四川省成都市高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 第13課時 定積分的簡單應用同步測試 新人教A版選修2-2.doc

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第13課時　定積分的簡單應用 基礎達標(水平一) 1.由曲線y=x3與直線y=x所圍成圖形的面積等于(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-11 (x-x3)dx B.201 (x-x3)dx C.-11 (x3-x)dx D.2-10 (x-x3)dx 【解析】如圖,x軸下方與上方的面積相等.故選B. 【答案】B 2.與定積分032π |sin x|dx相等的是(　　). A.032πsinxdx B.032π sin xdx C.π 0sin xdx-π32π sin xdx D.π 0sin xdx+π32π sin xdx 【解析】結合圖象(圖略),利用定積分的幾何意義可知選C. 【答案】C 3.曲線y=sin x(0≤x≤π)與直線y=12圍成的封閉圖形的面積是(　　). A.3 B.2-3 C.2-π3 D.3-π3 【解析】由sin x=12及0≤x≤π,得x=π6或x=5π6, 所以曲線y=sin x(0≤x≤π)與直線y=12圍成的封閉圖形的面積是S=π65π6 sin xdx-125π6-π6=-cosxπ65π6-π3=-cos5π6+cosπ6-π3=3-π3. 【答案】D 4.已知曲線y=x2和曲線y=x圍成一個葉形圖(如圖中陰影部分),則其面積為(　　). A.1 B.12 C.22 D.13 【解析】S=01x-x2)dx=23x32-x3310=13. 【答案】D 5.一物體在力F(x)=3x2-2x+5(力單位:N,位移單位:m)作用力下,沿與力F(x)相同的方向由x=5 m直線運動到x=10 m處所做的功是　　　　. 【解析】W=510 F(x)dx=510 (3x2-2x+5)dx =(x3-x2+5x)105 =(1000-100+50)-(125-25+25)=825 J. 【答案】825 J 6.曲線xy=1與直線y=x和y=3所圍成的平面圖形的面積為　　　　. 【解析】由xy=1得y=1x.由y=1x=3,解得xB=13,由xy=1,y=x,解得xC=1,由y=3,y=x,得xD=3.所以根據(jù)積分的幾何意義知所求面積為1313-1xdx+13 (3-x)dx=(3x-ln x)131+3x-12x213=4+ln13=4-ln 3. 【答案】4-ln 3 7.有一動點P,在時間t時的速度為v(t)=8t-2t2,求: (1)當t=5時,點P距出發(fā)點的位置; (2)當t=0到t=5時,點P經(jīng)過的路程. 【解析】(1)s=05 (8t-2t2)dt=4t2-23t305=503. (2)當v(t)=8t-2t2≥0,即當0≤t≤4時,點P向x軸正方向運動;當t>4時,點P向x軸負方向運動.因此所求路程應為s2=04 (8t-2t2)dt+45 [-(8t-2t2)]dt=4t2-23t304+23t3-4t245=26. 拓展提升(水平二) 8.若某產(chǎn)品一天內的產(chǎn)量(單位:百件)是時間t的函數(shù),若已知產(chǎn)量的變化率為a=36t,那么從3小時到6小時期間內的產(chǎn)量為(　　). A. 12 B.3-322 C.6+32 D.6-32 【解析】36 36tdt=6t36=6-32,故選D. 【答案】D 9.如圖,在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形區(qū)域內的A處與C處各有一個通信基站,其信號覆蓋范圍分別為如圖所示的陰影部分,該正方形區(qū)域內無其他信號來源且這兩個基站工作正常,若在該正方形區(qū)域內隨機選擇一個地點,則該地點無信號的概率為(　　). A.2e2 B.1-2e2 C.1e D.1-1e 【解析】由題意得S陰影=201 (e-ex)dx=2(ex-ex)01=2,故所求概率P=1-S陰影S正方形=1-2e2,故選B. 【答案】B 10.如圖,一水渠的橫截面為等腰梯形,因泥沙沉積,導致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線所示),則原始的最大流量與當前最大流量的比值為　　　　. 【解析】建立如圖所示平面直角坐標系. 過點B作BE⊥x軸于點E, ∵∠BAE=45,BE=2,∴AE=2, 又OE=5,∴A(3,0),B(5,2). 設拋物線的方程為x2=2py(p>0), 代入點B的坐標,得p=254,故拋物線的方程為y=225x2, 從而圖中陰影部分的面積為205 225x2dx-1222=83. 又易知等腰梯形ABCD的面積為6+1022=16, ∴原始的最大流量與當前的最大流量的比值為1616-83=65. 【答案】65 11.如圖所示,設點P在曲線y=x2上,從原點向A(2,4)移動,直線OP,曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為S1,S2. (1)當S1=S2時,求點P的坐標; (2)當S1+S2有最小值時,求點P的坐標和S1+S2的最小值. 【解析】(1)由題意,設點P的坐標為(t,t2)(00. 故當t=2時,S1+S2有最小值為83-423,此時點P的坐標為(2,2).