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第3課時 橢圓及其標準方程
基礎達標(水平一 )
1.已知橢圓x2a2+y225=1(a>5)的兩個焦點分別為F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB過點F1,則△ABF2的周長為( ).
A.10 B.20 C.241 D.441
【解析】因為a>5,所以該橢圓焦點在x軸上.
又因為|F1F2|=8,所以a2=b2+c2=41.
所以△ABF2的周長為4a=441.
【答案】D
2.橢圓x225+y29=1上的點M到焦點F1的距離為2,N是MF1的中點,O為坐標原點,則|ON|的值為( ).
A.4 B.2 C.8 D.32
【解析】由橢圓的定義,知|MF1|+|MF2|=2a=10,
∴|MF2|=10-2=8.
又O為F1F2的中點,N為MF1的中點,
∴ON為△MF1F2的中位線,∴|ON|=12|MF2|=4.
【答案】A
3.已知橢圓x2sin α-y2cos α=1 (0≤α<2π)的焦點在y軸上,則α的取值范圍是( ).
A.3π4,π B.π4,3π4
C.π2,π D.π2,3π4
【解析】因為橢圓x2sin α-y2cos α=1 (0≤α<2π)的焦點在y軸上,所以sinα>0,cosα<0,sinα>-cosα,所以π2<α<3π4.
【答案】D
4.橢圓的兩個焦點分別為F1(-4,0),F2(4,0),點P在橢圓上,若△PF1F2的面積的最大值為12,則該橢圓的標準方程為( ).
A.x225+y29=1 B.x225+y216=1
C.x216+y29=1 D.x210+y26=1
【解析】若△PF1F2的面積的最大值為12,則128b=12,所以b=3,a=5,即橢圓的標準方程為x225+y29=1.
【答案】A
5.已知方程x2m-1+y22-m=1表示焦點在y軸上的橢圓,則m的取值范圍是 .
【解析】由題意得m-1>0,2-m>0,2-m>m-1,解得1
b>0)上一點,F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓的兩個焦點,若PF1PF2=0.試求:
(1)橢圓的標準方程;
(2)sin ∠PF1F2的值.
【解析】(1)因為PF1PF2=0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,解得c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),
所以2a=|PF1|+|PF2|=(6+10)2+82+(6-10)2+82=125,所以a=65,b2=80.
所以橢圓的標準方程為x2180+y280=1.
(2)因為PF1⊥PF2,
所以S△PF1F2=12|PF1||PF2|=12|F1F2|yP=80,所以|PF1||PF2|=160.
又因為|PF1|+|PF2|=125,且點P(6,8)在第一象限內(nèi),所以|PF2|=45,
所以sin ∠PF1F2=|PF2||F1F2|=4520=55.
拓展提升(水平二)
8.已知P為橢圓x216+y212=1上的點,F1,F2為其兩個焦點,則使∠F1PF2=90的點P有( ).
A.4個 B.2個 C.1個 D.0個
【解析】設點P(x,y),由PF1PF2=0,得(x+2)(x-2)+y2=0.因為x216+y212=1,所以x2=-32,無意義,故不存在使∠F1PF2=90的點P.
【答案】D
9.在△ABC中,點B(-2,0),C(2,0),A(x,y),給出△ABC滿足的條件,就能得到動點A的軌跡方程,下表給出了一些條件及方程:
條件
方程
①△ABC的周長為10
C1:y2=25
②△ABC的面積為10
C2:x2+y2=4(y≠0)
③△ABC中,∠A=90
C3:x29+y25=1(y≠0)
則滿足條件①②③的點A的軌跡方程按順序分別是( ).
A.C3,C1,C2 B.C2,C1,C3
C.C1,C3,C2 D.C3,C2,C1
【解析】如圖,在平面直角坐標系中,
因為B(-2,0),C(2,0),
若①△ABC周長為10,則|AB|+|AC|=6>4=|BC|,
所以點A的軌跡為以B,C為焦點,長軸長為6的橢圓(去除與x軸的交點),方程為x29+y25=1(y≠0);
若②△ABC的面積為10,設A到BC所在直線距離為d,則12|BC|d=10,即124d=10,d=5.
所以|y|=5,y2=25,所以點A的軌跡方程為y2=25;
若③△ABC中,∠A=90,則|OA|=2,即x2+y2=2,x2+y2=4(y≠0).
所以滿足條件①②③的點A的軌跡方程按順序分別是C3,C1,C2.
【答案】A
10.已知橢圓E:x2a2+y2b2(a>b>0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交E于A,B兩點.若AB的中點坐標為(1,-1),則E的方程為 .
【解析】設A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在橢圓上,
∴x12a2+y12b2=1, ①x22a2+y22b2=1,?、?
①-②,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即b2a2=-(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2).
∵AB的中點為(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,而y1-y2x1-x2=kAB=0-(-1)3-1=12,∴b2a2=12.
又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.
∴橢圓E的方程為x218+y29=1.
【答案】x218+y29=1
11.在平面直角坐標系xOy中,點B與點A(-1,1)關于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于-13.
(1)求動點P的軌跡方程.
(2)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N,問:是否存在點P,使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【解析】(1)因為點B與點A(-1,1)關于原點O對稱,所以點B的坐標為(1,-1).
設點P的坐標為(x,y),由題意得y-1x+1y+1x-1=-13,
化簡得x2+3y2=4(x≠1).
故動點P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠1).
(2)設點P的坐標為(x0,y0),點M,N的坐標分別為(3,yM),(3,yN),
則直線AP的方程為y-1=y0-1x0+1(x+1),
直線BP的方程為y+1=y0+1x0-1(x-1),
令x=3,得yM=4y0+x0-3x0+1,yN=2y0-x0+3x0-1,
所以△PMN的面積S△PMN=12|yM-yN|(3-x0)=|x0+y0|(3-x0)2|x02-1|,
又直線AB的方程為x+y=0,|AB|=22,
點P到直線AB的距離d=|x0+y0|2,
所以△PAB的面積S△PAB=12|AB|d=|x0+y0|,
當S△PAB=S△PMN時,得|x0+y0|=|x0+y0|(3-x0)2|x02-1|,
又|x0+y0|≠0,所以(3-x0)2=|x02-1|,解得x0=53.
又因為x02+3y02=4,所以y0=339.
故存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等,此時點P的坐標為53,339.
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