． 教學(xué)重、 難點 教學(xué)重點：通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系；利用散點圖直觀認(rèn)識兩個變量之間的線性關(guān)系；根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程． 教學(xué)難點：變量之間相關(guān)關(guān)系的理解；作散點圖和理解兩個變量的正相關(guān)和負(fù)相關(guān)；理解最小二乘法的思想. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 第1課時 導(dǎo)入新課 在學(xué)校里,老師對學(xué)生經(jīng)常這樣說：“如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題.”按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著一種相關(guān)關(guān)系.這種說法有沒有根據(jù)呢? 請同學(xué)們?nèi)鐚嵦顚懴卤恚ㄔ诳崭裰写颉啊獭?）: 好 中 差 你的數(shù)學(xué)成績 你的物理成績 學(xué)生討論：我們可以發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)成績和物理成績存在某種關(guān)系.（似乎就是數(shù)學(xué)好的,物理也好；數(shù)學(xué)差的,物理也差,但又不全對.）物理成績和數(shù)學(xué)成績是兩個變量,從經(jīng)驗看,由于物理學(xué)習(xí)要用到比較多的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法.數(shù)學(xué)成績的高低對物理成績的高低是有一定影響的.但決非唯一因素,還有其他因素,如是否喜歡物理,用在物理學(xué)習(xí)上的時間等等.（總結(jié)：不能通過一個人的數(shù)學(xué)成績是多少就準(zhǔn)確地斷定他的物理成績能達(dá)到多少.但這兩個變量是有一定關(guān)系的,它們之間是一種不確定性的關(guān)系.如何通過數(shù)學(xué)成績的結(jié)果對物理成績進(jìn)行合理估計有非常重要的現(xiàn)實意義.）為很好地說明上述問題,我們開始學(xué)習(xí)變量之間的相關(guān)關(guān)系和兩個變量的線性相關(guān).(教師板書課題) 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 （1）糧食產(chǎn)量與施肥量有關(guān)系嗎？“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高,學(xué)生的水平也越高.教師的水平與學(xué)生的水平有什么關(guān)系？你能舉出更多的描述生活中兩個變量的相關(guān)關(guān)系的成語嗎？ （2）兩個變量間的相關(guān)關(guān)系是什么？有幾種？ （3）兩個變量間的相關(guān)關(guān)系的判斷. 討論結(jié)果： （1）糧食產(chǎn)量與施肥量有關(guān)系,一般是在標(biāo)準(zhǔn)范圍內(nèi),施肥越多,糧食產(chǎn)量越高；教師的水平與學(xué)生的水平是相關(guān)的,如水滴石穿,三人行必有我?guī)煹? 我們還可以舉出現(xiàn)實生活中存在的許多相關(guān)關(guān)系的問題.例如: 商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關(guān)系.商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費有著密切的聯(lián)系,但商品銷售收入不僅與廣告支出多少有關(guān),還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān). 糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系.在一定范圍內(nèi),施肥量越大,糧食產(chǎn)量就越高.但是,施肥量并不是決定糧食產(chǎn)量的唯一因素.因為糧食產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降雨量、田間管理水平等因素的影響. 人體內(nèi)的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系.在一定年齡段內(nèi),隨著年齡的增長,人體內(nèi)的脂肪含量會增加,但人體內(nèi)的脂肪含量還與飲食習(xí)慣、體育鍛煉等有關(guān),可能還與個人的先天體質(zhì)有關(guān). 應(yīng)當(dāng)說,對于上述各種問題中的兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系,我們都可以根據(jù)自己的生活、學(xué)習(xí)經(jīng)驗作出相應(yīng)的判斷,因為“經(jīng)驗當(dāng)中有規(guī)律”.但是,不管你的經(jīng)驗多么豐富,如果只憑經(jīng)驗辦事,還是很容易出錯的.因此,在分析兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系時,我們需要一些有說服力的方法. 在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中,統(tǒng)計同樣發(fā)揮著非常重要的作用.因為上面提到的這種關(guān)系,并不像勻速直線運動中時間與路程的關(guān)系那樣是完全確定的,而是帶有不確定性.這就需要通過收集大量的數(shù)據(jù)(有時通過調(diào)查,有時通過實驗),在對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,才能對它們之間的關(guān)系作出判斷. (2)相關(guān)關(guān)系的概念：自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系,叫做相關(guān)關(guān)系.兩個變量之間的關(guān)系分兩類： ①確定性的函數(shù)關(guān)系,例如我們以前學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)等； ②帶有隨機性的變量間的相關(guān)關(guān)系,例如“身高者,體重也重”,我們就說身高與體重這兩個變量具有相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系. 如商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關(guān)系.（還與商品質(zhì)量、居民收入、生活環(huán)境等有關(guān)） (3)兩個變量間的相關(guān)關(guān)系的判斷：①散點圖.②根據(jù)散點圖中變量的對應(yīng)點的離散程度,可以準(zhǔn)確地判斷兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系.③正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的概念. ①教學(xué)散點圖 出示例題：在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 年齡 23 27 38 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年齡 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 分析數(shù)據(jù)：大體上來看,隨著年齡的增加,人體中脂肪的百分比也在增加.我們可以作散點圖來進(jìn)一步分析. ②散點圖的概念：將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的對應(yīng)點畫出來,得到表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做散點圖，如下圖. 從散點圖我們可以看出，年齡越大，體內(nèi)脂肪含量越高.圖中點的趨勢表明兩個變量之間確實存在一定的關(guān)系,這個圖支持了我們從數(shù)據(jù)表中得出的結(jié)論. （a.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系,即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．b.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.c.如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系） ③正相關(guān)與負(fù)相關(guān)的概念：如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),稱為正相關(guān).如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),稱為負(fù)相關(guān).（注：散點圖的點如果幾乎沒有什么規(guī)則,則這兩個變量之間不具有相關(guān)關(guān)系） 應(yīng)用示例 例1 下列關(guān)系中,帶有隨機性相關(guān)關(guān)系的是_____________. ①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系 ②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系 ③人的身高與年齡之間的關(guān)系 ④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系 解析：兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系與帶有隨機性的相關(guān)關(guān)系.①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系.②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系,但是具有相關(guān)性,因而是相關(guān)關(guān)系.③人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系,也不是相關(guān)關(guān)系,因為人的年齡達(dá)到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了,因而他們不具備相關(guān)關(guān)系.④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系,因此填②④. 答案：②④ 例2 有關(guān)法律規(guī)定,香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語.吸煙是否一定會引起健康問題?你認(rèn)為“健康問題不一定是由吸煙引起的,所以可以吸煙”的說法對嗎? 分析：學(xué)生思考,然后討論交流,教師及時評價. 解：從已經(jīng)掌握的知識來看,吸煙會損害身體的健康,但是除了吸煙之外,還有許多其他的隨機因素影響身體健康,人體健康是很多因素共同作用的結(jié)果.我們可以找到長壽的吸煙者,也更容易發(fā)現(xiàn)由于吸煙而引發(fā)的患病者,所以吸煙不一定引起健康問題.但吸煙引起健康問題的可能性大.因此“健康問題不一定是由吸煙引起的,所以可以吸煙”的說法是不對的. 點評：在探究研究的過程中,如果能夠從兩個變量的觀察數(shù)據(jù)之間發(fā)現(xiàn)相關(guān)關(guān)系是極為有意義的,由此可以進(jìn)一步研究二者之間是否蘊涵因果關(guān)系,從而發(fā)現(xiàn)引起這種相關(guān)關(guān)系的本質(zhì)原因是什么.本題的意義在于引導(dǎo)學(xué)生重視對統(tǒng)計結(jié)果的解釋,從中發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步研究的問題. 知能訓(xùn)練 一個車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進(jìn)行了10次試驗,收集數(shù)據(jù)如下： 零件數(shù)x（個） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時間y(min) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 畫出散點圖； 關(guān)于加工零件的個數(shù)與加工時間,你能得出什么結(jié)論？ 答案：（1）散點圖如下： （2）加工零件的個數(shù)與所花費的時間呈正線性相關(guān)關(guān)系． 拓展提升 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)： 房屋面積（m2） 115 110 80 135 105 銷售價格（萬元） 24.8 21.6 18.4 29.2 22 （1）畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖； （2）指出是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān); （3）關(guān)于銷售價格y和房屋的面積x,你能得出什么結(jié)論？ 解：（1）數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖如下圖所示： （2）散點圖中的點散分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),所以是正相關(guān). （3）關(guān)于銷售價格y和房屋的面積x,房屋的面積越大,價格越高,它們呈正線性相關(guān)的關(guān)系. 課堂小結(jié) 通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖,并利用散點圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系. 作業(yè) 習(xí)題2.3A組3、4(1). 第2課時 導(dǎo)入新課 某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系,隨機統(tǒng)計并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對照表： 氣溫/℃ 26 18 13 10 4 -1 杯數(shù) 20 24 34 38 50 64 如果某天的氣溫是-5 ℃,你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎？為解決這個問題我們接著學(xué)習(xí)兩個變量的線性相關(guān)——回歸直線及其方程. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 （1）作散點圖的步驟和方法？ （2）正、負(fù)相關(guān)的概念？ （3）什么是線性相關(guān)？ （4）看人體的脂肪百分比和年齡的散點圖,當(dāng)人的年齡增加時,體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？ （5）什么叫做回歸直線？ （6）如何求回歸直線的方程？什么是最小二乘法？它有什么樣的思想？ （7）利用計算機如何求回歸直線的方程？ （8）利用計算器如何求回歸直線的方程？ 活動：學(xué)生回顧,再思考或討論,教師及時提示指導(dǎo). 討論結(jié)果：（1）建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系,將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)中的對應(yīng)點畫出來,得到表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做散點圖.（a.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系,即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．b.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.c.如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系） （2）如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),稱為正相關(guān).如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),稱為負(fù)相關(guān). （3）如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)的關(guān)系. （4）大體上來看,隨著年齡的增加,人體中脂肪的百分比也在增加,呈正相關(guān)的趨勢,我們可以從散點圖上來進(jìn)一步分析. （5）如下圖： 從散點圖上可以看出,這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近.如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近,我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線(regression line).如果能夠求出這條回歸直線的方程(簡稱回歸方程),那么我們就可以比較清楚地了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性.就像平均數(shù)可以作為一個變量的數(shù)據(jù)的代表一樣,這條直線可以作為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表. （6）從散點圖上可以發(fā)現(xiàn),人體的脂肪百分比和年齡的散點圖,大致分布在通過散點圖中心的一條直線. 那么,我們應(yīng)當(dāng)如何具體求出這個回歸方程呢? 有的同學(xué)可能會想,我可以采用測量的方法,先畫出一條直線,測量出各點與它的距離,然后移動直線,到達(dá)一個使距離的和最小的位置,測量出此時的斜率和截距,就可得到回歸方程了.但是,這樣做可靠嗎? 有的同學(xué)可能還會想,在圖中選擇這樣的兩點畫直線,使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同.同樣地,這樣做能保證各點與此直線在整體上是最接近的嗎? 還有的同學(xué)會想,在散點圖中多取幾組點,確定出幾條直線的方程,再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù),將這兩個平均數(shù)當(dāng)成回歸方程的斜率和截距. 同學(xué)們不妨去實踐一下,看看這些方法是不是真的可行? （學(xué)生討論：1.選擇能反映直線變化的兩個點.2.在圖中放上一根細(xì)繩,使得上面和下面點的個數(shù)相同或基本相同.3.多取幾組點對,確定幾條直線方程.再分別算出各個直線方程斜率、截距的算術(shù)平均值,作為所求直線的斜率、截距.）教師：分別分析各方法的可靠性.如下圖： 上面這些方法雖然有一定的道理,但總讓人感到可靠性不強. 實際上,求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看,各點與此直線的距離最小”.人們經(jīng)過長期的實踐與研究,已經(jīng)得出了計算回歸方程的斜率與截距的一般公式 其中，b是回歸方程的斜率，a是截距. 推導(dǎo)公式①的計算比較復(fù)雜，這里不作推導(dǎo).但是,我們可以解釋一下得出它的原理. 假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)， 且所求回歸方程是=bx+a, 其中a、b是待定參數(shù).當(dāng)變量x取xi(i=1,2,…,n)時可以得到=bxi+a(i=1,2,…,n), 它與實際收集到的yi之間的偏差是yi-=yi-(bxi+a)(i=1,2,…,n). 這樣，用這n個偏差的和來刻畫“各點與此直線的整體偏差”是比較合適的.由于（yi-）可正可負(fù)，為了避免相互抵消，可以考慮用來代替，但由于它含有絕對值，運算不太方便，所以改用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2 ② 來刻畫n個點與回歸直線在整體上的偏差. 這樣，問題就歸結(jié)為:當(dāng)a,b取什么值時Q最小，即總體偏差最小.經(jīng)過數(shù)學(xué)上求最小值的運算，a,b的值由公式①給出. 通過求②式的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法（method of least square）. （7）利用計算機求回歸直線的方程. 根據(jù)最小二乘法的思想和公式①，利用計算器或計算機，可以方便地求出回歸方程. 以Excel軟件為例,用散點圖來建立表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的線性回歸方程,具體步驟如下： ①在Excel中選定表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的散點圖（如下圖）,在菜單中選定“圖表”中的“添加趨勢線”選項,彈出“添加趨勢線”對話框. ②單擊“類型”標(biāo)簽,選定“趨勢預(yù)測/回歸分析類型”中的“線性”選項,單擊“確定”按鈕,得到回歸直線. ③雙擊回歸直線,彈出“趨勢線格式”對話框.單擊“選項”標(biāo)簽,選定“顯示公式”,最后單擊“確定”按鈕,得到回歸直線的回歸方程=0.577x-0.448. （8）利用計算器求回歸直線的方程. 用計算器求這個回歸方程的過程如下： 所以回歸方程為=0.577x-0.448. 正像本節(jié)開頭所說的，我們從人體脂肪含量與年齡這兩個變量的一組隨機樣本數(shù)據(jù)中，找到了它們之間關(guān)系的一個規(guī)律，這個規(guī)律是由回歸直線來反映的. 直線回歸方程的應(yīng)用: ①描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關(guān)系. ②利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測；把預(yù)報因子（即自變量x）代入回歸方程對預(yù)報量（即因變量Y）進(jìn)行估計,即可得到個體Y值的容許區(qū)間. ③利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化,通過控制x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控制的目標(biāo).如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程,即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度. 應(yīng)用示例 例1 有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表： 攝氏溫度/℃ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 熱飲杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 （1）畫出散點圖； （2）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律； （3）求回歸方程； （4）如果某天的氣溫是2 ℃，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù). 解：（1）散點圖如下圖所示： （2）從上圖看到，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少. （3）從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式①求出回歸方程的系數(shù). 利用計算器容易求得回歸方程=-2.352x+147.767. (4)當(dāng)x=2時，=143.063.因此，某天的氣溫為2 ℃時，這天大約可以賣出143杯熱飲. 思考 氣溫為2 ℃時，小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎？為什么？ 這里的答案是小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲，原因如下： 1.線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計出來的，存在隨機誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的偏差. 2.即使截距和斜率的估計沒有誤差，也不可能百分之百地保證對應(yīng)于x的預(yù)報值，能夠與實際值y很接近.我們不能保證點（x,y）落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近，事實上，y=bx+a+e=+e. 這里e是隨機變量，預(yù)報值與實際值y的接近程度由隨機變量e的標(biāo)準(zhǔn)差所決定. 一些學(xué)生可能會提出問題：既然不一定能夠賣出143杯左右熱飲，那么為什么我們還以“這天大約可以賣出143杯熱飲”作為結(jié)論呢？這是因為這個結(jié)論出現(xiàn)的可能性最大.具體地說，假如我們規(guī)定可以選擇連續(xù)的3個非負(fù)整數(shù)作為可能的預(yù)測結(jié)果，則我們選擇142，143和144能夠保證預(yù)測成功（即實際賣出的杯數(shù)是這3個數(shù)之一）的概率最大. 例2 下表為某地近幾年機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料. 機動車輛數(shù)x／千臺 95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故數(shù)y／千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 (1)請判斷機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系,如果不具有線性相關(guān)關(guān)系,說明理由； (2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系,求出線性回歸方程. 解：（1）在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖,如下圖. 直觀判斷散點在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)計算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和： =1 031，=71.6, =137 835，=9 611.7. 將它們代入公式計算得b≈0.077 4,a=-1.024 1, 所以,所求線性回歸方程為=0.077 4x-1.024 1. 知能訓(xùn)練 1.下列兩個變量之間的關(guān)系哪個不是函數(shù)關(guān)系（ ） A.角度和它的余弦值 B.正方形邊長和面積 C.正ｎ邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和 D.人的年齡和身高 答案：Ｄ 2．三點(3,10),(7,20),(11,24)的線性回歸方程是（ ） A.=5.75-1.75x B.=1.75+5.75x C.=1.75-5.75x D.=5.75+1.75x 答案：Ｄ 3．已知關(guān)于某設(shè)備的使用年限x與所支出的維修費用y（萬元）,有如下統(tǒng)計資料： 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費用y 2．2 3．8 5．5 6．5 7．0 設(shè)y對x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求： （1）線性回歸方程=bx+a的回歸系數(shù)a,b； （2）估計使用年限為10年時,維修費用是多少？ 答案：（1）b=1.23,a=0.08；（2）12.38. 4．我們考慮兩個表示變量x與y之間的關(guān)系的模型,δ為誤差項,模型如下： 模型1：y=6+4x；模型2：y=6+4x+e． （1）如果x=3,e=1,分別求兩個模型中y的值； （2）分別說明以上兩個模型是確定性模型還是隨機模型． 解：（1）模型1：y=6+4x=6+43=18； 模型2：y=6+4x+e=6+43+1=19. （2）模型1中相同的x值一定得到相同的y值,所以是確定性模型；模型2中相同的x值,因δ的不同,所得y值不一定相同,且δ為誤差項是隨機的,所以模型2是隨機性模型． 5．以下是收集到的新房屋銷售價格y與房屋大小x的數(shù)據(jù)： 房屋大小x（m2） 80 105 110 115 135 銷售價格y（萬元） 18.4 22 21.6 24.8 29.2 （1）畫出數(shù)據(jù)的散點圖； （2）用最小二乘法估計求線性回歸方程. 解：（1）散點圖如下圖. （2）n=5,=545,=109,=116,=23.2, =60 952,=12 952, b=≈0.199,a=23.2-0.199109≈1.509, 所以,線性回歸方程為y=0.199x+1.509． 拓展提升 某調(diào)查者從調(diào)查中獲知某公司近年來科研費用支出（Xi）與公司所獲得利潤（Yi）的統(tǒng)計資料如下表： 科研費用支出（Xi）與利潤（Yi）統(tǒng)計表 單位：萬元 年份 科研費用支出 利潤 1998 1999 2000 2001 2002 2003 5 11 4 5 3 2 31 40 30 34 25 20 合計 30 180 要求估計利潤（Yi）對科研費用支出（Xi）的線性回歸模型. 解：設(shè)線性回歸模型直線方程為：, 因為：=5,=30, 根據(jù)資料列表計算如下表： 年份 Xi Yi XiYi Xi2 Xi- Yi- (Xi-)2 (Xi-)(Yi-) 1998 1999 2000 2001 2002 2003 5 11 4 5 3 2 31 40 30 34 25 20 155 440 120 170 75 40 25 121 16 25 9 4 0 6 -1 0 -2 -3 1 10 0 4 -5 -10 0 36 1 0 4 9 0 60 0 0 10 30 合計 30 180 1 000 200 0 0 50 100 現(xiàn)求解參數(shù)β0、β1的估計值： 方法一：=2, =30-25=20. 方法二：=2， =30-25=20. 方法三：=2， =30-25=20. 所以利潤（Yi）對科研費用支出（Xi）的線性回歸模型直線方程為： =20+2Xi. 課堂小結(jié) 1．求線性回歸方程的步驟： （1）計算平均數(shù)； (2)計算xi與yi的積，求∑xiyi; (3)計算∑xi2,∑yi2， (4)將上述有關(guān)結(jié)果代入公式 求b,a,寫出回歸直線方程． 2.經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程.知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程. 作業(yè) 習(xí)題2.3A組3、4,B組1、2. 板書設(shè)計 教學(xué)反思 本節(jié)課學(xué)習(xí)了變量之間的相關(guān)關(guān)系和兩個變量的線性相關(guān)的部分內(nèi)容,通過身邊的具體實例說明了兩個變量的相關(guān)關(guān)系,并學(xué)會了利用散點圖及其分布來說明兩個變量的相關(guān)關(guān)系的種類, 在此基礎(chǔ)上,利用實例分析了散點圖的分布規(guī)律,推導(dǎo)出了線性回歸直線的方程的求法,并利用回歸直線的方程估計可能的結(jié)果,本節(jié)課講得較為詳細(xì),實例較多,便于同學(xué)們分析比較.另外,本節(jié)課通過選取一些學(xué)生特別關(guān)心的身邊事例,對學(xué)生進(jìn)行思想情操教育、意志教育和增強學(xué)生的自信心,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方法,樹立時間觀,培養(yǎng)勤奮、刻苦耐勞的精神.