2019高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程 3.1 直線的傾斜角與斜率（第1課時(shí)）傾斜角與斜率講義（含解析）新人教A版必修2.doc
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第1課時(shí) 傾斜角與斜率 [核心必知] 1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入 根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P82～P86，回答下列問題： 在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過點(diǎn)P. (1)直線l的位置能夠確定嗎？ 提示：不能． (2)過點(diǎn)P可以作與l相交的直線多少條？ 提示：無數(shù)條． (3)上述問題中的所有直線有什么區(qū)別？ 提示：傾斜程度不同． 2．歸納總結(jié)，核心必記 (1)直線的傾斜角 ①傾斜角的定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．如圖所示，直線l的傾斜角是∠APx，直線l′的傾斜角是∠BPx. ②傾斜角的范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是0≤α＜180，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0. (2)直線的斜率 ①斜率的定義：一條直線的傾斜角α(α≠90)的正切值叫做這條直線的斜率．常用小寫字母k表示，即k＝tan_α. ②斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝.當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線P1P2沒有斜率． ③斜率的作用：用實(shí)數(shù)反映了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線的傾斜程度． [問題思考] (1)任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？ 提示：由傾斜角的定義可以知道，任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的． (2)斜率與直線的傾斜程度有何對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 提示：①當(dāng)直線的斜率為正時(shí)，直線從左下方向右上方傾斜(呈上升趨勢(shì))． ②當(dāng)直線的斜率為負(fù)時(shí)，直線從左上方向右下方傾斜(呈下降趨勢(shì))． ③當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線與x軸平行或重合(呈水平狀態(tài))． [課前反思] 通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)． (1)直線的傾斜角是什么樣的角？怎樣理解？ ?。? (2)直線的斜率是什么？如何理解？ . 觀察下面圖形： [思考1] 上述圖形中各直線的傾斜角各是什么？ 提示：上述圖形中直線的傾斜角為角α . [思考2] 直線傾斜角定義中包含哪幾類情況？ 提示：包括鈍角、銳角、直角和零角． [思考3] 怎樣理解直線的傾斜角？ 名師指津：(1)傾斜角定義中含有三個(gè)條件： ①x軸正向；②直線向上的方向；③小于180的非負(fù)角． (2)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來看，直線的傾斜角是由x軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角． (3)傾斜角是一個(gè)幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對(duì)x軸的傾斜程度． (4)平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等． 講一講 1．設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45，得到直線l1，那么l1的傾斜角為( ) A．α＋45 B．α－135 C．135－α D．當(dāng)0≤α<135時(shí)，傾斜角為α＋45；當(dāng)135≤α<180時(shí)，傾角為α－135 [嘗試解答] 根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示： 因?yàn)?≤α<180，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過畫圖(如圖所示)可知： 當(dāng)0≤α<135，l1的傾斜角為α＋45； 當(dāng)135≤α<180時(shí)，l1的傾斜角為45＋α－180＝α－135.故選D. [答案] D 求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意 (1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為90. ②注意直線傾斜角的取值范圍是0≤α＜180. 練一練 1．一條直線l與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0<α<90)，則其傾斜角為( ) A．α B．180－α C．180－α或90－α D．90＋α或90－α 解析：選D 如圖，當(dāng)l向上方向的部分在y軸左側(cè)時(shí)，傾斜角為90＋α；當(dāng)l向上方向的部分在y軸右側(cè)時(shí)，傾斜角為90－α.故選D. 觀察下面圖形： 日常生活中，常用坡度表示傾斜程度，例如，“進(jìn)2升3”與“進(jìn)2升2”比較，前者更陡一些，因?yàn)槠露龋? [思考1] 對(duì)于直線可利用傾斜角描述傾斜程度，可否借助于坡度來描述直線的傾斜程度？ 提示：可以． [思考2] 通過比較，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它與傾斜角有何關(guān)系？ 提示：與傾斜角的正切值相等． [思考3] 傾斜角α與斜率k有什么關(guān)系？ 名師指津：直線的傾斜角和斜率的關(guān)系： (1)直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率．當(dāng)傾斜角是90時(shí)．直線的斜率不存在，此時(shí)，直線垂直于x軸(平行于y軸或與y軸重合)． (2)直線的斜率也反映了直線相對(duì)于x軸的正方向的傾斜程度．當(dāng)0≤α＜90時(shí)，斜率越大，直線的傾斜程度越大；當(dāng)90＜α＜180時(shí)，斜率越大，直線的傾斜程度也越大． 講一講 2．(1)如圖，直線l1的傾斜角α1＝30，直線l1⊥l2，求l1、l2的斜率； (2)求經(jīng)過兩點(diǎn)A(a,2)，B(3,6)的直線的斜率． [嘗試解答] (1)l1的斜率k1＝tan α1＝tan 30＝. ∵l2的傾斜角α2＝90＋30＝120，∴l(xiāng)2的斜率k2＝tan 120＝tan(180－60)＝－tan 60＝－. (2)當(dāng)a＝3時(shí)，斜率不存在； 當(dāng)a≠3時(shí)，直線的斜率k＝. 求直線斜率的兩種類型 一種是已知傾斜角求直線的斜率，注意傾斜角為90的情況；另一種是已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的斜率，注意斜率不存在的情況． 練一練 2．(1)已知過兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為135，則y＝________； (2)過點(diǎn)P(－2，m)，Q(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為________． 解析：(1)直線AB的斜率k＝tan 135＝－1，又k＝，由＝－1，得y＝－5. (2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1. 答案：(1)－5 (2)1 講一講 3．已知兩點(diǎn)A(－3,4)，B(3,2)，過點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)．(鏈接教材P85—例1) (1)求直線l的斜率k的取值范圍； (2)求直線l的傾斜角α的取值范圍． [思路點(diǎn)撥] 結(jié)合圖形考慮，l的傾斜角應(yīng)介于直線PB與直線PA的傾斜角之間，要特別注意，當(dāng)l的傾斜角小于90時(shí)，有k≥kPB；當(dāng)l的傾斜角大于90時(shí)，則有k≤kPA. [嘗試解答] 如圖，由題意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1， (1)要使l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45，PA的傾斜角是135，∴α的取值范圍是45≤α≤135. (1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tan α(α≠90)解決． (2)由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直線與線段有交點(diǎn)問題常數(shù)形結(jié)合利用公式求解． 練一練 3．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)， (1)求直線AB和AC的斜率． (2)若點(diǎn)D在線段BC(包括端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí)，求直線AD的斜率的變化范圍． 解：(1)由斜率公式可得直線AB的斜率kAB＝＝.直線AC的斜率kAC＝＝.故直線AB的斜率為，直線AC的斜率為. (2)如圖所示，當(dāng)D由B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的變化范圍是. —————————[課堂歸納感悟提升]———————————— 1．本節(jié)課的重點(diǎn)是理解直線的傾斜角與斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，難點(diǎn)是掌握傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)求直線傾斜角的方法，見講1. (2)求直線斜率的方法，見講2. (3)直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系，見講3. 3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)直線傾斜角和斜率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系理解不夠透徹而致錯(cuò)，如講3. 課下能力提升(十五) [學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練] 題組1 直線的傾斜角 1．給出下列說法，正確的個(gè)數(shù)是( ) ①若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等； ②一條直線的傾斜角為－30； ③傾斜角為0的直線只有一條； ④直線的傾斜角α的集合{α|0≤α＜180}與直線集合建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選A 若兩直線的傾斜角為90，則它們的斜率不存在，①錯(cuò)；直線傾斜角的取值范圍是[0，180)，②錯(cuò)；所有垂直于y軸的直線傾斜角均為0，③錯(cuò)；不同的直線可以有相同的傾斜角，④錯(cuò)． 2．(2016達(dá)州高一檢測(cè))直線l經(jīng)過第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是( ) A．0≤α<90 B．90≤α<180 C．90<α<180 D．0<α<180 解析：選C 直線傾斜角的取值范圍是0≤α<180，又直線l經(jīng)過第二、四象限，所以直線l的傾斜角范圍是90<α<180. 題組2 直線的斜率 3．已知經(jīng)過兩點(diǎn)(5，m)和(m,8)的直線的斜率等于1，則m的值是( ) A．5 B．8 C. D．7 解析：選C 由斜率公式可得＝1，解得m＝. 4．已知三點(diǎn)A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一條直線上，實(shí)數(shù)a的值為________． 解析：∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴kAB＝kBC，即＝，∴a＝2或. 答案：2或 5．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍，求m的值． 解：由題意直線AC的斜率存在，即m≠－1. ∴kAC＝，kBC＝. ∴＝3. 整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)， 即(m＋1)(m－4)＝0， ∴m＝4或m＝－1(舍去)． ∴m＝4. 題組3 直線斜率的應(yīng)用 6．若A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，則直線AB的傾斜角和斜率分別是( ) A．45，1 B．135，－1 C．90，不存在 D．180，不存在 解析：選C 由于A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，所以直線與x軸垂直，傾斜角為90，斜率不存在．故選C. 7．已知直線l的傾斜角為30，則直線l的斜率為( ) A. B. C．1 D. 解析：選A 由題意可知，k＝tan 30＝. 8．(2016河南平頂山高一調(diào)研)若直線過點(diǎn) (1,2)，(4,2＋)，則此直線的傾斜角是( ) A．30 B．45 C．60 D．90 解析：選A 設(shè)直線的傾斜角為α，直線斜率k＝＝，∴tan α＝.又∵0≤α＜180，∴α＝30. 9．已知直線l過點(diǎn)A(1,2)，B(m,3)，求直線l的斜率和傾斜角的取值范圍． 解：設(shè)l的斜率為k，傾斜角為α. 當(dāng)m＝1時(shí)，斜率k不存在，α＝90. 當(dāng)m≠1時(shí)，k＝＝， 當(dāng)m＞1時(shí)，k＝＞0，此時(shí)α為銳角，0＜α＜90； 當(dāng)m＜1時(shí)，k＝＜0，此時(shí)α為鈍角，90＜α＜180. 所以α∈(0，180)，k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． [能力提升綜合練] 1．下列說法中，正確的是( ) A．直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tan α B．直線的斜率為tan α，則此直線的傾斜角為α C．若直線的傾斜角為α，則sin α>0 D．任意直線都有傾斜角α，且α≠90時(shí)，斜率為tan α 解析：選D 對(duì)于A，當(dāng)α＝90時(shí)，直線的斜率不存在，故不正確；對(duì)于B，雖然直線的斜率為tan α，但只有0≤α<180時(shí)，α才是此直線的傾斜角，故不正確；對(duì)于C，當(dāng)直線平行于x軸時(shí)，α＝0，sin α＝0，故C不正確，故選D. 2．如圖，設(shè)直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關(guān)系為( ) A．k1＜k2＜k3 B．k1＜k3＜k2 C．k2＜k1＜k3 D．k3＜k2＜k1 解析：選A 根據(jù)“斜率越大，直線的傾斜程度越大”可知選項(xiàng)A正確． 3．(2016株洲高一檢測(cè))過兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為45，則y＝( ) A．－ B. C．－1 D．1 解析：選C tan 45＝kAB＝，即＝1，所以y＝－1. 4．如果直線l過點(diǎn)(1,2)，且不通過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是( ) A．[0,1] B．[0,2] C. D．(0,3] 解析：選B 過點(diǎn)(1,2)的斜率為非負(fù)且最大斜率為此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線斜率時(shí)，圖象不過第四象限． 5．已知A(－1,2)，B(3,2)，若直線AP與直線BP的斜率分別為2和－2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． 解析：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則有＝2，且＝－2，解得x＝1，y＝6，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,6)． 答案：(1,6) 6．(2016合肥高一檢測(cè))若經(jīng)過點(diǎn)P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 解析：∵k＝且直線的傾斜角為鈍角，∴<0，解得－2下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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